Theorem dihglbcN 42272

Description: Isomorphism H of a lattice glb when the glb is not under the fiducial hyperplane 𝑊. (Contributed by NM, 26-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihglbc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglbc.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglbc.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglbc.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihglbc.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
dihglbcN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥, ≤   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem dihglbcN

Dummy variables 𝑞 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihglbc.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		dihglbc.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
3		dihglbc.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dihglbc.i	. 2 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
5		dihglbc.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		eqid 2760	. 2 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
7		eqid 2760	. 2 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
8		eqid 2760	. 2 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
9		eqid 2760	. 2 ⊢ ((oc‘𝐾)‘𝑊) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
10		eqid 2760	. 2 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2760	. 2 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
12		eqid 2760	. 2 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
13		eqid 2760	. 2 ⊢ (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑞) = (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑞)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	dihglbcpreN 42271	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ∩ ciin 4952   class class class wbr 5103  ‘cfv 6528  ℩crio 7365  Basecbs 17334  lecple 17382  occoc 17383  glbcglb 18431  joincjn 18432  meetcmee 18433  Atomscatm 40234  HLchlt 40321  LHypclh 40955  LTrncltrn 41072  trLctrl 41129  TEndoctendo 41723  DIsoHcdih 42199

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-riotaBAD 39924

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8222  df-undef 8269  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-fz 13595  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-0g 17559  df-proset 18415  df-poset 18434  df-plt 18449  df-lub 18465  df-glb 18466  df-join 18467  df-meet 18468  df-p0 18544  df-p1 18545  df-lat 18553  df-clat 18620  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-submnd 18926  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-sbg 19096  df-subg 19280  df-cntz 19478  df-lsm 19797  df-cmn 19943  df-abl 19944  df-mgp 20308  df-rng 20322  df-ur 20355  df-ring 20408  df-oppr 20514  df-dvdsr 20534  df-unit 20535  df-invr 20565  df-dvr 20578  df-drng 20929  df-lmod 21084  df-lss 21154  df-lsp 21194  df-lvec 21325  df-oposet 40147  df-ol 40149  df-oml 40150  df-covers 40237  df-ats 40238  df-atl 40269  df-cvlat 40293  df-hlat 40322  df-llines 40469  df-lplanes 40470  df-lvols 40471  df-lines 40472  df-psubsp 40474  df-pmap 40475  df-padd 40767  df-lhyp 40959  df-laut 40960  df-ldil 41075  df-ltrn 41076  df-trl 41130  df-tendo 41726  df-edring 41728  df-disoa 42000  df-dvech 42050  df-dib 42110  df-dic 42144  df-dih 42200

This theorem is used by:  dihmeetcN  42273