Theorem xrge0tsmsbi 33628

Description: Any limit of a finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is the union of the sets limits, since this set is a singleton. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0tsmseq.g	⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
xrge0tsmseq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
xrge0tsmseq.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0tsmsbi	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹)))

Proof of Theorem xrge0tsmsbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0tsmseq.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		xrge0tsmseq.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
3		xrge0tsmseq.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
4	3	xrge0tsms2 25148	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o)
5	1, 2, 4	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o)
6		en1b 9045	. . . 4 ⊢ ((𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o ↔ (𝐺 tsums 𝐹) = {∪ (𝐺 tsums 𝐹)})
7	5, 6	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = {∪ (𝐺 tsums 𝐹)})
8	7	eleq2d 2847	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 ∈ {∪ (𝐺 tsums 𝐹)}))
9		ovex 7451	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 tsums 𝐹) ∈ V
10	9	uniex 7756	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝐺 tsums 𝐹) ∈ V
11		eleq1 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐶 ∈ V ↔ ∪ (𝐺 tsums 𝐹) ∈ V))
12	10, 11	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹) → 𝐶 ∈ V)
13		elsng 4598	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ {∪ (𝐺 tsums 𝐹)} ↔ 𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹)))
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐶 ∈ {∪ (𝐺 tsums 𝐹)} ↔ 𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹)))
15	14	ibir 271	. . 3 ⊢ (𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹) → 𝐶 ∈ {∪ (𝐺 tsums 𝐹)})
16		elsni 4601	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ {∪ (𝐺 tsums 𝐹)} → 𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹))
17	15, 16	impbii 212	. 2 ⊢ (𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 ∈ {∪ (𝐺 tsums 𝐹)})
18	8, 17	bitr4di 292	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  {csn 4584  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103  ⟶wf 6533  (class class class)co 7418  1_oc1o 8462   ≈ cen 8963  0cc0 11193  +∞cpnf 11333  [,]cicc 13472   ↾_s cress 17401  ℝ^*_𝑠cxrs 17665   tsums ctsu 24438

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-fi 9396  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-q 13069  df-xadd 13235  df-ioo 13473  df-ioc 13474  df-ico 13475  df-icc 13476  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-hash 14468  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-rest 17586  df-topn 17587  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-topgen 17607  df-ordt 17666  df-xrs 17667  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-ps 18733  df-tsr 18734  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-fbas 21668  df-fg 21669  df-top 23205  df-topon 23222  df-topsp 23244  df-bases 23257  df-ntr 23331  df-nei 23409  df-cn 23538  df-haus 23626  df-fil 24158  df-fm 24250  df-flim 24251  df-flf 24252  df-tsms 24439

This theorem is used by:  esumcl  34655