Theorem qqhvval 32039

Description: Value of the canonical homormorphism from the rational number when the target ring is a division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhval2.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1	⊢ / = (/r‘𝑅)
qqhval2.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
qqhvval	⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘𝑄) = ((𝐿‘(numer‘𝑄)) / (𝐿‘(denom‘𝑄))))

Proof of Theorem qqhvval

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qqhval2.0	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		qqhval2.1	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
3		qqhval2.2	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
4	1, 2, 3	qqhval2 32038	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) = (𝑞 ∈ ℚ ↦ ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))
5	4	adantr 481	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (ℚHom‘𝑅) = (𝑞 ∈ ℚ ↦ ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))
6		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 = 𝑄) → 𝑞 = 𝑄)
7	6	fveq2d 6813	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 = 𝑄) → (numer‘𝑞) = (numer‘𝑄))
8	7	fveq2d 6813	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 = 𝑄) → (𝐿‘(numer‘𝑞)) = (𝐿‘(numer‘𝑄)))
9	6	fveq2d 6813	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 = 𝑄) → (denom‘𝑞) = (denom‘𝑄))
10	9	fveq2d 6813	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 = 𝑄) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) = (𝐿‘(denom‘𝑄)))
11	8, 10	oveq12d 7331	. 2 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 = 𝑄) → ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))) = ((𝐿‘(numer‘𝑄)) / (𝐿‘(denom‘𝑄))))
12		simpr 485	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑄 ∈ ℚ)
13		ovexd 7348	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((𝐿‘(numer‘𝑄)) / (𝐿‘(denom‘𝑄))) ∈ V)
14	5, 11, 12, 13	fvmptd 6919	1 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘𝑄) = ((𝐿‘(numer‘𝑄)) / (𝐿‘(denom‘𝑄))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441   ↦ cmpt 5168  ‘cfv 6463  (class class class)co 7313  0cc0 10941  ℚcq 12758  numercnumer 16504  denomcdenom 16505  Basecbs 16979  /_rcdvr 19991  DivRingcdr 20062  ℤRHomczrh 20772  chrcchr 20774  ℚHomcqqh 32028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018  ax-pre-sup 11019  ax-addf 11020  ax-mulf 11021

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4849  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-tpos 8087  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-1o 8342  df-er 8544  df-map 8663  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-fin 8783  df-sup 9269  df-inf 9270  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-div 11703  df-nn 12044  df-2 12106  df-3 12107  df-4 12108  df-5 12109  df-6 12110  df-7 12111  df-8 12112  df-9 12113  df-n0 12304  df-z 12390  df-dec 12508  df-uz 12653  df-q 12759  df-rp 12801  df-fz 13310  df-fl 13582  df-mod 13660  df-seq 13792  df-exp 13853  df-cj 14879  df-re 14880  df-im 14881  df-sqrt 15015  df-abs 15016  df-dvds 16033  df-gcd 16271  df-numer 16506  df-denom 16507  df-gz 16698  df-struct 16915  df-sets 16932  df-slot 16950  df-ndx 16962  df-base 16980  df-ress 17009  df-plusg 17042  df-mulr 17043  df-starv 17044  df-tset 17048  df-ple 17049  df-ds 17051  df-unif 17052  df-0g 17219  df-mgm 18393  df-sgrp 18442  df-mnd 18453  df-mhm 18497  df-grp 18647  df-minusg 18648  df-sbg 18649  df-mulg 18768  df-subg 18819  df-ghm 18899  df-od 19203  df-cmn 19455  df-mgp 19788  df-ur 19805  df-ring 19852  df-cring 19853  df-oppr 19929  df-dvdsr 19950  df-unit 19951  df-invr 19981  df-dvr 19992  df-rnghom 20026  df-drng 20064  df-subrg 20093  df-cnfld 20669  df-zring 20742  df-zrh 20776  df-chr 20778  df-qqh 32029

This theorem is referenced by:  qqh0  32040  qqh1  32041  qqhvq  32043  qqhnm  32046  qqhre  32076