MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmatid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmatid 20668
Description: The identity matrix is a diagonal matrix. (Contributed by AV, 19-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmatid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
dmatid.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
dmatid.0 0 = (0g𝑅)
dmatid.d 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dmatid ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem dmatid
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmatid.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
21matring 20615 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
3 dmatid.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 eqid 2824 . . . 4 (1r𝐴) = (1r𝐴)
53, 4ringidcl 18921 . . 3 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
62, 5syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
7 eqid 2824 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
8 dmatid.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
9 simpl 476 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
109adantr 474 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
11 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
1211adantr 474 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
13 simpl 476 . . . . . . 7 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
1413adantl 475 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
15 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
1615adantl 475 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
171, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 4mat1ov 20621 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(1r𝐴)𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 ))
18 ifnefalse 4317 . . . . 5 (𝑖𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 ) = 0 )
1917, 18sylan9eq 2880 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → (𝑖(1r𝐴)𝑗) = 0 )
2019ex 403 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑗 → (𝑖(1r𝐴)𝑗) = 0 ))
2120ralrimivva 3179 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖(1r𝐴)𝑗) = 0 ))
22 dmatid.d . . 3 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
231, 3, 8, 22dmatel 20666 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r𝐴) ∈ 𝐷 ↔ ((1r𝐴) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖(1r𝐴)𝑗) = 0 ))))
246, 21, 23mpbir2and 706 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2998  wral 3116  ifcif 4305  cfv 6122  (class class class)co 6904  Fincfn 8221  Basecbs 16221  0gc0g 16452  1rcur 18854  Ringcrg 18900   Mat cmat 20579   DMat cdmat 20661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-ot 4405  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-iin 4742  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-of 7156  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-supp 7559  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-oadd 7829  df-er 8008  df-map 8123  df-ixp 8175  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-fsupp 8544  df-sup 8616  df-oi 8683  df-card 9077  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-7 11418  df-8 11419  df-9 11420  df-n0 11618  df-z 11704  df-dec 11821  df-uz 11968  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-seq 13095  df-hash 13410  df-struct 16223  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-mulr 16318  df-sca 16320  df-vsca 16321  df-ip 16322  df-tset 16323  df-ple 16324  df-ds 16326  df-hom 16328  df-cco 16329  df-0g 16454  df-gsum 16455  df-prds 16460  df-pws 16462  df-mre 16598  df-mrc 16599  df-acs 16601  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-mhm 17687  df-submnd 17688  df-grp 17778  df-minusg 17779  df-sbg 17780  df-mulg 17894  df-subg 17941  df-ghm 18008  df-cntz 18099  df-cmn 18547  df-abl 18548  df-mgp 18843  df-ur 18855  df-ring 18902  df-subrg 19133  df-lmod 19220  df-lss 19288  df-sra 19532  df-rgmod 19533  df-dsmm 20438  df-frlm 20453  df-mamu 20556  df-mat 20580  df-dmat 20663
This theorem is referenced by:  dmatsgrp  20672  dmatsrng  20674  scmatscmiddistr  20681
  Copyright terms: Public domain W3C validator