Theorem dihmeetlem4N 38918

Description: Lemma for isomorphism H of a lattice meet. (Contributed by NM, 30-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihmeetlem4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihmeetlem4.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihmeetlem4.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dihmeetlem4.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihmeetlem4.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihmeetlem4.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihmeetlem4.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihmeetlem4.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dihmeetlem4N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘𝑄) ∩ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊))) = { 0 })

Proof of Theorem dihmeetlem4N

Dummy variables 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihmeetlem4.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		dihmeetlem4.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		dihmeetlem4.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		dihmeetlem4.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		dihmeetlem4.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		dihmeetlem4.i	. 2 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
7		dihmeetlem4.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		dihmeetlem4.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
9		eqid 2758	. 2 ⊢ (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) = (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)
10		eqid 2758	. 2 ⊢ ((oc‘𝐾)‘𝑊) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2758	. 2 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
12		eqid 2758	. 2 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
13		eqid 2758	. 2 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2758	. 2 ⊢ (ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) = (ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	dihmeetlem4preN 38917	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘𝑄) ∩ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊))) = { 0 })

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3859  {csn 4525   class class class wbr 5036   ↦ cmpt 5116   I cid 5433   ↾ cres 5530  ‘cfv 6340  ℩crio 7113  (class class class)co 7156  Basecbs 16555  lecple 16644  occoc 16645  0_gc0g 16785  meetcmee 17635  Atomscatm 36874  HLchlt 36961  LHypclh 37595  LTrncltrn 37712  trLctrl 37769  TEndoctendo 38363  DVecHcdvh 38689  DIsoHcdih 38839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-riotaBAD 36564

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-tpos 7908  df-undef 7955  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-fz 12953  df-struct 16557  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-sets 16562  df-ress 16563  df-plusg 16650  df-mulr 16651  df-sca 16653  df-vsca 16654  df-0g 16787  df-proset 17618  df-poset 17636  df-plt 17648  df-lub 17664  df-glb 17665  df-join 17666  df-meet 17667  df-p0 17729  df-p1 17730  df-lat 17736  df-clat 17798  df-mgm 17932  df-sgrp 17981  df-mnd 17992  df-submnd 18037  df-grp 18186  df-minusg 18187  df-sbg 18188  df-subg 18357  df-cntz 18528  df-lsm 18842  df-cmn 18989  df-abl 18990  df-mgp 19322  df-ur 19334  df-ring 19381  df-oppr 19458  df-dvdsr 19476  df-unit 19477  df-invr 19507  df-dvr 19518  df-drng 19586  df-lmod 19718  df-lss 19786  df-lsp 19826  df-lvec 19957  df-oposet 36787  df-ol 36789  df-oml 36790  df-covers 36877  df-ats 36878  df-atl 36909  df-cvlat 36933  df-hlat 36962  df-llines 37109  df-lplanes 37110  df-lvols 37111  df-lines 37112  df-psubsp 37114  df-pmap 37115  df-padd 37407  df-lhyp 37599  df-laut 37600  df-ldil 37715  df-ltrn 37716  df-trl 37770  df-tendo 38366  df-edring 38368  df-disoa 38640  df-dvech 38690  df-dib 38750  df-dic 38784  df-dih 38840

This theorem is referenced by: (None)