MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2pmfzmap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m2pmfzmap 21498
Description: The transformed values of a (finite) mapping of integers to matrices. (Contributed by AV, 4-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
m2pmfzmap.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2pmfzmap.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
m2pmfzmap.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
m2pmfzmap.y 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
m2pmfzmap.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
m2pmfzmap (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑆)) ∧ 𝐼 ∈ (0...𝑆))) → (𝑇‘(𝑏𝐼)) ∈ (Base‘𝑌))

Proof of Theorem m2pmfzmap
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑆)) ∧ 𝐼 ∈ (0...𝑆))) → 𝑁 ∈ Fin)
2 simpl2 1193 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑆)) ∧ 𝐼 ∈ (0...𝑆))) → 𝑅 ∈ Ring)
3 elmapi 8459 . . . 4 (𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑆)) → 𝑏:(0...𝑆)⟶𝐵)
43ffvelrnda 6861 . . 3 ((𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑆)) ∧ 𝐼 ∈ (0...𝑆)) → (𝑏𝐼) ∈ 𝐵)
54adantl 485 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑆)) ∧ 𝐼 ∈ (0...𝑆))) → (𝑏𝐼) ∈ 𝐵)
6 m2pmfzmap.t . . 3 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
7 m2pmfzmap.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
8 m2pmfzmap.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
9 m2pmfzmap.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
10 m2pmfzmap.y . . 3 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
116, 7, 8, 9, 10mat2pmatbas 21477 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑏𝐼) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(𝑏𝐼)) ∈ (Base‘𝑌))
121, 2, 5, 11syl3anc 1372 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑆)) ∧ 𝐼 ∈ (0...𝑆))) → (𝑇‘(𝑏𝐼)) ∈ (Base‘𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  cfv 6339  (class class class)co 7170  m cmap 8437  Fincfn 8555  0cc0 10615  0cn0 11976  ...cfz 12981  Basecbs 16586  Ringcrg 19416  Poly1cpl1 20952   Mat cmat 21158   matToPolyMat cmat2pmat 21455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-ot 4525  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-ofr 7426  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-sup 8979  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-seq 13461  df-hash 13783  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-hom 16692  df-cco 16693  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-prds 16824  df-pws 16826  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-mhm 18072  df-submnd 18073  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-mulg 18343  df-subg 18394  df-ghm 18474  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-abl 19027  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-subrg 19652  df-lmod 19755  df-lss 19823  df-sra 20063  df-rgmod 20064  df-dsmm 20548  df-frlm 20563  df-ascl 20671  df-psr 20722  df-mpl 20724  df-opsr 20726  df-psr1 20955  df-ply1 20957  df-mat 21159  df-mat2pmat 21458
This theorem is referenced by:  m2pmfzgsumcl  21499  chfacfisf  21605  chfacfpmmulgsum2  21616  cpmadugsumlemB  21625  cpmadugsumlemC  21626  cpmadugsumlemF  21627
  Copyright terms: Public domain W3C validator