Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0tsmsbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0tsmsbi 30746
Description: Any limit of a finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is the union of the sets limits, since this set is a singleton. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0tsmseq.g 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
xrge0tsmseq.a (𝜑𝐴𝑉)
xrge0tsmseq.f (𝜑𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
xrge0tsmsbi (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹)))

Proof of Theorem xrge0tsmsbi
StepHypRef Expression
1 xrge0tsmseq.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
2 xrge0tsmseq.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
3 xrge0tsmseq.g . . . . . 6 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
43xrge0tsms2 23443 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o)
51, 2, 4syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o)
6 en1b 8564 . . . 4 ((𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o ↔ (𝐺 tsums 𝐹) = { (𝐺 tsums 𝐹)})
75, 6sylib 221 . . 3 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = { (𝐺 tsums 𝐹)})
87eleq2d 2878 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 ∈ { (𝐺 tsums 𝐹)}))
9 ovex 7172 . . . . . . 7 (𝐺 tsums 𝐹) ∈ V
109uniex 7451 . . . . . 6 (𝐺 tsums 𝐹) ∈ V
11 eleq1 2880 . . . . . 6 (𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐶 ∈ V ↔ (𝐺 tsums 𝐹) ∈ V))
1210, 11mpbiri 261 . . . . 5 (𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹) → 𝐶 ∈ V)
13 elsng 4542 . . . . 5 (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ { (𝐺 tsums 𝐹)} ↔ 𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹)))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐶 ∈ { (𝐺 tsums 𝐹)} ↔ 𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹)))
1514ibir 271 . . 3 (𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹) → 𝐶 ∈ { (𝐺 tsums 𝐹)})
16 elsni 4545 . . 3 (𝐶 ∈ { (𝐺 tsums 𝐹)} → 𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹))
1715, 16impbii 212 . 2 (𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 ∈ { (𝐺 tsums 𝐹)})
188, 17syl6bbr 292 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   = wceq 1538  wcel 2112  Vcvv 3444  {csn 4528   cuni 4803   class class class wbr 5033  wf 6324  (class class class)co 7139  1oc1o 8082  cen 8493  0cc0 10530  +∞cpnf 10665  [,]cicc 12733  s cress 16479  *𝑠cxrs 16768   tsums ctsu 22734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-xadd 12500  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-ordt 16769  df-xrs 16770  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-ps 17805  df-tsr 17806  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-ntr 21628  df-nei 21706  df-cn 21835  df-haus 21923  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-tsms 22735
This theorem is referenced by:  esumcl  31397
  Copyright terms: Public domain W3C validator