Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0tsmsbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0tsmsbi 32737
Description: Any limit of a finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is the union of the sets limits, since this set is a singleton. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0tsmseq.g 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
xrge0tsmseq.a (𝜑𝐴𝑉)
xrge0tsmseq.f (𝜑𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
xrge0tsmsbi (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹)))

Proof of Theorem xrge0tsmsbi
StepHypRef Expression
1 xrge0tsmseq.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
2 xrge0tsmseq.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
3 xrge0tsmseq.g . . . . . 6 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
43xrge0tsms2 24725 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o)
51, 2, 4syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o)
6 en1b 9037 . . . 4 ((𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o ↔ (𝐺 tsums 𝐹) = { (𝐺 tsums 𝐹)})
75, 6sylib 217 . . 3 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = { (𝐺 tsums 𝐹)})
87eleq2d 2814 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 ∈ { (𝐺 tsums 𝐹)}))
9 ovex 7447 . . . . . . 7 (𝐺 tsums 𝐹) ∈ V
109uniex 7738 . . . . . 6 (𝐺 tsums 𝐹) ∈ V
11 eleq1 2816 . . . . . 6 (𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐶 ∈ V ↔ (𝐺 tsums 𝐹) ∈ V))
1210, 11mpbiri 258 . . . . 5 (𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹) → 𝐶 ∈ V)
13 elsng 4638 . . . . 5 (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ { (𝐺 tsums 𝐹)} ↔ 𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹)))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐶 ∈ { (𝐺 tsums 𝐹)} ↔ 𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹)))
1514ibir 268 . . 3 (𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹) → 𝐶 ∈ { (𝐺 tsums 𝐹)})
16 elsni 4641 . . 3 (𝐶 ∈ { (𝐺 tsums 𝐹)} → 𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹))
1715, 16impbii 208 . 2 (𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 ∈ { (𝐺 tsums 𝐹)})
188, 17bitr4di 289 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3469  {csn 4624   cuni 4903   class class class wbr 5142  wf 6538  (class class class)co 7414  1oc1o 8471  cen 8950  0cc0 11124  +∞cpnf 11261  [,]cicc 13345  s cress 17194  *𝑠cxrs 17467   tsums ctsu 24004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-xadd 13111  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-hash 14308  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-rest 17389  df-topn 17390  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-topgen 17410  df-ordt 17468  df-xrs 17469  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-ps 18543  df-tsr 18544  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-fbas 21256  df-fg 21257  df-top 22770  df-topon 22787  df-topsp 22809  df-bases 22823  df-ntr 22898  df-nei 22976  df-cn 23105  df-haus 23193  df-fil 23724  df-fm 23816  df-flim 23817  df-flf 23818  df-tsms 24005
This theorem is referenced by:  esumcl  33572
  Copyright terms: Public domain W3C validator