Theorem deg1scl 26239

Description: A nonzero scalar polynomial has zero degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1sclle.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1sclle.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1sclle.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
deg1sclle.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
deg1scl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
deg1scl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝐴‘𝐹)) = 0)

Proof of Theorem deg1scl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1sclle.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
2		deg1sclle.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		deg1sclle.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		deg1sclle.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5	1, 2, 3, 4	deg1sclle 26238	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐷‘(𝐴‘𝐹)) ≤ 0)
6	5	3adant3 1148	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝐴‘𝐹)) ≤ 0)
7		simp1 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
8		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
9	2, 4, 3, 8	ply1sclcl 22416	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
10	9	3adant3 1148	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐴‘𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
11		deg1scl.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
12		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
13	2, 4, 11, 12, 3	ply1scln0 22421	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐴‘𝐹) ≠ (0g‘𝑃))
14	1, 2, 12, 8	deg1nn0cl 26214	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴‘𝐹) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐴‘𝐹) ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐷‘(𝐴‘𝐹)) ∈ ℕ0)
15	7, 10, 13, 14	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝐴‘𝐹)) ∈ ℕ0)
16		nn0le0eq0 12532	. . 3 ⊢ ((𝐷‘(𝐴‘𝐹)) ∈ ℕ0 → ((𝐷‘(𝐴‘𝐹)) ≤ 0 ↔ (𝐷‘(𝐴‘𝐹)) = 0))
17	15, 16	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ((𝐷‘(𝐴‘𝐹)) ≤ 0 ↔ (𝐷‘(𝐴‘𝐹)) = 0))
18	6, 17	mpbid 235	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝐴‘𝐹)) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  0cc0 11100   ≤ cle 11244  ℕ₀cn0 12504  Basecbs 17269  0_gc0g 17492  Ringcrg 20315  algSccascl 21971  Poly₁cpl1 22306  deg₁cdg1 26180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-ofr 7676  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-sup 9402  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-hash 14367  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-prds 17500  df-pws 17502  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-mulg 19134  df-subg 19189  df-ghm 19284  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-cring 20318  df-subrng 20631  df-subrg 20655  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-cnfld 21492  df-ascl 21974  df-psr 22028  df-mvr 22029  df-mpl 22030  df-opsr 22032  df-psr1 22309  df-vr1 22310  df-ply1 22311  df-coe1 22312  df-mdeg 26181  df-deg1 26182

This theorem is referenced by:  mon1pid  26280  lgsqrlem4  27479  deg1prod  33818  2sqr3minply  34115  cos9thpiminply  34123  deg1gprod  42797  deg1pow  42798