Theorem hdmaplna2 42344

Description: Additive property of second (inner product) argument. (Contributed by NM, 10-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmaplna2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaplna2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaplna2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaplna2.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
hdmaplna2.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmaplna2.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
hdmaplna2.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaplna2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmaplna2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmaplna2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
hdmaplna2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmaplna2	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝑌 + 𝑍))‘𝑋) = (((𝑆‘𝑌)‘𝑋) ⨣ ((𝑆‘𝑍)‘𝑋)))

Proof of Theorem hdmaplna2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmaplna2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmaplna2.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmaplna2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hdmaplna2.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑈)
5		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
7		hdmaplna2.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmaplna2.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		hdmaplna2.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
10		hdmaplna2.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	hdmapadd 42277	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑌 + 𝑍)) = ((𝑆‘𝑌)(+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆‘𝑍)))
12	11	fveq1d 6831	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝑌 + 𝑍))‘𝑋) = (((𝑆‘𝑌)(+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆‘𝑍))‘𝑋))
13		hdmaplna2.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
14		hdmaplna2.q	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
15		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
16	1, 2, 3, 5, 15, 7, 8, 9	hdmapcl 42264	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑌) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
17	1, 2, 3, 5, 15, 7, 8, 10	hdmapcl 42264	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑍) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
18		hdmaplna2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
19	1, 2, 3, 13, 14, 5, 15, 6, 8, 16, 17, 18	lcdvaddval 42032	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝑌)(+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆‘𝑍))‘𝑋) = (((𝑆‘𝑌)‘𝑋) ⨣ ((𝑆‘𝑍)‘𝑋)))
20	12, 19	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝑌 + 𝑍))‘𝑋) = (((𝑆‘𝑌)‘𝑋) ⨣ ((𝑆‘𝑍)‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  Basecbs 17168  +_gcplusg 17209  Scalarcsca 17212  HLchlt 39784  LHypclh 40418  DVecHcdvh 41512  LCDualclcd 42020  HDMapchdma 42226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-riotaBAD 39387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-ot 4566  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8165  df-undef 8212  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8632  df-map 8764  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-0g 17393  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-proset 18249  df-poset 18268  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18387  df-clat 18454  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18741  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19088  df-cntz 19281  df-oppg 19310  df-lsm 19600  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-oppr 20306  df-dvdsr 20326  df-unit 20327  df-invr 20357  df-dvr 20370  df-nzr 20479  df-rlreg 20660  df-domn 20661  df-drng 20697  df-lmod 20846  df-lss 20916  df-lsp 20956  df-lvec 21087  df-lsatoms 39410  df-lshyp 39411  df-lcv 39453  df-lfl 39492  df-lkr 39520  df-ldual 39558  df-oposet 39610  df-ol 39612  df-oml 39613  df-covers 39700  df-ats 39701  df-atl 39732  df-cvlat 39756  df-hlat 39785  df-llines 39932  df-lplanes 39933  df-lvols 39934  df-lines 39935  df-psubsp 39937  df-pmap 39938  df-padd 40230  df-lhyp 40422  df-laut 40423  df-ldil 40538  df-ltrn 40539  df-trl 40593  df-tgrp 41177  df-tendo 41189  df-edring 41191  df-dveca 41437  df-disoa 41463  df-dvech 41513  df-dib 41573  df-dic 41607  df-dih 41663  df-doch 41782  df-djh 41829  df-lcdual 42021  df-mapd 42059  df-hvmap 42191  df-hdmap1 42227  df-hdmap 42228

This theorem is referenced by:  hdmapgln2  42346  hdmapinvlem4  42355