Theorem hdmaplna2 42887

Description: Additive property of second (inner product) argument. (Contributed by NM, 10-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmaplna2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaplna2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaplna2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaplna2.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
hdmaplna2.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmaplna2.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
hdmaplna2.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaplna2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmaplna2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmaplna2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
hdmaplna2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmaplna2	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝑌 + 𝑍))‘𝑋) = (((𝑆‘𝑌)‘𝑋) ⨣ ((𝑆‘𝑍)‘𝑋)))

Proof of Theorem hdmaplna2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmaplna2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmaplna2.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmaplna2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hdmaplna2.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑈)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
7		hdmaplna2.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmaplna2.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		hdmaplna2.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
10		hdmaplna2.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	hdmapadd 42820	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑌 + 𝑍)) = ((𝑆‘𝑌)(+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆‘𝑍)))
12	11	fveq1d 6875	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝑌 + 𝑍))‘𝑋) = (((𝑆‘𝑌)(+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆‘𝑍))‘𝑋))
13		hdmaplna2.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
14		hdmaplna2.q	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
15		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
16	1, 2, 3, 5, 15, 7, 8, 9	hdmapcl 42807	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑌) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
17	1, 2, 3, 5, 15, 7, 8, 10	hdmapcl 42807	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑍) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
18		hdmaplna2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
19	1, 2, 3, 13, 14, 5, 15, 6, 8, 16, 17, 18	lcdvaddval 42575	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝑌)(+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆‘𝑍))‘𝑋) = (((𝑆‘𝑌)‘𝑋) ⨣ ((𝑆‘𝑍)‘𝑋)))
20	12, 19	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝑌 + 𝑍))‘𝑋) = (((𝑆‘𝑌)‘𝑋) ⨣ ((𝑆‘𝑍)‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17348  +_gcplusg 17389  Scalarcsca 17392  HLchlt 40327  LHypclh 40961  DVecHcdvh 42055  LCDualclcd 42563  HDMapchdma 42769

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-riotaBAD 39930

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8221  df-undef 8268  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-0g 17573  df-mre 17717  df-mrc 17718  df-acs 17720  df-proset 18429  df-poset 18448  df-plt 18463  df-lub 18479  df-glb 18480  df-join 18481  df-meet 18482  df-p0 18558  df-p1 18559  df-lat 18567  df-clat 18634  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-submnd 18940  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-sbg 19110  df-subg 19294  df-cntz 19492  df-oppg 19521  df-lsm 19811  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-ring 20422  df-oppr 20528  df-dvdsr 20548  df-unit 20549  df-invr 20579  df-dvr 20592  df-nzr 20724  df-rlreg 20907  df-domn 20908  df-drng 20943  df-lmod 21098  df-lss 21168  df-lsp 21208  df-lvec 21339  df-lsatoms 39953  df-lshyp 39954  df-lcv 39996  df-lfl 40035  df-lkr 40063  df-ldual 40101  df-oposet 40153  df-ol 40155  df-oml 40156  df-covers 40243  df-ats 40244  df-atl 40275  df-cvlat 40299  df-hlat 40328  df-llines 40475  df-lplanes 40476  df-lvols 40477  df-lines 40478  df-psubsp 40480  df-pmap 40481  df-padd 40773  df-lhyp 40965  df-laut 40966  df-ldil 41081  df-ltrn 41082  df-trl 41136  df-tgrp 41720  df-tendo 41732  df-edring 41734  df-dveca 41980  df-disoa 42006  df-dvech 42056  df-dib 42116  df-dic 42150  df-dih 42206  df-doch 42325  df-djh 42372  df-lcdual 42564  df-mapd 42602  df-hvmap 42734  df-hdmap1 42770  df-hdmap 42771

This theorem is used by:  hdmapgln2  42889  hdmapinvlem4  42898