Theorem evls1subd 34207

Description: Univariate polynomial evaluation of a difference of polynomials. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1evl.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
ressply1evl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
ressply1evl.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
ressply1evl.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
ressply1evl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1subd.1	⊢ 𝐷 = (-g‘𝑊)
evls1subd.2	⊢ − = (-g‘𝑆)
evls1subd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1subd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1subd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
evls1subd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
evls1subd.y	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evls1subd	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀𝐷𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) − ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

Proof of Theorem evls1subd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1subd.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (-g‘𝑊)
2	1	oveqi 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝑀𝐷𝑁) = (𝑀(-g‘𝑊)𝑁)
3		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘𝑆) = (Poly1‘𝑆)
4		ressply1evl.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
5		ressply1evl.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
6		ressply1evl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
7		evls1subd.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
8		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵) = ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)
9		evls1subd.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
10		evls1subd.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ressply1sub 34205	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀(-g‘𝑊)𝑁) = (𝑀(-g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
12	2, 11	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀𝐷𝑁) = (𝑀(-g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
13	3, 4, 5, 6	subrgply1 22605	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubRing‘(Poly1‘𝑆)))
14		subrgsubg 20880	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘(Poly1‘𝑆)) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘(Poly1‘𝑆)))
15	7, 13, 14	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubGrp‘(Poly1‘𝑆)))
16		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘(Poly1‘𝑆)) = (-g‘(Poly1‘𝑆))
17		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)) = (-g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))
18	16, 8, 17	subgsub 19399	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (SubGrp‘(Poly1‘𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → (𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁) = (𝑀(-g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
19	15, 9, 10, 18	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁) = (𝑀(-g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
20	12, 19	eqtr4d 2801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀𝐷𝑁) = (𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))
21	20	fveq2d 6920	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝑀𝐷𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁)))
22	21	fveq1d 6918	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀𝐷𝑁))‘𝐶) = (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶))
23		ressply1evl.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
24		ressply1evl.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
25		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (eval1‘𝑆) = (eval1‘𝑆)
26		evls1subd.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
27	23, 24, 5, 4, 6, 25, 26, 7	ressply1evl 22743	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵))
28	27	fveq1d 6918	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑀𝐷𝑁)) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀𝐷𝑁)))
29	4	subrgring 20877	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
30	5	ply1ring 22620	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
31	7, 29, 30	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
32	31	ringgrpd 20520	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
33	6, 1	grpsubcl 19280	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → (𝑀𝐷𝑁) ∈ 𝐵)
34	32, 9, 10, 33	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀𝐷𝑁) ∈ 𝐵)
35	34	fvresd 6936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀𝐷𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝑀𝐷𝑁)))
36	28, 35	eqtr2d 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝑀𝐷𝑁)) = (𝑄‘(𝑀𝐷𝑁)))
37	36	fveq1d 6918	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀𝐷𝑁))‘𝐶) = ((𝑄‘(𝑀𝐷𝑁))‘𝐶))
38		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑆)) = (Base‘(Poly1‘𝑆))
39		evls1subd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
40		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (PwSer1‘𝑈) = (PwSer1‘𝑈)
41		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑈)) = (Base‘(PwSer1‘𝑈))
42	3, 4, 5, 6, 7, 40, 41, 38	ressply1bas2 22600	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))))
43		inss2 4137	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))) ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆))
44	42, 43	eqsstrdi 3957	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
45	44, 9	sseldd 3914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
46	27	fveq1d 6918	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀))
47	9	fvresd 6936	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀) = ((eval1‘𝑆)‘𝑀))
48	46, 47	eqtr2d 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘𝑀) = (𝑄‘𝑀))
49	48	fveq1d 6918	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑀)‘𝐶))
50	45, 49	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑀)‘𝐶)))
51	44, 10	sseldd 3914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
52	27	fveq1d 6918	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁))
53	10	fvresd 6936	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁) = ((eval1‘𝑆)‘𝑁))
54	52, 53	eqtr2d 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘𝑁) = (𝑄‘𝑁))
55	54	fveq1d 6918	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))
56	51, 55	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
57		evls1subd.2	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑆)
58	25, 3, 24, 38, 26, 39, 50, 56, 16, 57	evl1subd 22715	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) − ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))))
59	58	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(-g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) − ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
60	22, 37, 59	3eqtr3d 2806	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀𝐷𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) − ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∩ cin 4092   ↾ cres 5660  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431   ↾_s cress 17452  Grpcgrp 19194  -_gcsg 19196  SubGrpcsubg 19380  Ringcrg 20510  CRingccrg 20511  SubRingcsubrg 20872  PwSer₁cps1 22548  Poly₁cpl1 22550   evalSub₁ ces1 22686  eval₁ce1 22687

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-ofr 7726  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-hash 14516  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-hom 17497  df-cco 17498  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-prds 17668  df-pws 17670  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-ghm 19478  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-srg 20464  df-ring 20512  df-cring 20513  df-rhm 20753  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298  df-assa 22216  df-asp 22217  df-ascl 22218  df-psr 22272  df-mvr 22273  df-mpl 22274  df-opsr 22276  df-evls 22438  df-evl 22439  df-psr1 22553  df-vr1 22554  df-ply1 22555  df-coe1 22556  df-evls1 22688  df-evl1 22689

This theorem is used by:  rngunsnply1chr2lem3  34252  irredminply  34459  2sqr3minply  34523