Theorem dfprm3 33593

Description: The (positive) prime elements of the integer ring are the prime numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dfprm3	⊢ ℙ = (ℕ ∩ (RPrime‘ℤring))

Proof of Theorem dfprm3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Irred‘ℤring) = (Irred‘ℤring)
2	1	dfprm2 21511	. 2 ⊢ ℙ = (ℕ ∩ (Irred‘ℤring))
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (RPrime‘ℤring) = (RPrime‘ℤring)
4		zringpid 33592	. . . . . 6 ⊢ ℤring ∈ PID
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℤring ∈ PID)
6	3, 1, 5	rprmirredb 33572	. . . 4 ⊢ (⊤ → (Irred‘ℤring) = (RPrime‘ℤring))
7	6	mptru 1546	. . 3 ⊢ (Irred‘ℤring) = (RPrime‘ℤring)
8	7	ineq2i 4228	. 2 ⊢ (ℕ ∩ (Irred‘ℤring)) = (ℕ ∩ (RPrime‘ℤring))
9	2, 8	eqtri 2765	1 ⊢ ℙ = (ℕ ∩ (RPrime‘ℤring))

Syntax hints:   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3965  ‘cfv 6569  ℕcn 12273  ℙcprime 16714  Irredcir 20382  RPrimecrpm 20458  PIDcpid 21373  ℤ_ringczring 21484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239  ax-pre-sup 11240  ax-addf 11241  ax-mulf 11242

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-tp 4639  df-op 4641  df-uni 4916  df-int 4955  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-tpos 8259  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8753  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-fin 8997  df-sup 9489  df-inf 9490  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-div 11928  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-4 12338  df-5 12339  df-6 12340  df-7 12341  df-8 12342  df-9 12343  df-n0 12534  df-z 12621  df-dec 12741  df-uz 12886  df-rp 13042  df-fz 13554  df-fl 13838  df-mod 13916  df-seq 14049  df-exp 14109  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-dvds 16297  df-prm 16715  df-gz 16973  df-struct 17190  df-sets 17207  df-slot 17225  df-ndx 17237  df-base 17255  df-ress 17284  df-plusg 17320  df-mulr 17321  df-starv 17322  df-sca 17323  df-vsca 17324  df-ip 17325  df-tset 17326  df-ple 17327  df-ds 17329  df-unif 17330  df-0g 17497  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-irred 20385  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-rprm 20459  df-nzr 20539  df-subrng 20572  df-subrg 20596  df-rlreg 20720  df-domn 20721  df-idom 20722  df-drng 20757  df-lmod 20886  df-lss 20957  df-lsp 20997  df-sra 21199  df-rgmod 21200  df-lidl 21245  df-rsp 21246  df-lpidl 21359  df-lpir 21360  df-pid 21374  df-cnfld 21392  df-zring 21485  df-prmidl 33476  df-mxidl 33500

This theorem is referenced by: (None)