Theorem esumid 34040

Description: Identify the extended sum as any limit points of the infinite sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumid.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
esumid.0	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
esumid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumid.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
esumid	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem esumid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-esum 34024	. 2 ⊢ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
3		esumid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		esumid.p	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
5		esumid.0	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
6		nfcv 2892	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(0[,]+∞)
7		esumid.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
9	4, 5, 6, 7, 8	fmptdF 32586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
10		esumid.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
11	2, 3, 9, 10	xrge0tsmseq 33010	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
12	1, 11	eqtr4id 2784	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2877  ∪ cuni 4873   ↦ cmpt 5190  (class class class)co 7389  0cc0 11074  +∞cpnf 11211  [,]cicc 13315   ↾_s cress 17206  ℝ^*_𝑠cxrs 17469   tsums ctsu 24019  Σ^*cesum 34023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-of 7655  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-er 8673  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9319  df-fi 9368  df-sup 9399  df-inf 9400  df-oi 9469  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-q 12914  df-xadd 13079  df-ioo 13316  df-ioc 13317  df-ico 13318  df-icc 13319  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-seq 13973  df-hash 14302  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-rest 17391  df-topn 17392  df-0g 17410  df-gsum 17411  df-topgen 17412  df-ordt 17470  df-xrs 17471  df-mre 17553  df-mrc 17554  df-acs 17556  df-ps 18531  df-tsr 18532  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18717  df-cntz 19255  df-cmn 19718  df-fbas 21267  df-fg 21268  df-top 22787  df-topon 22804  df-topsp 22826  df-bases 22839  df-ntr 22913  df-nei 22991  df-cn 23120  df-haus 23208  df-fil 23739  df-fm 23831  df-flim 23832  df-flf 23833  df-tsms 24020  df-esum 34024

This theorem is referenced by:  esumgsum  34041  esumsplit  34049  esumadd  34053  esumaddf  34057  esumcocn  34076