Theorem hdmaplna2 39570

Description: Additive property of second (inner product) argument. (Contributed by NM, 10-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmaplna2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaplna2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaplna2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaplna2.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
hdmaplna2.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmaplna2.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
hdmaplna2.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaplna2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmaplna2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmaplna2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
hdmaplna2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmaplna2	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝑌 + 𝑍))‘𝑋) = (((𝑆‘𝑌)‘𝑋) ⨣ ((𝑆‘𝑍)‘𝑋)))

Proof of Theorem hdmaplna2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmaplna2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmaplna2.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmaplna2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hdmaplna2.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑈)
5		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
7		hdmaplna2.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmaplna2.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		hdmaplna2.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
10		hdmaplna2.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	hdmapadd 39503	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑌 + 𝑍)) = ((𝑆‘𝑌)(+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆‘𝑍)))
12	11	fveq1d 6679	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝑌 + 𝑍))‘𝑋) = (((𝑆‘𝑌)(+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆‘𝑍))‘𝑋))
13		hdmaplna2.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
14		hdmaplna2.q	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
15		eqid 2739	. . 3 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
16	1, 2, 3, 5, 15, 7, 8, 9	hdmapcl 39490	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑌) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
17	1, 2, 3, 5, 15, 7, 8, 10	hdmapcl 39490	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑍) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
18		hdmaplna2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
19	1, 2, 3, 13, 14, 5, 15, 6, 8, 16, 17, 18	lcdvaddval 39258	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝑌)(+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆‘𝑍))‘𝑋) = (((𝑆‘𝑌)‘𝑋) ⨣ ((𝑆‘𝑍)‘𝑋)))
20	12, 19	eqtrd 2774	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝑌 + 𝑍))‘𝑋) = (((𝑆‘𝑌)‘𝑋) ⨣ ((𝑆‘𝑍)‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6340  (class class class)co 7173  Basecbs 16589  +_gcplusg 16671  Scalarcsca 16674  HLchlt 37010  LHypclh 37644  DVecHcdvh 38738  LCDualclcd 39246  HDMapchdma 39452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695  ax-riotaBAD 36613

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-ot 4526  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-of 7428  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-tpos 7924  df-undef 7971  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-1o 8134  df-er 8323  df-map 8442  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-fin 8562  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-nn 11720  df-2 11782  df-3 11783  df-4 11784  df-5 11785  df-6 11786  df-n0 11980  df-z 12066  df-uz 12328  df-fz 12985  df-struct 16591  df-ndx 16592  df-slot 16593  df-base 16595  df-sets 16596  df-ress 16597  df-plusg 16684  df-mulr 16685  df-sca 16687  df-vsca 16688  df-0g 16821  df-mre 16963  df-mrc 16964  df-acs 16966  df-proset 17657  df-poset 17675  df-plt 17687  df-lub 17703  df-glb 17704  df-join 17705  df-meet 17706  df-p0 17768  df-p1 17769  df-lat 17775  df-clat 17837  df-mgm 17971  df-sgrp 18020  df-mnd 18031  df-submnd 18076  df-grp 18225  df-minusg 18226  df-sbg 18227  df-subg 18397  df-cntz 18568  df-oppg 18595  df-lsm 18882  df-cmn 19029  df-abl 19030  df-mgp 19362  df-ur 19374  df-ring 19421  df-oppr 19498  df-dvdsr 19516  df-unit 19517  df-invr 19547  df-dvr 19558  df-drng 19626  df-lmod 19758  df-lss 19826  df-lsp 19866  df-lvec 19997  df-lsatoms 36636  df-lshyp 36637  df-lcv 36679  df-lfl 36718  df-lkr 36746  df-ldual 36784  df-oposet 36836  df-ol 36838  df-oml 36839  df-covers 36926  df-ats 36927  df-atl 36958  df-cvlat 36982  df-hlat 37011  df-llines 37158  df-lplanes 37159  df-lvols 37160  df-lines 37161  df-psubsp 37163  df-pmap 37164  df-padd 37456  df-lhyp 37648  df-laut 37649  df-ldil 37764  df-ltrn 37765  df-trl 37819  df-tgrp 38403  df-tendo 38415  df-edring 38417  df-dveca 38663  df-disoa 38689  df-dvech 38739  df-dib 38799  df-dic 38833  df-dih 38889  df-doch 39008  df-djh 39055  df-lcdual 39247  df-mapd 39285  df-hvmap 39417  df-hdmap1 39453  df-hdmap 39454

This theorem is referenced by:  hdmapgln2  39572  hdmapinvlem4  39581