Theorem evls1subd 33926

Description: Univariate polynomial evaluation of a difference of polynomials. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1evl.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
ressply1evl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
ressply1evl.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
ressply1evl.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
ressply1evl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1subd.1	⊢ 𝐷 = (-g‘𝑊)
evls1subd.2	⊢ − = (-g‘𝑆)
evls1subd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1subd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1subd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
evls1subd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
evls1subd.y	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evls1subd	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀𝐷𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) − ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

Proof of Theorem evls1subd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1subd.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (-g‘𝑊)
2	1	oveqi 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑀𝐷𝑁) = (𝑀(-g‘𝑊)𝑁)
3		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘𝑆) = (Poly1‘𝑆)
4		ressply1evl.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
5		ressply1evl.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
6		ressply1evl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
7		evls1subd.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
8		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵) = ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)
9		evls1subd.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
10		evls1subd.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ressply1sub 33924	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀(-g‘𝑊)𝑁) = (𝑀(-g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
12	2, 11	eqtrid 2812	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀𝐷𝑁) = (𝑀(-g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
13	3, 4, 5, 6	subrgply1 22442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubRing‘(Poly1‘𝑆)))
14		subrgsubg 20726	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘(Poly1‘𝑆)) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘(Poly1‘𝑆)))
15	7, 13, 14	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubGrp‘(Poly1‘𝑆)))
16		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘(Poly1‘𝑆)) = (-g‘(Poly1‘𝑆))
17		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)) = (-g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))
18	16, 8, 17	subgsub 19249	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (SubGrp‘(Poly1‘𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → (𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁) = (𝑀(-g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
19	15, 9, 10, 18	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁) = (𝑀(-g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
20	12, 19	eqtr4d 2803	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀𝐷𝑁) = (𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))
21	20	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝑀𝐷𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁)))
22	21	fveq1d 6887	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀𝐷𝑁))‘𝐶) = (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶))
23		ressply1evl.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
24		ressply1evl.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
25		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (eval1‘𝑆) = (eval1‘𝑆)
26		evls1subd.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
27	23, 24, 5, 4, 6, 25, 26, 7	ressply1evl 22580	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵))
28	27	fveq1d 6887	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑀𝐷𝑁)) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀𝐷𝑁)))
29	4	subrgring 20723	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
30	5	ply1ring 22457	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
31	7, 29, 30	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
32	31	ringgrpd 20368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
33	6, 1	grpsubcl 19130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → (𝑀𝐷𝑁) ∈ 𝐵)
34	32, 9, 10, 33	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀𝐷𝑁) ∈ 𝐵)
35	34	fvresd 6905	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀𝐷𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝑀𝐷𝑁)))
36	28, 35	eqtr2d 2801	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝑀𝐷𝑁)) = (𝑄‘(𝑀𝐷𝑁)))
37	36	fveq1d 6887	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀𝐷𝑁))‘𝐶) = ((𝑄‘(𝑀𝐷𝑁))‘𝐶))
38		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑆)) = (Base‘(Poly1‘𝑆))
39		evls1subd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
40		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (PwSer1‘𝑈) = (PwSer1‘𝑈)
41		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑈)) = (Base‘(PwSer1‘𝑈))
42	3, 4, 5, 6, 7, 40, 41, 38	ressply1bas2 22437	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))))
43		inss2 4190	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))) ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆))
44	42, 43	eqsstrdi 3982	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
45	44, 9	sseldd 3939	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
46	27	fveq1d 6887	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀))
47	9	fvresd 6905	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀) = ((eval1‘𝑆)‘𝑀))
48	46, 47	eqtr2d 2801	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘𝑀) = (𝑄‘𝑀))
49	48	fveq1d 6887	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑀)‘𝐶))
50	45, 49	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑀)‘𝐶)))
51	44, 10	sseldd 3939	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
52	27	fveq1d 6887	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁))
53	10	fvresd 6905	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁) = ((eval1‘𝑆)‘𝑁))
54	52, 53	eqtr2d 2801	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘𝑁) = (𝑄‘𝑁))
55	54	fveq1d 6887	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))
56	51, 55	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
57		evls1subd.2	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑆)
58	25, 3, 24, 38, 26, 39, 50, 56, 16, 57	evl1subd 22552	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) − ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))))
59	58	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) − ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
60	22, 37, 59	3eqtr3d 2808	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀𝐷𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) − ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∩ cin 3905   ↾ cres 5665  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17291   ↾_s cress 17312  Grpcgrp 19044  -_gcsg 19046  SubGrpcsubg 19230  Ringcrg 20359  CRingccrg 20360  SubRingcsubrg 20718  PwSer₁cps1 22385  Poly₁cpl1 22387   evalSub₁ ces1 22523  eval₁ce1 22524

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-ofr 7685  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-sup 9409  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-seq 14056  df-hash 14385  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-hom 17356  df-cco 17357  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-prds 17522  df-pws 17524  df-mre 17660  df-mrc 17661  df-acs 17663  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-mhm 18878  df-submnd 18879  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-sbg 19049  df-mulg 19178  df-subg 19233  df-ghm 19328  df-cntz 19431  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-srg 20313  df-ring 20361  df-cring 20362  df-rhm 20600  df-subrng 20695  df-subrg 20719  df-lmod 21033  df-lss 21103  df-lsp 21143  df-assa 22053  df-asp 22054  df-ascl 22055  df-psr 22109  df-mvr 22110  df-mpl 22111  df-opsr 22113  df-evls 22275  df-evl 22276  df-psr1 22390  df-vr1 22391  df-ply1 22392  df-coe1 22393  df-evls1 22525  df-evl1 22526

This theorem is used by:  irredminply  34170  2sqr3minply  34234