Theorem hdmapglnm2 41950

Description: g-linear property of second (inner product) argument. Line 19 in [Holland95] p. 14. (Contributed by NM, 10-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapglnm2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapglnm2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglnm2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapglnm2.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmapglnm2.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapglnm2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapglnm2.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
hdmapglnm2.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglnm2.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglnm2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapglnm2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmapglnm2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
hdmapglnm2.z	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hdmapglnm2	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝐴 · 𝑌))‘𝑋) = (((𝑆‘𝑌)‘𝑋) × (𝐺‘𝐴)))

Proof of Theorem hdmapglnm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapglnm2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmapglnm2.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmapglnm2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hdmapglnm2.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
5		hdmapglnm2.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
6		hdmapglnm2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
9		hdmapglnm2.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmapglnm2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
11		hdmapglnm2.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		hdmapglnm2.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13		hdmapglnm2.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	hgmapvs 41930	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 · 𝑌)) = ((𝐺‘𝐴)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆‘𝑌)))
15	14	fveq1d 6819	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝐴 · 𝑌))‘𝑋) = (((𝐺‘𝐴)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆‘𝑌))‘𝑋))
16		hdmapglnm2.m	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑅)
17		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
18	1, 2, 5, 6, 10, 11, 13	hgmapcl 41928	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ 𝐵)
19	1, 2, 3, 7, 17, 9, 11, 12	hdmapcl 41869	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑌) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
20		hdmapglnm2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
21	1, 2, 3, 5, 6, 16, 7, 17, 8, 11, 18, 19, 20	lcdvsval 41643	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐺‘𝐴)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆‘𝑌))‘𝑋) = (((𝑆‘𝑌)‘𝑋) × (𝐺‘𝐴)))
22	15, 21	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝐴 · 𝑌))‘𝑋) = (((𝑆‘𝑌)‘𝑋) × (𝐺‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Basecbs 17115  ._rcmulr 17157  Scalarcsca 17159   ·_𝑠 cvsca 17160  HLchlt 39389  LHypclh 40023  DVecHcdvh 41117  LCDualclcd 41625  HDMapchdma 41831  HGMapchg 41922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-riotaBAD 38992

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-ot 4580  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-undef 8198  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-0g 17340  df-mre 17483  df-mrc 17484  df-acs 17486  df-proset 18195  df-poset 18214  df-plt 18229  df-lub 18245  df-glb 18246  df-join 18247  df-meet 18248  df-p0 18324  df-p1 18325  df-lat 18333  df-clat 18400  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-subg 19031  df-cntz 19224  df-oppg 19253  df-lsm 19543  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-mgp 20054  df-rng 20066  df-ur 20095  df-ring 20148  df-oppr 20250  df-dvdsr 20270  df-unit 20271  df-invr 20301  df-dvr 20314  df-nzr 20423  df-rlreg 20604  df-domn 20605  df-drng 20641  df-lmod 20790  df-lss 20860  df-lsp 20900  df-lvec 21032  df-lsatoms 39015  df-lshyp 39016  df-lcv 39058  df-lfl 39097  df-lkr 39125  df-ldual 39163  df-oposet 39215  df-ol 39217  df-oml 39218  df-covers 39305  df-ats 39306  df-atl 39337  df-cvlat 39361  df-hlat 39390  df-llines 39537  df-lplanes 39538  df-lvols 39539  df-lines 39540  df-psubsp 39542  df-pmap 39543  df-padd 39835  df-lhyp 40027  df-laut 40028  df-ldil 40143  df-ltrn 40144  df-trl 40198  df-tgrp 40782  df-tendo 40794  df-edring 40796  df-dveca 41042  df-disoa 41068  df-dvech 41118  df-dib 41178  df-dic 41212  df-dih 41268  df-doch 41387  df-djh 41434  df-lcdual 41626  df-mapd 41664  df-hvmap 41796  df-hdmap1 41832  df-hdmap 41833  df-hgmap 41923

This theorem is referenced by:  hdmapgln2  41951  hdmapinvlem3  41959  hdmapinvlem4  41960