Theorem 37prm 13255

Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
37prm	⊢ ;37 ∈ ℙ

Proof of Theorem 37prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 9585	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		7nn 9475	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 9804	. 2 ⊢ ;37 ∈ ℕ
4		8nn0 9590	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5		4nn0 9586	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 9795	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
7		7nn0 9589	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
8		1nn0 9583	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		7lt10 9918	. . 3 ⊢ 7 < ;10
10		8nn 9476	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
11		3lt10 9922	. . . 4 ⊢ 3 < ;10
12	10, 5, 1, 11	declti 9823	. . 3 ⊢ 3 < ;84
13	1, 6, 7, 8, 9, 12	decltc 9814	. 2 ⊢ ;37 < ;;841
14		3nn 9471	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
15		1lt10 9924	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 7, 8, 15	declti 9823	. 2 ⊢ 1 < ;37
17		3t2e6 9463	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
18		df-7 9370	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
19	1, 1, 17, 18	dec2dvds 13210	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;37
20		2nn0 9584	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21	8, 20	deccl 9795	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
22		1nn 9317	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		6nn0 9588	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
24		6p1e7 9445	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
25		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
26		0nn0 9582	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27		3cn 9381	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	27	mulridi 8328	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 1) = 3
29	28	oveq1i 6095	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
30	27	addridi 8469	. . . . . 6 ⊢ (3 + 0) = 3
31	29, 30	eqtri 2259	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 0) = 3
32	23	dec0h 9807	. . . . . 6 ⊢ 6 = ;06
33	17, 32	eqtri 2259	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = ;06
34	1, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33	decmul2c 9851	. . . 4 ⊢ (3 · ;12) = ;36
35	1, 23, 24, 34	decsuc 9816	. . 3 ⊢ ((3 · ;12) + 1) = ;37
36		1lt3 9480	. . 3 ⊢ 1 < 3
37	14, 21, 22, 35, 36	ndvdsi 12716	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;37
38		2nn 9470	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
39		2lt5 9486	. . 3 ⊢ 2 < 5
40		5p2e7 9453	. . 3 ⊢ (5 + 2) = 7
41	1, 38, 39, 40	dec5dvds2 13212	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;37
42		5nn0 9587	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
43		7t5e35 9897	. . . 4 ⊢ (7 · 5) = ;35
44	1, 42, 20, 43, 40	decaddi 9845	. . 3 ⊢ ((7 · 5) + 2) = ;37
45		2lt7 9497	. . 3 ⊢ 2 < 7
46	2, 42, 38, 44, 45	ndvdsi 12716	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;37
47	8, 22	decnncl 9804	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
48		4nn 9472	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
49		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
50	27	mullidi 8329	. . . 4 ⊢ (1 · 3) = 3
51	50	oveq1i 6095	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 4) = (3 + 4)
52	48	nncni 9316	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
53		4p3e7 9451	. . . . . 6 ⊢ (4 + 3) = 7
54	52, 27, 53	addcomli 8472	. . . . 5 ⊢ (3 + 4) = 7
55	51, 54	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 4) = 7
56	8, 8, 5, 49, 1, 50, 55	decrmanc 9842	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + 4) = ;37
57		4lt10 9921	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
58	22, 8, 5, 57	declti 9823	. . 3 ⊢ 4 < ;11
59	47, 1, 48, 56, 58	ndvdsi 12716	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;37
60	8, 14	decnncl 9804	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
61		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
62		2cn 9377	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
63	62	mullidi 8329	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
64	20, 8, 1, 61, 23, 63, 17	decmul1 9849	. . . 4 ⊢ (;13 · 2) = ;26
65		2p1e3 9440	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
66	20, 23, 8, 8, 64, 49, 65, 24	decadd 9839	. . 3 ⊢ ((;13 · 2) + ;11) = ;37
67	8, 8, 14, 36	declt 9813	. . 3 ⊢ ;11 < ;13
68	60, 20, 47, 66, 67	ndvdsi 12716	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;37
69	8, 2	decnncl 9804	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
70		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
71	1	dec0h 9807	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
72		0p1e1 9420	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
73	63, 72	oveq12i 6097	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
74	73, 65	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
75		7t2e14 9894	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
76	8, 5, 1, 75, 53	decaddi 9845	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 3) = ;17
77	8, 7, 26, 1, 70, 71, 20, 7, 8, 74, 76	decmac 9837	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 3) = ;37
78	22, 7, 1, 11	declti 9823	. . 3 ⊢ 3 < ;17
79	69, 20, 14, 77, 78	ndvdsi 12716	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;37
80		9nn 9477	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
81	8, 80	decnncl 9804	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
82	8, 10	decnncl 9804	. . 3 ⊢ ;18 ∈ ℕ
83		9nn0 9591	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
84	81	nncni 9316	. . . . 5 ⊢ ;19 ∈ ℂ
85	84	mulridi 8328	. . . 4 ⊢ (;19 · 1) = ;19
86		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ;18 = ;18
87		1p1e2 9423	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
88	87	oveq1i 6095	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
89	88, 65	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
90		9p8e17 9878	. . . 4 ⊢ (9 + 8) = ;17
91	8, 83, 8, 4, 85, 86, 89, 7, 90	decaddc 9840	. . 3 ⊢ ((;19 · 1) + ;18) = ;37
92		8lt9 9506	. . . 4 ⊢ 8 < 9
93	8, 4, 80, 92	declt 9813	. . 3 ⊢ ;18 < ;19
94	81, 8, 82, 91, 93	ndvdsi 12716	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;37
95	20, 14	decnncl 9804	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
96	8, 48	decnncl 9804	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
97	95	nncni 9316	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
98	97	mulridi 8328	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
99		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
100	20, 1, 8, 5, 98, 99, 65, 54	decadd 9839	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;14) = ;37
101		1lt2 9478	. . . 4 ⊢ 1 < 2
102	8, 20, 5, 1, 57, 101	decltc 9814	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
103	95, 8, 96, 100, 102	ndvdsi 12716	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;37
104	3, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 59, 68, 79, 94, 103	prmlem2 13254	1 ⊢ ;37 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   · cmul 8184  2c2 9357  3c3 9358  4c4 9359  5c5 9360  6c6 9361  7c7 9362  8c8 9363  9c9 9364  ;cdc 9781  ℙcprime 12901

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-reap 8905  df-ap 8912  df-div 9005  df-inn 9307  df-2 9365  df-3 9366  df-4 9367  df-5 9368  df-6 9369  df-7 9370  df-8 9371  df-9 9372  df-n0 9568  df-z 9649  df-dec 9782  df-uz 9931  df-q 10029  df-rp 10065  df-fz 10422  df-fzo 10560  df-fl 10715  df-mod 10773  df-seqfrec 10898  df-exp 10989  df-cj 11621  df-re 11622  df-im 11623  df-rsqrt 11778  df-abs 11779  df-dvds 12571  df-prm 12902

This theorem is used by:  1259prm  13267