Theorem deg1scl 24310

Description: A nonzero scalar polynomial has zero degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1sclle.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1sclle.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1sclle.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
deg1sclle.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
deg1scl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
deg1scl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝐴‘𝐹)) = 0)

Proof of Theorem deg1scl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1sclle.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
2		deg1sclle.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		deg1sclle.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		deg1sclle.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5	1, 2, 3, 4	deg1sclle 24309	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐷‘(𝐴‘𝐹)) ≤ 0)
6	5	3adant3 1123	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝐴‘𝐹)) ≤ 0)
7		simp1 1127	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
8		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
9	2, 4, 3, 8	ply1sclcl 20052	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
10	9	3adant3 1123	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐴‘𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
11		deg1scl.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
12		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
13	2, 4, 11, 12, 3	ply1scln0 20057	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐴‘𝐹) ≠ (0g‘𝑃))
14	1, 2, 12, 8	deg1nn0cl 24285	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴‘𝐹) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐴‘𝐹) ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐷‘(𝐴‘𝐹)) ∈ ℕ0)
15	7, 10, 13, 14	syl3anc 1439	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝐴‘𝐹)) ∈ ℕ0)
16		nn0le0eq0 11672	. . 3 ⊢ ((𝐷‘(𝐴‘𝐹)) ∈ ℕ0 → ((𝐷‘(𝐴‘𝐹)) ≤ 0 ↔ (𝐷‘(𝐴‘𝐹)) = 0))
17	15, 16	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ((𝐷‘(𝐴‘𝐹)) ≤ 0 ↔ (𝐷‘(𝐴‘𝐹)) = 0))
18	6, 17	mpbid 224	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝐴‘𝐹)) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  0cc0 10272   ≤ cle 10412  ℕ₀cn0 11642  Basecbs 16255  0_gc0g 16486  Ringcrg 18934  algSccascl 19708  Poly₁cpl1 19943   deg₁ cdg1 24251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-ofr 7175  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-sup 8636  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-hash 13436  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-ghm 18042  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-cring 18937  df-subrg 19170  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-ascl 19711  df-psr 19753  df-mvr 19754  df-mpl 19755  df-opsr 19757  df-psr1 19946  df-vr1 19947  df-ply1 19948  df-coe1 19949  df-cnfld 20143  df-mdeg 24252  df-deg1 24253

This theorem is referenced by:  lgsqrlem4  25526  mon1pid  38742