Theorem esumid 30650

Description: Identify the extended sum as any limit points of the infinite sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumid.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
esumid.0	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
esumid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumid.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
esumid	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem esumid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2824	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
2		esumid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		esumid.p	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		esumid.0	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
5		nfcv 2968	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(0[,]+∞)
6		esumid.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
7		eqid 2824	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
8	3, 4, 5, 6, 7	fmptdF 30004	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
9		esumid.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
10	1, 2, 8, 9	xrge0tsmseq 30331	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
11		df-esum 30634	. 2 ⊢ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
12	10, 11	syl6reqr 2879	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658  Ⅎwnf 1884   ∈ wcel 2166  Ⅎwnfc 2955  ∪ cuni 4657   ↦ cmpt 4951  (class class class)co 6904  0cc0 10251  +∞cpnf 10387  [,]cicc 12465   ↾_s cress 16222  ℝ^*_𝑠cxrs 16512   tsums ctsu 22298  Σ^*cesum 30633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-iin 4742  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-of 7156  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-supp 7559  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-oadd 7829  df-er 8008  df-map 8123  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-fsupp 8544  df-fi 8585  df-sup 8616  df-inf 8617  df-oi 8683  df-card 9077  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-7 11418  df-8 11419  df-9 11420  df-n0 11618  df-z 11704  df-dec 11821  df-uz 11968  df-q 12071  df-xadd 12232  df-ioo 12466  df-ioc 12467  df-ico 12468  df-icc 12469  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-seq 13095  df-hash 13410  df-struct 16223  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-mulr 16318  df-tset 16323  df-ple 16324  df-ds 16326  df-rest 16435  df-topn 16436  df-0g 16454  df-gsum 16455  df-topgen 16456  df-ordt 16513  df-xrs 16514  df-mre 16598  df-mrc 16599  df-acs 16601  df-ps 17552  df-tsr 17553  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-submnd 17688  df-cntz 18099  df-cmn 18547  df-fbas 20102  df-fg 20103  df-top 21068  df-topon 21085  df-topsp 21107  df-bases 21120  df-ntr 21194  df-nei 21272  df-cn 21401  df-haus 21489  df-fil 22019  df-fm 22111  df-flim 22112  df-flf 22113  df-tsms 22299  df-esum 30634

This theorem is referenced by:  esumgsum  30651  esumsplit  30659  esumadd  30663  esumaddf  30667  esumcocn  30686