Theorem evls1subd 33803

Description: Univariate polynomial evaluation of a difference of polynomials. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1evl.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
ressply1evl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
ressply1evl.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
ressply1evl.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
ressply1evl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1subd.1	⊢ 𝐷 = (-g‘𝑊)
evls1subd.2	⊢ − = (-g‘𝑆)
evls1subd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1subd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1subd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
evls1subd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
evls1subd.y	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evls1subd	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀𝐷𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) − ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

Proof of Theorem evls1subd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1subd.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (-g‘𝑊)
2	1	oveqi 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑀𝐷𝑁) = (𝑀(-g‘𝑊)𝑁)
3		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘𝑆) = (Poly1‘𝑆)
4		ressply1evl.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
5		ressply1evl.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
6		ressply1evl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
7		evls1subd.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
8		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵) = ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)
9		evls1subd.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
10		evls1subd.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ressply1sub 33801	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀(-g‘𝑊)𝑁) = (𝑀(-g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
12	2, 11	eqtrid 2816	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀𝐷𝑁) = (𝑀(-g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
13	3, 4, 5, 6	subrgply1 22357	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubRing‘(Poly1‘𝑆)))
14		subrgsubg 20658	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘(Poly1‘𝑆)) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘(Poly1‘𝑆)))
15	7, 13, 14	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubGrp‘(Poly1‘𝑆)))
16		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘(Poly1‘𝑆)) = (-g‘(Poly1‘𝑆))
17		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)) = (-g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))
18	16, 8, 17	subgsub 19201	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (SubGrp‘(Poly1‘𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → (𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁) = (𝑀(-g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
19	15, 9, 10, 18	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁) = (𝑀(-g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
20	12, 19	eqtr4d 2807	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀𝐷𝑁) = (𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))
21	20	fveq2d 6883	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝑀𝐷𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁)))
22	21	fveq1d 6881	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀𝐷𝑁))‘𝐶) = (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶))
23		ressply1evl.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
24		ressply1evl.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
25		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (eval1‘𝑆) = (eval1‘𝑆)
26		evls1subd.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
27	23, 24, 5, 4, 6, 25, 26, 7	ressply1evl 22495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵))
28	27	fveq1d 6881	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑀𝐷𝑁)) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀𝐷𝑁)))
29	4	subrgring 20655	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
30	5	ply1ring 22372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
31	7, 29, 30	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
32	31	ringgrpd 20320	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
33	6, 1	grpsubcl 19082	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → (𝑀𝐷𝑁) ∈ 𝐵)
34	32, 9, 10, 33	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀𝐷𝑁) ∈ 𝐵)
35	34	fvresd 6899	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀𝐷𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝑀𝐷𝑁)))
36	28, 35	eqtr2d 2805	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝑀𝐷𝑁)) = (𝑄‘(𝑀𝐷𝑁)))
37	36	fveq1d 6881	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀𝐷𝑁))‘𝐶) = ((𝑄‘(𝑀𝐷𝑁))‘𝐶))
38		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑆)) = (Base‘(Poly1‘𝑆))
39		evls1subd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
40		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (PwSer1‘𝑈) = (PwSer1‘𝑈)
41		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑈)) = (Base‘(PwSer1‘𝑈))
42	3, 4, 5, 6, 7, 40, 41, 38	ressply1bas2 22352	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))))
43		inss2 4198	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))) ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆))
44	42, 43	eqsstrdi 3989	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
45	44, 9	sseldd 3946	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
46	27	fveq1d 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀))
47	9	fvresd 6899	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀) = ((eval1‘𝑆)‘𝑀))
48	46, 47	eqtr2d 2805	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘𝑀) = (𝑄‘𝑀))
49	48	fveq1d 6881	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑀)‘𝐶))
50	45, 49	jca 520	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑀)‘𝐶)))
51	44, 10	sseldd 3946	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
52	27	fveq1d 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁))
53	10	fvresd 6899	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁) = ((eval1‘𝑆)‘𝑁))
54	52, 53	eqtr2d 2805	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘𝑁) = (𝑄‘𝑁))
55	54	fveq1d 6881	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))
56	51, 55	jca 520	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
57		evls1subd.2	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑆)
58	25, 3, 24, 38, 26, 39, 50, 56, 16, 57	evl1subd 22467	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) − ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))))
59	58	simprd 500	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) − ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
60	22, 37, 59	3eqtr3d 2812	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀𝐷𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) − ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∩ cin 3912   ↾ cres 5661  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  Basecbs 17265   ↾_s cress 17286  Grpcgrp 18996  -_gcsg 18998  SubGrpcsubg 19182  Ringcrg 20311  CRingccrg 20312  SubRingcsubrg 20650  PwSer₁cps1 22300  Poly₁cpl1 22302   evalSub₁ ces1 22438  eval₁ce1 22439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-hom 17330  df-cco 17331  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-prds 17496  df-pws 17498  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-mhm 18837  df-submnd 18838  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-mulg 19130  df-subg 19185  df-ghm 19280  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-srg 20265  df-ring 20313  df-cring 20314  df-rhm 20550  df-subrng 20627  df-subrg 20651  df-lmod 20957  df-lss 21027  df-lsp 21067  df-assa 21968  df-asp 21969  df-ascl 21970  df-psr 22024  df-mvr 22025  df-mpl 22026  df-opsr 22028  df-evls 22190  df-evl 22191  df-psr1 22305  df-vr1 22306  df-ply1 22307  df-coe1 22308  df-evls1 22440  df-evl1 22441

This theorem is referenced by:  irredminply  34047  2sqr3minply  34111