Theorem xrge0tsmsbi 33215

Description: Any limit of a finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is the union of the sets limits, since this set is a singleton. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0tsmseq.g	⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
xrge0tsmseq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
xrge0tsmseq.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0tsmsbi	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹)))

Proof of Theorem xrge0tsmsbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0tsmseq.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		xrge0tsmseq.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
3		xrge0tsmseq.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
4	3	xrge0tsms2 24884	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o)
5	1, 2, 4	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o)
6		en1b 9000	. . . 4 ⊢ ((𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o ↔ (𝐺 tsums 𝐹) = {∪ (𝐺 tsums 𝐹)})
7	5, 6	sylib 220	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = {∪ (𝐺 tsums 𝐹)})
8	7	eleq2d 2847	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 ∈ {∪ (𝐺 tsums 𝐹)}))
9		ovex 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 tsums 𝐹) ∈ V
10	9	uniex 7719	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝐺 tsums 𝐹) ∈ V
11		eleq1 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐶 ∈ V ↔ ∪ (𝐺 tsums 𝐹) ∈ V))
12	10, 11	mpbiri 260	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹) → 𝐶 ∈ V)
13		elsng 4593	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ {∪ (𝐺 tsums 𝐹)} ↔ 𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹)))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐶 ∈ {∪ (𝐺 tsums 𝐹)} ↔ 𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹)))
15	14	ibir 270	. . 3 ⊢ (𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹) → 𝐶 ∈ {∪ (𝐺 tsums 𝐹)})
16		elsni 4596	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ {∪ (𝐺 tsums 𝐹)} → 𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹))
17	15, 16	impbii 211	. 2 ⊢ (𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 ∈ {∪ (𝐺 tsums 𝐹)})
18	8, 17	bitr4di 291	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  {csn 4579  ∪ cuni 4862   class class class wbr 5097  ⟶wf 6512  (class class class)co 7391  1_oc1o 8424   ≈ cen 8918  0cc0 11067  +∞cpnf 11207  [,]cicc 13346   ↾_s cress 17257  ℝ^*_𝑠cxrs 17521   tsums ctsu 24174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-fi 9351  df-sup 9382  df-inf 9383  df-oi 9452  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-q 12944  df-xadd 13109  df-ioo 13347  df-ioc 13348  df-ico 13349  df-icc 13350  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-seq 14009  df-hash 14338  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-rest 17442  df-topn 17443  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-topgen 17463  df-ordt 17522  df-xrs 17523  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-ps 18589  df-tsr 18590  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-cntz 19348  df-cmn 19813  df-fbas 21409  df-fg 21410  df-top 22942  df-topon 22959  df-topsp 22981  df-bases 22994  df-ntr 23068  df-nei 23146  df-cn 23275  df-haus 23363  df-fil 23894  df-fm 23986  df-flim 23987  df-flf 23988  df-tsms 24175

This theorem is referenced by:  esumcl  34288