Theorem sinhalfpip 26344

Description: The sine of π / 2 plus a number. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sinhalfpip	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + 𝐴)) = (cos‘𝐴))

Proof of Theorem sinhalfpip

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfpire 26316	. . . 4 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
2	1	recni 11225	. . 3 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
3		sinadd 16104	. . 3 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘((π / 2) + 𝐴)) = (((sin‘(π / 2)) · (cos‘𝐴)) + ((cos‘(π / 2)) · (sin‘𝐴))))
4	2, 3	mpan 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + 𝐴)) = (((sin‘(π / 2)) · (cos‘𝐴)) + ((cos‘(π / 2)) · (sin‘𝐴))))
5		sinhalfpi 26320	. . . . 5 ⊢ (sin‘(π / 2)) = 1
6	5	oveq1i 7411	. . . 4 ⊢ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘𝐴)) = (1 · (cos‘𝐴))
7		coscl 16067	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
8	7	mullidd 11229	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (cos‘𝐴)) = (cos‘𝐴))
9	6, 8	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(π / 2)) · (cos‘𝐴)) = (cos‘𝐴))
10		coshalfpi 26321	. . . . 5 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
11	10	oveq1i 7411	. . . 4 ⊢ ((cos‘(π / 2)) · (sin‘𝐴)) = (0 · (sin‘𝐴))
12		sincl 16066	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
13	12	mul02d 11409	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · (sin‘𝐴)) = 0)
14	11, 13	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(π / 2)) · (sin‘𝐴)) = 0)
15	9, 14	oveq12d 7419	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘(π / 2)) · (cos‘𝐴)) + ((cos‘(π / 2)) · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐴) + 0))
16	7	addridd 11411	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) + 0) = (cos‘𝐴))
17	4, 15, 16	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + 𝐴)) = (cos‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   / cdiv 11868  2c2 12264  sincsin 16004  cosccos 16005  πcpi 16007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-mulg 18986  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-fbas 21225  df-fg 21226  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cld 22845  df-ntr 22846  df-cls 22847  df-nei 22924  df-lp 22962  df-perf 22963  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-haus 23141  df-tx 23388  df-hmeo 23581  df-fil 23672  df-fm 23764  df-flim 23765  df-flf 23766  df-xms 24148  df-ms 24149  df-tms 24150  df-cncf 24720  df-limc 25717  df-dv 25718

This theorem is referenced by:  sincosq2sgn  26351  sincosq3sgn  26352  sincosq4sgn  26353  1cubrlem  26689  coseq0  45065