Theorem xrge0tsmsbi 32081

Description: Any limit of a finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is the union of the sets limits, since this set is a singleton. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0tsmseq.g	⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
xrge0tsmseq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
xrge0tsmseq.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0tsmsbi	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹)))

Proof of Theorem xrge0tsmsbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0tsmseq.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		xrge0tsmseq.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
3		xrge0tsmseq.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
4	3	xrge0tsms2 24280	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o)
5	1, 2, 4	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o)
6		en1b 9006	. . . 4 ⊢ ((𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o ↔ (𝐺 tsums 𝐹) = {∪ (𝐺 tsums 𝐹)})
7	5, 6	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = {∪ (𝐺 tsums 𝐹)})
8	7	eleq2d 2818	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 ∈ {∪ (𝐺 tsums 𝐹)}))
9		ovex 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 tsums 𝐹) ∈ V
10	9	uniex 7714	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝐺 tsums 𝐹) ∈ V
11		eleq1 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐶 ∈ V ↔ ∪ (𝐺 tsums 𝐹) ∈ V))
12	10, 11	mpbiri 257	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹) → 𝐶 ∈ V)
13		elsng 4636	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ {∪ (𝐺 tsums 𝐹)} ↔ 𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹)))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐶 ∈ {∪ (𝐺 tsums 𝐹)} ↔ 𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹)))
15	14	ibir 267	. . 3 ⊢ (𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹) → 𝐶 ∈ {∪ (𝐺 tsums 𝐹)})
16		elsni 4639	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ {∪ (𝐺 tsums 𝐹)} → 𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹))
17	15, 16	impbii 208	. 2 ⊢ (𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 ∈ {∪ (𝐺 tsums 𝐹)})
18	8, 17	bitr4di 288	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3473  {csn 4622  ∪ cuni 4901   class class class wbr 5141  ⟶wf 6528  (class class class)co 7393  1_oc1o 8441   ≈ cen 8919  0cc0 11092  +∞cpnf 11227  [,]cicc 13309   ↾_s cress 17155  ℝ^*_𝑠cxrs 17428   tsums ctsu 23559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-supp 8129  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9345  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-q 12915  df-xadd 13075  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-seq 13949  df-hash 14273  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-rest 17350  df-topn 17351  df-0g 17369  df-gsum 17370  df-topgen 17371  df-ordt 17429  df-xrs 17430  df-mre 17512  df-mrc 17513  df-acs 17515  df-ps 18501  df-tsr 18502  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-submnd 18648  df-cntz 19147  df-cmn 19614  df-fbas 20875  df-fg 20876  df-top 22325  df-topon 22342  df-topsp 22364  df-bases 22378  df-ntr 22453  df-nei 22531  df-cn 22660  df-haus 22748  df-fil 23279  df-fm 23371  df-flim 23372  df-flf 23373  df-tsms 23560

This theorem is referenced by:  esumcl  32857