Theorem evls1subd 34097

Description: Univariate polynomial evaluation of a difference of polynomials. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1evl.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
ressply1evl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
ressply1evl.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
ressply1evl.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
ressply1evl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1subd.1	⊢ 𝐷 = (-g‘𝑊)
evls1subd.2	⊢ − = (-g‘𝑆)
evls1subd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1subd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1subd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
evls1subd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
evls1subd.y	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evls1subd	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀𝐷𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) − ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

Proof of Theorem evls1subd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1subd.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (-g‘𝑊)
2	1	oveqi 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑀𝐷𝑁) = (𝑀(-g‘𝑊)𝑁)
3		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘𝑆) = (Poly1‘𝑆)
4		ressply1evl.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
5		ressply1evl.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
6		ressply1evl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
7		evls1subd.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
8		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵) = ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)
9		evls1subd.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
10		evls1subd.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ressply1sub 34095	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀(-g‘𝑊)𝑁) = (𝑀(-g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
12	2, 11	eqtrid 2808	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀𝐷𝑁) = (𝑀(-g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
13	3, 4, 5, 6	subrgply1 22543	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubRing‘(Poly1‘𝑆)))
14		subrgsubg 20822	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘(Poly1‘𝑆)) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘(Poly1‘𝑆)))
15	7, 13, 14	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubGrp‘(Poly1‘𝑆)))
16		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘(Poly1‘𝑆)) = (-g‘(Poly1‘𝑆))
17		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)) = (-g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))
18	16, 8, 17	subgsub 19342	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (SubGrp‘(Poly1‘𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → (𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁) = (𝑀(-g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
19	15, 9, 10, 18	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁) = (𝑀(-g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
20	12, 19	eqtr4d 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀𝐷𝑁) = (𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))
21	20	fveq2d 6887	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝑀𝐷𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁)))
22	21	fveq1d 6885	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀𝐷𝑁))‘𝐶) = (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶))
23		ressply1evl.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
24		ressply1evl.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
25		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (eval1‘𝑆) = (eval1‘𝑆)
26		evls1subd.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
27	23, 24, 5, 4, 6, 25, 26, 7	ressply1evl 22681	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵))
28	27	fveq1d 6885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑀𝐷𝑁)) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀𝐷𝑁)))
29	4	subrgring 20819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
30	5	ply1ring 22558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
31	7, 29, 30	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
32	31	ringgrpd 20462	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
33	6, 1	grpsubcl 19223	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → (𝑀𝐷𝑁) ∈ 𝐵)
34	32, 9, 10, 33	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀𝐷𝑁) ∈ 𝐵)
35	34	fvresd 6903	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀𝐷𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝑀𝐷𝑁)))
36	28, 35	eqtr2d 2797	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝑀𝐷𝑁)) = (𝑄‘(𝑀𝐷𝑁)))
37	36	fveq1d 6885	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀𝐷𝑁))‘𝐶) = ((𝑄‘(𝑀𝐷𝑁))‘𝐶))
38		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑆)) = (Base‘(Poly1‘𝑆))
39		evls1subd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
40		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (PwSer1‘𝑈) = (PwSer1‘𝑈)
41		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑈)) = (Base‘(PwSer1‘𝑈))
42	3, 4, 5, 6, 7, 40, 41, 38	ressply1bas2 22538	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))))
43		inss2 4183	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))) ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆))
44	42, 43	eqsstrdi 3975	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
45	44, 9	sseldd 3932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
46	27	fveq1d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀))
47	9	fvresd 6903	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀) = ((eval1‘𝑆)‘𝑀))
48	46, 47	eqtr2d 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘𝑀) = (𝑄‘𝑀))
49	48	fveq1d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑀)‘𝐶))
50	45, 49	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑀)‘𝐶)))
51	44, 10	sseldd 3932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
52	27	fveq1d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁))
53	10	fvresd 6903	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁) = ((eval1‘𝑆)‘𝑁))
54	52, 53	eqtr2d 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘𝑁) = (𝑄‘𝑁))
55	54	fveq1d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))
56	51, 55	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
57		evls1subd.2	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑆)
58	25, 3, 24, 38, 26, 39, 50, 56, 16, 57	evl1subd 22653	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) − ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))))
59	58	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) − ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
60	22, 37, 59	3eqtr3d 2804	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀𝐷𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) − ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   ↾ cres 5653  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380   ↾_s cress 17401  Grpcgrp 19137  -_gcsg 19139  SubGrpcsubg 19323  Ringcrg 20452  CRingccrg 20453  SubRingcsubrg 20814  PwSer₁cps1 22486  Poly₁cpl1 22488   evalSub₁ ces1 22624  eval₁ce1 22625

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-sup 9427  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-hash 14468  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-hom 17445  df-cco 17446  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-prds 17611  df-pws 17613  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-mhm 18971  df-submnd 18972  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-mulg 19271  df-subg 19326  df-ghm 19421  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-srg 20406  df-ring 20454  df-cring 20455  df-rhm 20695  df-subrng 20791  df-subrg 20815  df-lmod 21130  df-lss 21200  df-lsp 21240  df-assa 22154  df-asp 22155  df-ascl 22156  df-psr 22210  df-mvr 22211  df-mpl 22212  df-opsr 22214  df-evls 22376  df-evl 22377  df-psr1 22491  df-vr1 22492  df-ply1 22493  df-coe1 22494  df-evls1 22626  df-evl1 22627

This theorem is used by:  irredminply  34341  2sqr3minply  34405