Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapglnm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmapglnm2 41516
Description: g-linear property of second (inner product) argument. Line 19 in [Holland95] p. 14. (Contributed by NM, 10-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapglnm2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapglnm2.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglnm2.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapglnm2.t · = ( ·𝑠𝑈)
hdmapglnm2.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapglnm2.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapglnm2.m × = (.r𝑅)
hdmapglnm2.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglnm2.g 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglnm2.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmapglnm2.x (𝜑𝑋𝑉)
hdmapglnm2.y (𝜑𝑌𝑉)
hdmapglnm2.z (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
hdmapglnm2 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐴 · 𝑌))‘𝑋) = (((𝑆𝑌)‘𝑋) × (𝐺𝐴)))

Proof of Theorem hdmapglnm2
StepHypRef Expression
1 hdmapglnm2.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmapglnm2.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmapglnm2.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmapglnm2.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝑈)
5 hdmapglnm2.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
6 hdmapglnm2.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 eqid 2725 . . . 4 ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 eqid 2725 . . . 4 ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
9 hdmapglnm2.s . . . 4 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10 hdmapglnm2.g . . . 4 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
11 hdmapglnm2.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
12 hdmapglnm2.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
13 hdmapglnm2.z . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13hgmapvs 41496 . . 3 (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 · 𝑌)) = ((𝐺𝐴)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆𝑌)))
1514fveq1d 6898 . 2 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐴 · 𝑌))‘𝑋) = (((𝐺𝐴)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆𝑌))‘𝑋))
16 hdmapglnm2.m . . 3 × = (.r𝑅)
17 eqid 2725 . . 3 (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
181, 2, 5, 6, 10, 11, 13hgmapcl 41494 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝐴) ∈ 𝐵)
191, 2, 3, 7, 17, 9, 11, 12hdmapcl 41435 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑌) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
20 hdmapglnm2.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
211, 2, 3, 5, 6, 16, 7, 17, 8, 11, 18, 19, 20lcdvsval 41209 . 2 (𝜑 → (((𝐺𝐴)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆𝑌))‘𝑋) = (((𝑆𝑌)‘𝑋) × (𝐺𝐴)))
2215, 21eqtrd 2765 1 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐴 · 𝑌))‘𝑋) = (((𝑆𝑌)‘𝑋) × (𝐺𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17188  .rcmulr 17242  Scalarcsca 17244   ·𝑠 cvsca 17245  HLchlt 38954  LHypclh 39589  DVecHcdvh 40683  LCDualclcd 41191  HDMapchdma 41397  HGMapchg 41488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-riotaBAD 38557
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-undef 8279  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17189  df-ress 17218  df-plusg 17254  df-mulr 17255  df-sca 17257  df-vsca 17258  df-0g 17431  df-mre 17574  df-mrc 17575  df-acs 17577  df-proset 18295  df-poset 18313  df-plt 18330  df-lub 18346  df-glb 18347  df-join 18348  df-meet 18349  df-p0 18425  df-p1 18426  df-lat 18432  df-clat 18499  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18749  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-subg 19091  df-cntz 19285  df-oppg 19314  df-lsm 19608  df-cmn 19754  df-abl 19755  df-mgp 20092  df-rng 20110  df-ur 20139  df-ring 20192  df-oppr 20290  df-dvdsr 20313  df-unit 20314  df-invr 20344  df-dvr 20357  df-drng 20643  df-lmod 20762  df-lss 20833  df-lsp 20873  df-lvec 21005  df-lsatoms 38580  df-lshyp 38581  df-lcv 38623  df-lfl 38662  df-lkr 38690  df-ldual 38728  df-oposet 38780  df-ol 38782  df-oml 38783  df-covers 38870  df-ats 38871  df-atl 38902  df-cvlat 38926  df-hlat 38955  df-llines 39103  df-lplanes 39104  df-lvols 39105  df-lines 39106  df-psubsp 39108  df-pmap 39109  df-padd 39401  df-lhyp 39593  df-laut 39594  df-ldil 39709  df-ltrn 39710  df-trl 39764  df-tgrp 40348  df-tendo 40360  df-edring 40362  df-dveca 40608  df-disoa 40634  df-dvech 40684  df-dib 40744  df-dic 40778  df-dih 40834  df-doch 40953  df-djh 41000  df-lcdual 41192  df-mapd 41230  df-hvmap 41362  df-hdmap1 41398  df-hdmap 41399  df-hgmap 41489
This theorem is referenced by:  hdmapgln2  41517  hdmapinvlem3  41525  hdmapinvlem4  41526
  Copyright terms: Public domain W3C validator