Theorem hdmapglnm2 37719

Description: g-linear property of second (inner product) argument. Line 19 in [Holland95] p. 14. (Contributed by NM, 10-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapglnm2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapglnm2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglnm2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapglnm2.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmapglnm2.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapglnm2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapglnm2.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
hdmapglnm2.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglnm2.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglnm2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapglnm2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmapglnm2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
hdmapglnm2.z	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hdmapglnm2	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝐴 · 𝑌))‘𝑋) = (((𝑆‘𝑌)‘𝑋) × (𝐺‘𝐴)))

Proof of Theorem hdmapglnm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapglnm2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmapglnm2.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmapglnm2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hdmapglnm2.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
5		hdmapglnm2.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
6		hdmapglnm2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		eqid 2771	. . . 4 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2771	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
9		hdmapglnm2.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmapglnm2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
11		hdmapglnm2.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		hdmapglnm2.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13		hdmapglnm2.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	hgmapvs 37699	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 · 𝑌)) = ((𝐺‘𝐴)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆‘𝑌)))
15	14	fveq1d 6335	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝐴 · 𝑌))‘𝑋) = (((𝐺‘𝐴)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆‘𝑌))‘𝑋))
16		hdmapglnm2.m	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑅)
17		eqid 2771	. . 3 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
18	1, 2, 5, 6, 10, 11, 13	hgmapcl 37697	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ 𝐵)
19	1, 2, 3, 7, 17, 9, 11, 12	hdmapcl 37638	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑌) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
20		hdmapglnm2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
21	1, 2, 3, 5, 6, 16, 7, 17, 8, 11, 18, 19, 20	lcdvsval 37412	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐺‘𝐴)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆‘𝑌))‘𝑋) = (((𝑆‘𝑌)‘𝑋) × (𝐺‘𝐴)))
22	15, 21	eqtrd 2805	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝐴 · 𝑌))‘𝑋) = (((𝑆‘𝑌)‘𝑋) × (𝐺‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  ._rcmulr 16150  Scalarcsca 16152   ·_𝑠 cvsca 16153  HLchlt 35157  LHypclh 35791  DVecHcdvh 36886  LCDualclcd 37394  HDMapchdma 37600  HGMapchg 37691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-riotaBAD 34759

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-ot 4326  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-tpos 7508  df-undef 7555  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-0g 16310  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-oppg 17983  df-lsm 18258  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-drng 18959  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lvec 19316  df-lsatoms 34783  df-lshyp 34784  df-lcv 34826  df-lfl 34865  df-lkr 34893  df-ldual 34931  df-oposet 34983  df-ol 34985  df-oml 34986  df-covers 35073  df-ats 35074  df-atl 35105  df-cvlat 35129  df-hlat 35158  df-llines 35305  df-lplanes 35306  df-lvols 35307  df-lines 35308  df-psubsp 35310  df-pmap 35311  df-padd 35603  df-lhyp 35795  df-laut 35796  df-ldil 35911  df-ltrn 35912  df-trl 35967  df-tgrp 36551  df-tendo 36563  df-edring 36565  df-dveca 36811  df-disoa 36837  df-dvech 36887  df-dib 36947  df-dic 36981  df-dih 37037  df-doch 37156  df-djh 37203  df-lcdual 37395  df-mapd 37433  df-hvmap 37565  df-hdmap1 37601  df-hdmap 37602  df-hgmap 37692

This theorem is referenced by:  hdmapgln2  37720  hdmapinvlem3  37728  hdmapinvlem4  37729