Theorem esumid 33983

Description: Identify the extended sum as any limit points of the infinite sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumid.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
esumid.0	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
esumid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumid.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
esumid	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem esumid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-esum 33967	. 2 ⊢ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
2		eqid 2734	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
3		esumid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		esumid.p	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
5		esumid.0	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
6		nfcv 2897	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(0[,]+∞)
7		esumid.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
9	4, 5, 6, 7, 8	fmptdF 32567	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
10		esumid.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
11	2, 3, 9, 10	xrge0tsmseq 32976	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
12	1, 11	eqtr4id 2788	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  Ⅎwnf 1782   ∈ wcel 2107  Ⅎwnfc 2882  ∪ cuni 4880   ↦ cmpt 5198  (class class class)co 7399  0cc0 11121  +∞cpnf 11258  [,]cicc 13356   ↾_s cress 17236  ℝ^*_𝑠cxrs 17499   tsums ctsu 24049  Σ^*cesum 33966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198  ax-pre-sup 11199

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4881  df-int 4920  df-iun 4966  df-iin 4967  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-of 7665  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8154  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8474  df-2o 8475  df-er 8713  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9368  df-fi 9417  df-sup 9448  df-inf 9449  df-oi 9516  df-card 9945  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11887  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-4 12297  df-5 12298  df-6 12299  df-7 12300  df-8 12301  df-9 12302  df-n0 12494  df-z 12581  df-dec 12701  df-uz 12845  df-q 12957  df-xadd 13121  df-ioo 13357  df-ioc 13358  df-ico 13359  df-icc 13360  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-seq 14009  df-hash 14337  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17214  df-ress 17237  df-plusg 17269  df-mulr 17270  df-tset 17275  df-ple 17276  df-ds 17278  df-rest 17421  df-topn 17422  df-0g 17440  df-gsum 17441  df-topgen 17442  df-ordt 17500  df-xrs 17501  df-mre 17583  df-mrc 17584  df-acs 17586  df-ps 18561  df-tsr 18562  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-cntz 19285  df-cmn 19748  df-fbas 21297  df-fg 21298  df-top 22817  df-topon 22834  df-topsp 22856  df-bases 22869  df-ntr 22943  df-nei 23021  df-cn 23150  df-haus 23238  df-fil 23769  df-fm 23861  df-flim 23862  df-flf 23863  df-tsms 24050  df-esum 33967

This theorem is referenced by:  esumgsum  33984  esumsplit  33992  esumadd  33996  esumaddf  34000  esumcocn  34019