Theorem esumid 32108

Description: Identify the extended sum as any limit points of the infinite sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumid.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
esumid.0	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
esumid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumid.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
esumid	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem esumid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-esum 32092	. 2 ⊢ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
3		esumid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		esumid.p	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
5		esumid.0	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
6		nfcv 2903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(0[,]+∞)
7		esumid.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
9	4, 5, 6, 7, 8	fmptdF 31091	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
10		esumid.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
11	2, 3, 9, 10	xrge0tsmseq 31417	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
12	1, 11	eqtr4id 2794	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1538  Ⅎwnf 1782   ∈ wcel 2103  Ⅎwnfc 2883  ∪ cuni 4843   ↦ cmpt 5163  (class class class)co 7308  0cc0 10931  +∞cpnf 11066  [,]cicc 13142   ↾_s cress 17000  ℝ^*_𝑠cxrs 17270   tsums ctsu 23340  Σ^*cesum 32091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1968  ax-7 2008  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2134  ax-11 2151  ax-12 2168  ax-ext 2706  ax-rep 5217  ax-sep 5231  ax-nul 5238  ax-pow 5296  ax-pr 5360  ax-un 7621  ax-cnex 10987  ax-resscn 10988  ax-1cn 10989  ax-icn 10990  ax-addcl 10991  ax-addrcl 10992  ax-mulcl 10993  ax-mulrcl 10994  ax-mulcom 10995  ax-addass 10996  ax-mulass 10997  ax-distr 10998  ax-i2m1 10999  ax-1ne0 11000  ax-1rid 11001  ax-rnegex 11002  ax-rrecex 11003  ax-cnre 11004  ax-pre-lttri 11005  ax-pre-lttrn 11006  ax-pre-ltadd 11007  ax-pre-mulgt0 11008  ax-pre-sup 11009

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2813  df-nfc 2885  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3339  df-reu 3340  df-rab 3357  df-v 3438  df-sbc 3721  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4844  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5081  df-opab 5143  df-mpt 5164  df-tr 5198  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7265  df-ov 7311  df-oprab 7312  df-mpo 7313  df-of 7566  df-om 7749  df-1st 7867  df-2nd 7868  df-supp 8013  df-frecs 8132  df-wrecs 8163  df-recs 8237  df-rdg 8276  df-1o 8332  df-er 8534  df-map 8653  df-en 8770  df-dom 8771  df-sdom 8772  df-fin 8773  df-fsupp 9187  df-fi 9228  df-sup 9259  df-inf 9260  df-oi 9327  df-card 9755  df-pnf 11071  df-mnf 11072  df-xr 11073  df-ltxr 11074  df-le 11075  df-sub 11267  df-neg 11268  df-div 11693  df-nn 12034  df-2 12096  df-3 12097  df-4 12098  df-5 12099  df-6 12100  df-7 12101  df-8 12102  df-9 12103  df-n0 12294  df-z 12380  df-dec 12498  df-uz 12643  df-q 12749  df-xadd 12909  df-ioo 13143  df-ioc 13144  df-ico 13145  df-icc 13146  df-fz 13300  df-fzo 13443  df-seq 13782  df-hash 14105  df-struct 16907  df-sets 16924  df-slot 16942  df-ndx 16954  df-base 16972  df-ress 17001  df-plusg 17034  df-mulr 17035  df-tset 17040  df-ple 17041  df-ds 17043  df-rest 17192  df-topn 17193  df-0g 17211  df-gsum 17212  df-topgen 17213  df-ordt 17271  df-xrs 17272  df-mre 17354  df-mrc 17355  df-acs 17357  df-ps 18343  df-tsr 18344  df-mgm 18385  df-sgrp 18434  df-mnd 18445  df-submnd 18490  df-cntz 18982  df-cmn 19447  df-fbas 20657  df-fg 20658  df-top 22106  df-topon 22123  df-topsp 22145  df-bases 22159  df-ntr 22234  df-nei 22312  df-cn 22441  df-haus 22529  df-fil 23060  df-fm 23152  df-flim 23153  df-flf 23154  df-tsms 23341  df-esum 32092

This theorem is referenced by:  esumgsum  32109  esumsplit  32117  esumadd  32121  esumaddf  32125  esumcocn  32144