Theorem evls1subd 34154

Description: Univariate polynomial evaluation of a difference of polynomials. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1evl.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
ressply1evl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
ressply1evl.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
ressply1evl.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
ressply1evl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1subd.1	⊢ 𝐷 = (-g‘𝑊)
evls1subd.2	⊢ − = (-g‘𝑆)
evls1subd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1subd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1subd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
evls1subd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
evls1subd.y	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evls1subd	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀𝐷𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) − ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

Proof of Theorem evls1subd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1subd.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (-g‘𝑊)
2	1	oveqi 7437	. . . . . 6 ⊢ (𝑀𝐷𝑁) = (𝑀(-g‘𝑊)𝑁)
3		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘𝑆) = (Poly1‘𝑆)
4		ressply1evl.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
5		ressply1evl.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
6		ressply1evl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
7		evls1subd.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
8		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵) = ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)
9		evls1subd.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
10		evls1subd.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ressply1sub 34152	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀(-g‘𝑊)𝑁) = (𝑀(-g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
12	2, 11	eqtrid 2807	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀𝐷𝑁) = (𝑀(-g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
13	3, 4, 5, 6	subrgply1 22559	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubRing‘(Poly1‘𝑆)))
14		subrgsubg 20838	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘(Poly1‘𝑆)) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘(Poly1‘𝑆)))
15	7, 13, 14	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubGrp‘(Poly1‘𝑆)))
16		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘(Poly1‘𝑆)) = (-g‘(Poly1‘𝑆))
17		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)) = (-g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))
18	16, 8, 17	subgsub 19358	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (SubGrp‘(Poly1‘𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → (𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁) = (𝑀(-g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
19	15, 9, 10, 18	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁) = (𝑀(-g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
20	12, 19	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀𝐷𝑁) = (𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))
21	20	fveq2d 6894	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝑀𝐷𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁)))
22	21	fveq1d 6892	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀𝐷𝑁))‘𝐶) = (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶))
23		ressply1evl.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
24		ressply1evl.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
25		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (eval1‘𝑆) = (eval1‘𝑆)
26		evls1subd.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
27	23, 24, 5, 4, 6, 25, 26, 7	ressply1evl 22697	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵))
28	27	fveq1d 6892	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑀𝐷𝑁)) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀𝐷𝑁)))
29	4	subrgring 20835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
30	5	ply1ring 22574	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
31	7, 29, 30	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
32	31	ringgrpd 20478	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
33	6, 1	grpsubcl 19239	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → (𝑀𝐷𝑁) ∈ 𝐵)
34	32, 9, 10, 33	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀𝐷𝑁) ∈ 𝐵)
35	34	fvresd 6910	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀𝐷𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝑀𝐷𝑁)))
36	28, 35	eqtr2d 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝑀𝐷𝑁)) = (𝑄‘(𝑀𝐷𝑁)))
37	36	fveq1d 6892	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀𝐷𝑁))‘𝐶) = ((𝑄‘(𝑀𝐷𝑁))‘𝐶))
38		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑆)) = (Base‘(Poly1‘𝑆))
39		evls1subd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
40		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (PwSer1‘𝑈) = (PwSer1‘𝑈)
41		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑈)) = (Base‘(PwSer1‘𝑈))
42	3, 4, 5, 6, 7, 40, 41, 38	ressply1bas2 22554	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))))
43		inss2 4133	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))) ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆))
44	42, 43	eqsstrdi 3953	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
45	44, 9	sseldd 3910	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
46	27	fveq1d 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀))
47	9	fvresd 6910	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀) = ((eval1‘𝑆)‘𝑀))
48	46, 47	eqtr2d 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘𝑀) = (𝑄‘𝑀))
49	48	fveq1d 6892	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑀)‘𝐶))
50	45, 49	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑀)‘𝐶)))
51	44, 10	sseldd 3910	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
52	27	fveq1d 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁))
53	10	fvresd 6910	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁) = ((eval1‘𝑆)‘𝑁))
54	52, 53	eqtr2d 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘𝑁) = (𝑄‘𝑁))
55	54	fveq1d 6892	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))
56	51, 55	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
57		evls1subd.2	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑆)
58	25, 3, 24, 38, 26, 39, 50, 56, 16, 57	evl1subd 22669	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) − ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))))
59	58	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) − ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
60	22, 37, 59	3eqtr3d 2803	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀𝐷𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) − ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∩ cin 4088   ↾ cres 5653  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Basecbs 17396   ↾_s cress 17417  Grpcgrp 19153  -_gcsg 19155  SubGrpcsubg 19339  Ringcrg 20468  CRingccrg 20469  SubRingcsubrg 20830  PwSer₁cps1 22502  Poly₁cpl1 22504   evalSub₁ ces1 22640  eval₁ce1 22641

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8184  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8724  df-map 8856  df-pm 8857  df-ixp 8933  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-fsupp 9361  df-sup 9441  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-hash 14482  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-hom 17461  df-cco 17462  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-prds 17627  df-pws 17629  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-mhm 18987  df-submnd 18988  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-mulg 19287  df-subg 19342  df-ghm 19437  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-rng 20384  df-ur 20417  df-srg 20422  df-ring 20470  df-cring 20471  df-rhm 20711  df-subrng 20807  df-subrg 20831  df-lmod 21146  df-lss 21216  df-lsp 21256  df-assa 22170  df-asp 22171  df-ascl 22172  df-psr 22226  df-mvr 22227  df-mpl 22228  df-opsr 22230  df-evls 22392  df-evl 22393  df-psr1 22507  df-vr1 22508  df-ply1 22509  df-coe1 22510  df-evls1 22642  df-evl1 22643

This theorem is used by:  irredminply  34398  2sqr3minply  34462