Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evls1subd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1subd 33597
Description: Univariate polynomial evaluation of a difference of polynomials. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ressply1evl.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
ressply1evl.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
ressply1evl.w 𝑊 = (Poly1𝑈)
ressply1evl.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
ressply1evl.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1subd.1 𝐷 = (-g𝑊)
evls1subd.2 = (-g𝑆)
evls1subd.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evls1subd.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1subd.m (𝜑𝑀𝐵)
evls1subd.n (𝜑𝑁𝐵)
evls1subd.y (𝜑𝐶𝐾)
Assertion
Ref Expression
evls1subd (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀𝐷𝑁))‘𝐶) = (((𝑄𝑀)‘𝐶) ((𝑄𝑁)‘𝐶)))

Proof of Theorem evls1subd
StepHypRef Expression
1 evls1subd.1 . . . . . . 7 𝐷 = (-g𝑊)
21oveqi 7444 . . . . . 6 (𝑀𝐷𝑁) = (𝑀(-g𝑊)𝑁)
3 eqid 2737 . . . . . . 7 (Poly1𝑆) = (Poly1𝑆)
4 ressply1evl.u . . . . . . 7 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
5 ressply1evl.w . . . . . . 7 𝑊 = (Poly1𝑈)
6 ressply1evl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑊)
7 evls1subd.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
8 eqid 2737 . . . . . . 7 ((Poly1𝑆) ↾s 𝐵) = ((Poly1𝑆) ↾s 𝐵)
9 evls1subd.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀𝐵)
10 evls1subd.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁𝐵)
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ressply1sub 33595 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀(-g𝑊)𝑁) = (𝑀(-g‘((Poly1𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
122, 11eqtrid 2789 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝐷𝑁) = (𝑀(-g‘((Poly1𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
133, 4, 5, 6subrgply1 22234 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubRing‘(Poly1𝑆)))
14 subrgsubg 20577 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (SubRing‘(Poly1𝑆)) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘(Poly1𝑆)))
157, 13, 143syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ (SubGrp‘(Poly1𝑆)))
16 eqid 2737 . . . . . . 7 (-g‘(Poly1𝑆)) = (-g‘(Poly1𝑆))
17 eqid 2737 . . . . . . 7 (-g‘((Poly1𝑆) ↾s 𝐵)) = (-g‘((Poly1𝑆) ↾s 𝐵))
1816, 8, 17subgsub 19156 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (SubGrp‘(Poly1𝑆)) ∧ 𝑀𝐵𝑁𝐵) → (𝑀(-g‘(Poly1𝑆))𝑁) = (𝑀(-g‘((Poly1𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
1915, 9, 10, 18syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀(-g‘(Poly1𝑆))𝑁) = (𝑀(-g‘((Poly1𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
2012, 19eqtr4d 2780 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐷𝑁) = (𝑀(-g‘(Poly1𝑆))𝑁))
2120fveq2d 6910 . . 3 (𝜑 → ((eval1𝑆)‘(𝑀𝐷𝑁)) = ((eval1𝑆)‘(𝑀(-g‘(Poly1𝑆))𝑁)))
2221fveq1d 6908 . 2 (𝜑 → (((eval1𝑆)‘(𝑀𝐷𝑁))‘𝐶) = (((eval1𝑆)‘(𝑀(-g‘(Poly1𝑆))𝑁))‘𝐶))
23 ressply1evl.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
24 ressply1evl.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑆)
25 eqid 2737 . . . . . 6 (eval1𝑆) = (eval1𝑆)
26 evls1subd.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
2723, 24, 5, 4, 6, 25, 26, 7ressply1evl 22374 . . . . 5 (𝜑𝑄 = ((eval1𝑆) ↾ 𝐵))
2827fveq1d 6908 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(𝑀𝐷𝑁)) = (((eval1𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀𝐷𝑁)))
294subrgring 20574 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
305ply1ring 22249 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
317, 29, 303syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Ring)
3231ringgrpd 20239 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
336, 1grpsubcl 19038 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑀𝐵𝑁𝐵) → (𝑀𝐷𝑁) ∈ 𝐵)
3432, 9, 10, 33syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝐷𝑁) ∈ 𝐵)
3534fvresd 6926 . . . 4 (𝜑 → (((eval1𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀𝐷𝑁)) = ((eval1𝑆)‘(𝑀𝐷𝑁)))
3628, 35eqtr2d 2778 . . 3 (𝜑 → ((eval1𝑆)‘(𝑀𝐷𝑁)) = (𝑄‘(𝑀𝐷𝑁)))
3736fveq1d 6908 . 2 (𝜑 → (((eval1𝑆)‘(𝑀𝐷𝑁))‘𝐶) = ((𝑄‘(𝑀𝐷𝑁))‘𝐶))
38 eqid 2737 . . . 4 (Base‘(Poly1𝑆)) = (Base‘(Poly1𝑆))
39 evls1subd.y . . . 4 (𝜑𝐶𝐾)
40 eqid 2737 . . . . . . . 8 (PwSer1𝑈) = (PwSer1𝑈)
41 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘(PwSer1𝑈)) = (Base‘(PwSer1𝑈))
423, 4, 5, 6, 7, 40, 41, 38ressply1bas2 22229 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = ((Base‘(PwSer1𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1𝑆))))
43 inss2 4238 . . . . . . 7 ((Base‘(PwSer1𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1𝑆))) ⊆ (Base‘(Poly1𝑆))
4442, 43eqsstrdi 4028 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1𝑆)))
4544, 9sseldd 3984 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (Base‘(Poly1𝑆)))
4627fveq1d 6908 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄𝑀) = (((eval1𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀))
479fvresd 6926 . . . . . . 7 (𝜑 → (((eval1𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀) = ((eval1𝑆)‘𝑀))
4846, 47eqtr2d 2778 . . . . . 6 (𝜑 → ((eval1𝑆)‘𝑀) = (𝑄𝑀))
4948fveq1d 6908 . . . . 5 (𝜑 → (((eval1𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄𝑀)‘𝐶))
5045, 49jca 511 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘(Poly1𝑆)) ∧ (((eval1𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄𝑀)‘𝐶)))
5144, 10sseldd 3984 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (Base‘(Poly1𝑆)))
5227fveq1d 6908 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄𝑁) = (((eval1𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁))
5310fvresd 6926 . . . . . . 7 (𝜑 → (((eval1𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁) = ((eval1𝑆)‘𝑁))
5452, 53eqtr2d 2778 . . . . . 6 (𝜑 → ((eval1𝑆)‘𝑁) = (𝑄𝑁))
5554fveq1d 6908 . . . . 5 (𝜑 → (((eval1𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄𝑁)‘𝐶))
5651, 55jca 511 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∈ (Base‘(Poly1𝑆)) ∧ (((eval1𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄𝑁)‘𝐶)))
57 evls1subd.2 . . . 4 = (-g𝑆)
5825, 3, 24, 38, 26, 39, 50, 56, 16, 57evl1subd 22346 . . 3 (𝜑 → ((𝑀(-g‘(Poly1𝑆))𝑁) ∈ (Base‘(Poly1𝑆)) ∧ (((eval1𝑆)‘(𝑀(-g‘(Poly1𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄𝑀)‘𝐶) ((𝑄𝑁)‘𝐶))))
5958simprd 495 . 2 (𝜑 → (((eval1𝑆)‘(𝑀(-g‘(Poly1𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄𝑀)‘𝐶) ((𝑄𝑁)‘𝐶)))
6022, 37, 593eqtr3d 2785 1 (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀𝐷𝑁))‘𝐶) = (((𝑄𝑀)‘𝐶) ((𝑄𝑁)‘𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3950  cres 5687  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  s cress 17274  Grpcgrp 18951  -gcsg 18953  SubGrpcsubg 19138  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231  SubRingcsubrg 20569  PwSer1cps1 22176  Poly1cpl1 22178   evalSub1 ces1 22317  eval1ce1 22318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-srg 20184  df-ring 20232  df-cring 20233  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-assa 21873  df-asp 21874  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-evls 22098  df-evl 22099  df-psr1 22181  df-vr1 22182  df-ply1 22183  df-coe1 22184  df-evls1 22319  df-evl1 22320
This theorem is referenced by:  irredminply  33757  2sqr3minply  33791
  Copyright terms: Public domain W3C validator