Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem98 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem98 45515
Description: 𝐹 is continuous on the intervals induced by the moved partition 𝑉. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem98.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourierdlem98.p 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem98.t 𝑇 = (𝐡 βˆ’ 𝐴)
fourierdlem98.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem98.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
fourierdlem98.fper ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
fourierdlem98.qcn ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
fourierdlem98.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
fourierdlem98.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (𝐢(,)+∞))
fourierdlem98.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (0..^((β™―β€˜({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)))
fourierdlem98.v 𝑉 = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒβ„Ž ∈ β„€ (𝑦 + (β„Ž Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem98 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π½)(,)(π‘‰β€˜(𝐽 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π½)(,)(π‘‰β€˜(𝐽 + 1)))–cnβ†’β„‚))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,π‘₯   𝐴,π‘š,𝑝,𝑖   𝐡,𝑖,π‘₯   𝐡,π‘š,𝑝   𝐢,𝑔,𝑦   𝐢,𝑖,π‘₯,𝑦   𝐢,π‘š,𝑝,𝑦   𝐷,𝑔,𝑦   𝐷,𝑖,π‘₯   𝐷,π‘š,𝑝   𝑖,𝐹,π‘₯   𝑖,𝐽,π‘₯   𝑖,𝑀,π‘₯   π‘š,𝑀,𝑝   𝑄,𝑔,π‘˜,𝑦   𝑄,β„Ž,𝑦   𝑄,𝑖,π‘₯,π‘˜   𝑄,π‘š,𝑝,π‘˜   𝑇,𝑔,π‘˜,𝑦   𝑇,β„Ž   𝑇,𝑖,π‘₯   𝑇,π‘š,𝑝   𝑖,𝑉,π‘₯   𝑉,𝑝   πœ‘,𝑖,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑔,β„Ž,π‘˜,π‘š,𝑝)   𝐴(𝑦,𝑔,β„Ž,π‘˜)   𝐡(𝑦,𝑔,β„Ž,π‘˜)   𝐢(β„Ž,π‘˜)   𝐷(β„Ž,π‘˜)   𝑃(π‘₯,𝑦,𝑔,β„Ž,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑝)   𝐹(𝑦,𝑔,β„Ž,π‘˜,π‘š,𝑝)   𝐽(𝑦,𝑔,β„Ž,π‘˜,π‘š,𝑝)   𝑀(𝑦,𝑔,β„Ž,π‘˜)   𝑉(𝑦,𝑔,β„Ž,π‘˜,π‘š)

Proof of Theorem fourierdlem98
Dummy variables 𝑓 𝑙 𝑑 𝑒 𝑀 𝑧 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem98.p . 2 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
2 fourierdlem98.t . 2 𝑇 = (𝐡 βˆ’ 𝐴)
3 fourierdlem98.m . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
4 fourierdlem98.q . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
5 fourierdlem98.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
6 ax-resscn 11187 . . . 4 ℝ βŠ† β„‚
76a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
85, 7fssd 6734 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
9 fourierdlem98.fper . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
10 fourierdlem98.qcn . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
11 fourierdlem98.c . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
12 fourierdlem98.d . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (𝐢(,)+∞))
13 eqid 2727 . 2 (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐢 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐷) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))}) = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐢 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐷) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
14 oveq1 7421 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 β†’ (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑇)) = (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑇)))
1514eleq1d 2813 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 β†’ ((𝑧 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
1615rexbidv 3173 . . . . 5 (𝑧 = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
1716cbvrabv 3437 . . . 4 {𝑧 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
1817uneq2i 4156 . . 3 ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑧 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
1918eqcomi 2736 . 2 ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑧 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
20 oveq1 7421 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (π‘˜ Β· 𝑇) = (𝑙 Β· 𝑇))
2120oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) = (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑇)))
2221eleq1d 2813 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑙 β†’ ((𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
2322cbvrexvw 3230 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
2423a1i 11 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
2524rabbiia 3431 . . . . 5 {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
2625uneq2i 4156 . . . 4 ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
2726fveq2i 6894 . . 3 (β™―β€˜({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) = (β™―β€˜({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))
2827oveq1i 7424 . 2 ((β™―β€˜({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1) = ((β™―β€˜({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)
29 oveq1 7421 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = β„Ž β†’ (𝑙 Β· 𝑇) = (β„Ž Β· 𝑇))
3029oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = β„Ž β†’ (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑇)) = (𝑦 + (β„Ž Β· 𝑇)))
3130eleq1d 2813 . . . . . . . . 9 (𝑙 = β„Ž β†’ ((𝑦 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (β„Ž Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
3231cbvrexvw 3230 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒβ„Ž ∈ β„€ (𝑦 + (β„Ž Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
3332a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒβ„Ž ∈ β„€ (𝑦 + (β„Ž Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
3433rabbiia 3431 . . . . . 6 {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒβ„Ž ∈ β„€ (𝑦 + (β„Ž Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
3534uneq2i 4156 . . . . 5 ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒβ„Ž ∈ β„€ (𝑦 + (β„Ž Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
36 isoeq5 7323 . . . . 5 (({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒβ„Ž ∈ β„€ (𝑦 + (β„Ž Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) β†’ (𝑔 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒβ„Ž ∈ β„€ (𝑦 + (β„Ž Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
3735, 36ax-mp 5 . . . 4 (𝑔 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒβ„Ž ∈ β„€ (𝑦 + (β„Ž Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
3837iotabii 6527 . . 3 (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒβ„Ž ∈ β„€ (𝑦 + (β„Ž Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
39 isoeq1 7319 . . . 4 (𝑓 = 𝑔 β†’ (𝑓 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
4039cbviotavw 6502 . . 3 (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
41 fourierdlem98.v . . 3 𝑉 = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒβ„Ž ∈ β„€ (𝑦 + (β„Ž Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
4238, 40, 413eqtr4ri 2766 . 2 𝑉 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
43 id 22 . . . 4 (𝑣 = π‘₯ β†’ 𝑣 = π‘₯)
44 oveq2 7422 . . . . . . 7 (𝑣 = π‘₯ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑣) = (𝐡 βˆ’ π‘₯))
4544oveq1d 7429 . . . . . 6 (𝑣 = π‘₯ β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇) = ((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇))
4645fveq2d 6895 . . . . 5 (𝑣 = π‘₯ β†’ (βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) = (βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)))
4746oveq1d 7429 . . . 4 (𝑣 = π‘₯ β†’ ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇) = ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇))
4843, 47oveq12d 7432 . . 3 (𝑣 = π‘₯ β†’ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)) = (π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇)))
4948cbvmptv 5255 . 2 (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇)))
50 eqeq1 2731 . . . 4 (𝑒 = 𝑧 β†’ (𝑒 = 𝐡 ↔ 𝑧 = 𝐡))
51 id 22 . . . 4 (𝑒 = 𝑧 β†’ 𝑒 = 𝑧)
5250, 51ifbieq2d 4550 . . 3 (𝑒 = 𝑧 β†’ if(𝑒 = 𝐡, 𝐴, 𝑒) = if(𝑧 = 𝐡, 𝐴, 𝑧))
5352cbvmptv 5255 . 2 (𝑒 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑒 = 𝐡, 𝐴, 𝑒)) = (𝑧 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐴, 𝑧))
54 fourierdlem98.j . 2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (0..^((β™―β€˜({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)))
55 eqid 2727 . 2 ((π‘‰β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜(π‘‰β€˜(𝐽 + 1)))) = ((π‘‰β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜(π‘‰β€˜(𝐽 + 1))))
56 eqid 2727 . 2 (𝐹 β†Ύ (((𝑒 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑒 = 𝐡, 𝐴, 𝑒))β€˜((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜(π‘‰β€˜π½)))(,)((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜(π‘‰β€˜(𝐽 + 1))))) = (𝐹 β†Ύ (((𝑒 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑒 = 𝐡, 𝐴, 𝑒))β€˜((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜(π‘‰β€˜π½)))(,)((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜(π‘‰β€˜(𝐽 + 1)))))
57 eqid 2727 . 2 (𝑧 ∈ ((((𝑒 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑒 = 𝐡, 𝐴, 𝑒))β€˜((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜(π‘‰β€˜π½))) + ((π‘‰β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜(π‘‰β€˜(𝐽 + 1)))))(,)(((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜(π‘‰β€˜(𝐽 + 1))) + ((π‘‰β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜(π‘‰β€˜(𝐽 + 1)))))) ↦ ((𝐹 β†Ύ (((𝑒 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑒 = 𝐡, 𝐴, 𝑒))β€˜((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜(π‘‰β€˜π½)))(,)((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜(π‘‰β€˜(𝐽 + 1)))))β€˜(𝑧 βˆ’ ((π‘‰β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜(π‘‰β€˜(𝐽 + 1))))))) = (𝑧 ∈ ((((𝑒 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑒 = 𝐡, 𝐴, 𝑒))β€˜((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜(π‘‰β€˜π½))) + ((π‘‰β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜(π‘‰β€˜(𝐽 + 1)))))(,)(((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜(π‘‰β€˜(𝐽 + 1))) + ((π‘‰β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜(π‘‰β€˜(𝐽 + 1)))))) ↦ ((𝐹 β†Ύ (((𝑒 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑒 = 𝐡, 𝐴, 𝑒))β€˜((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜(π‘‰β€˜π½)))(,)((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜(π‘‰β€˜(𝐽 + 1)))))β€˜(𝑧 βˆ’ ((π‘‰β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜(π‘‰β€˜(𝐽 + 1)))))))
58 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑑 β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘‘))
5958breq1d 5152 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑑 β†’ ((π‘„β€˜π‘–) ≀ ((𝑒 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑒 = 𝐡, 𝐴, 𝑒))β€˜((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯)) ↔ (π‘„β€˜π‘‘) ≀ ((𝑒 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑒 = 𝐡, 𝐴, 𝑒))β€˜((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯))))
6059cbvrabv 3437 . . . . 5 {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘–) ≀ ((𝑒 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑒 = 𝐡, 𝐴, 𝑒))β€˜((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯))} = {𝑑 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘‘) ≀ ((𝑒 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑒 = 𝐡, 𝐴, 𝑒))β€˜((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯))}
61 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘€) = ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯))
6261fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((𝑒 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑒 = 𝐡, 𝐴, 𝑒))β€˜((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘€)) = ((𝑒 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑒 = 𝐡, 𝐴, 𝑒))β€˜((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯)))
6362eqcomd 2733 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((𝑒 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑒 = 𝐡, 𝐴, 𝑒))β€˜((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯)) = ((𝑒 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑒 = 𝐡, 𝐴, 𝑒))β€˜((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘€)))
6463breq2d 5154 . . . . . 6 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((π‘„β€˜π‘‘) ≀ ((𝑒 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑒 = 𝐡, 𝐴, 𝑒))β€˜((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯)) ↔ (π‘„β€˜π‘‘) ≀ ((𝑒 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑒 = 𝐡, 𝐴, 𝑒))β€˜((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘€))))
6564rabbidv 3435 . . . . 5 (𝑀 = π‘₯ β†’ {𝑑 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘‘) ≀ ((𝑒 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑒 = 𝐡, 𝐴, 𝑒))β€˜((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯))} = {𝑑 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘‘) ≀ ((𝑒 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑒 = 𝐡, 𝐴, 𝑒))β€˜((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘€))})
6660, 65eqtr2id 2780 . . . 4 (𝑀 = π‘₯ β†’ {𝑑 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘‘) ≀ ((𝑒 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑒 = 𝐡, 𝐴, 𝑒))β€˜((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘€))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘–) ≀ ((𝑒 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑒 = 𝐡, 𝐴, 𝑒))β€˜((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯))})
6766supeq1d 9461 . . 3 (𝑀 = π‘₯ β†’ sup({𝑑 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘‘) ≀ ((𝑒 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑒 = 𝐡, 𝐴, 𝑒))β€˜((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘€))}, ℝ, < ) = sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘–) ≀ ((𝑒 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑒 = 𝐡, 𝐴, 𝑒))β€˜((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯))}, ℝ, < ))
6867cbvmptv 5255 . 2 (𝑀 ∈ ℝ ↦ sup({𝑑 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘‘) ≀ ((𝑒 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑒 = 𝐡, 𝐴, 𝑒))β€˜((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘€))}, ℝ, < )) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘–) ≀ ((𝑒 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑒 = 𝐡, 𝐴, 𝑒))β€˜((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑣) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯))}, ℝ, < ))
691, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 19, 28, 42, 49, 53, 54, 55, 56, 57, 68fourierdlem90 45507 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π½)(,)(π‘‰β€˜(𝐽 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π½)(,)(π‘‰β€˜(𝐽 + 1)))–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  {crab 3427   βˆͺ cun 3942   βŠ† wss 3944  ifcif 4524  {cpr 4626   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674  β„©cio 6492  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542   Isom wiso 6543  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8836  supcsup 9455  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   Β· cmul 11135  +∞cpnf 11267   < clt 11270   ≀ cle 11271   βˆ’ cmin 11466   / cdiv 11893  β„•cn 12234  β„€cz 12580  (,)cioo 13348  (,]cioc 13349  [,]cicc 13351  ...cfz 13508  ..^cfzo 13651  βŒŠcfl 13779  β™―chash 14313  β€“cnβ†’ccncf 24783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-rest 17395  df-topgen 17416  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-top 22783  df-topon 22800  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-cmp 23278  df-cncf 24785
This theorem is referenced by:  fourierdlem112  45529
  Copyright terms: Public domain W3C validator