Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqhvval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qqhvval 33798
Description: Value of the canonical homormorphism from the rational number when the target ring is a division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1 / = (/r𝑅)
qqhval2.2 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
qqhvval (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘𝑄) = ((𝐿‘(numer‘𝑄)) / (𝐿‘(denom‘𝑄))))

Proof of Theorem qqhvval
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qqhval2.0 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 qqhval2.1 . . . 4 / = (/r𝑅)
3 qqhval2.2 . . . 4 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
41, 2, 3qqhval2 33797 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) = (𝑞 ∈ ℚ ↦ ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))
54adantr 479 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (ℚHom‘𝑅) = (𝑞 ∈ ℚ ↦ ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))
6 simpr 483 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 = 𝑄) → 𝑞 = 𝑄)
76fveq2d 6905 . . . 4 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 = 𝑄) → (numer‘𝑞) = (numer‘𝑄))
87fveq2d 6905 . . 3 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 = 𝑄) → (𝐿‘(numer‘𝑞)) = (𝐿‘(numer‘𝑄)))
96fveq2d 6905 . . . 4 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 = 𝑄) → (denom‘𝑞) = (denom‘𝑄))
109fveq2d 6905 . . 3 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 = 𝑄) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) = (𝐿‘(denom‘𝑄)))
118, 10oveq12d 7442 . 2 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 = 𝑄) → ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))) = ((𝐿‘(numer‘𝑄)) / (𝐿‘(denom‘𝑄))))
12 simpr 483 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑄 ∈ ℚ)
13 ovexd 7459 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((𝐿‘(numer‘𝑄)) / (𝐿‘(denom‘𝑄))) ∈ V)
145, 11, 12, 13fvmptd 7016 1 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘𝑄) = ((𝐿‘(numer‘𝑄)) / (𝐿‘(denom‘𝑄))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3462  cmpt 5236  cfv 6554  (class class class)co 7424  0cc0 11158  cq 12984  numercnumer 16735  denomcdenom 16736  Basecbs 17213  /rcdvr 20382  DivRingcdr 20707  ℤRHomczrh 21489  chrcchr 21491  ℚHomcqqh 33787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237  ax-mulf 11238
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-fz 13539  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-dvds 16257  df-gcd 16495  df-numer 16737  df-denom 16738  df-gz 16932  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-0g 17456  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-mhm 18773  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-mulg 19062  df-subg 19117  df-ghm 19207  df-od 19526  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-cring 20219  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-dvr 20383  df-rhm 20454  df-subrng 20528  df-subrg 20553  df-drng 20709  df-cnfld 21344  df-zring 21437  df-zrh 21493  df-chr 21495  df-qqh 33788
This theorem is referenced by:  qqh0  33799  qqh1  33800  qqhvq  33802  qqhnm  33805  qqhre  33835
  Copyright terms: Public domain W3C validator