Theorem xrge0tsmsbi 32815

Description: Any limit of a finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is the union of the sets limits, since this set is a singleton. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0tsmseq.g	⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
xrge0tsmseq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
xrge0tsmseq.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0tsmsbi	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹)))

Proof of Theorem xrge0tsmsbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0tsmseq.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		xrge0tsmseq.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
3		xrge0tsmseq.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
4	3	xrge0tsms2 24767	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o)
5	1, 2, 4	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o)
6		en1b 9044	. . . 4 ⊢ ((𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o ↔ (𝐺 tsums 𝐹) = {∪ (𝐺 tsums 𝐹)})
7	5, 6	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = {∪ (𝐺 tsums 𝐹)})
8	7	eleq2d 2811	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 ∈ {∪ (𝐺 tsums 𝐹)}))
9		ovex 7448	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 tsums 𝐹) ∈ V
10	9	uniex 7743	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝐺 tsums 𝐹) ∈ V
11		eleq1 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐶 ∈ V ↔ ∪ (𝐺 tsums 𝐹) ∈ V))
12	10, 11	mpbiri 257	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹) → 𝐶 ∈ V)
13		elsng 4638	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ {∪ (𝐺 tsums 𝐹)} ↔ 𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹)))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐶 ∈ {∪ (𝐺 tsums 𝐹)} ↔ 𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹)))
15	14	ibir 267	. . 3 ⊢ (𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹) → 𝐶 ∈ {∪ (𝐺 tsums 𝐹)})
16		elsni 4641	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ {∪ (𝐺 tsums 𝐹)} → 𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹))
17	15, 16	impbii 208	. 2 ⊢ (𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 ∈ {∪ (𝐺 tsums 𝐹)})
18	8, 17	bitr4di 288	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463  {csn 4624  ∪ cuni 4903   class class class wbr 5143  ⟶wf 6538  (class class class)co 7415  1_oc1o 8476   ≈ cen 8957  0cc0 11136  +∞cpnf 11273  [,]cicc 13357   ↾_s cress 17206  ℝ^*_𝑠cxrs 17479   tsums ctsu 24046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-xadd 13123  df-ioo 13358  df-ioc 13359  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-hash 14320  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-ordt 17480  df-xrs 17481  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-ps 18555  df-tsr 18556  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-ntr 22940  df-nei 23018  df-cn 23147  df-haus 23235  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-tsms 24047

This theorem is referenced by:  esumcl  33705