Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemn5pre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemn5pre 37354
Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 32. (Contributed by NM, 25-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemn5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemn5.l = (le‘𝐾)
cdlemn5.j = (join‘𝐾)
cdlemn5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemn5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemn5.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn5.s = (LSSum‘𝑈)
cdlemn5.i 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn5.J 𝐽 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn5.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn5.o 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
cdlemn5.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn5.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn5.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
cdlemn5.f 𝐹 = (𝑇 (𝑃) = 𝑄)
cdlemn5.g 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑅)
cdlemn5.m 𝑀 = (𝑇 (𝑄) = 𝑅)
Assertion
Ref Expression
cdlemn5pre (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ 𝑅 (𝑄 𝑋)) → (𝐽𝑅) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋)))
Distinct variable groups:   ,   𝐴,   𝐵,   ,𝐻   ,𝐾   𝑃,   𝑄,   𝑅,   𝑇,   ,𝑊
Allowed substitution hints:   ()   𝑈()   𝐸()   𝐹()   𝐺()   𝐼()   𝐽()   ()   𝑀()   𝑁()   𝑂()   𝑋()

Proof of Theorem cdlemn5pre
StepHypRef Expression
1 simp1 1127 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ 𝑅 (𝑄 𝑋)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp22 1221 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ 𝑅 (𝑄 𝑋)) → (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))
3 cdlemn5.l . . . 4 = (le‘𝐾)
4 cdlemn5.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 cdlemn5.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 cdlemn5.p . . . 4 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
7 cdlemn5.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8 cdlemn5.J . . . 4 𝐽 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
9 cdlemn5.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10 cdlemn5.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
11 cdlemn5.g . . . 4 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑅)
123, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11diclspsn 37348 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (𝐽𝑅) = (𝑁‘{⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩}))
131, 2, 12syl2anc 579 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ 𝑅 (𝑄 𝑋)) → (𝐽𝑅) = (𝑁‘{⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩}))
14 simp21 1220 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ 𝑅 (𝑄 𝑋)) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
15 cdlemn5.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
16 cdlemn5.o . . . . . 6 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
17 cdlemn5.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑇 (𝑃) = 𝑄)
18 cdlemn5.m . . . . . 6 𝑀 = (𝑇 (𝑄) = 𝑅)
19 cdlemn5.s . . . . . 6 = (LSSum‘𝑈)
2015, 3, 4, 6, 5, 7, 16, 9, 17, 11, 18, 10, 19cdlemn4a 37353 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (𝑁‘{⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩}) ⊆ ((𝑁‘{⟨𝐹, ( I ↾ 𝑇)⟩}) (𝑁‘{⟨𝑀, 𝑂⟩})))
211, 14, 2, 20syl3anc 1439 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ 𝑅 (𝑄 𝑋)) → (𝑁‘{⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩}) ⊆ ((𝑁‘{⟨𝐹, ( I ↾ 𝑇)⟩}) (𝑁‘{⟨𝑀, 𝑂⟩})))
223, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 17diclspsn 37348 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐽𝑄) = (𝑁‘{⟨𝐹, ( I ↾ 𝑇)⟩}))
231, 14, 22syl2anc 579 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ 𝑅 (𝑄 𝑋)) → (𝐽𝑄) = (𝑁‘{⟨𝐹, ( I ↾ 𝑇)⟩}))
2423oveq1d 6937 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ 𝑅 (𝑄 𝑋)) → ((𝐽𝑄) (𝑁‘{⟨𝑀, 𝑂⟩})) = ((𝑁‘{⟨𝐹, ( I ↾ 𝑇)⟩}) (𝑁‘{⟨𝑀, 𝑂⟩})))
2521, 24sseqtr4d 3861 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ 𝑅 (𝑄 𝑋)) → (𝑁‘{⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩}) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝑁‘{⟨𝑀, 𝑂⟩})))
265, 9, 1dvhlmod 37264 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ 𝑅 (𝑄 𝑋)) → 𝑈 ∈ LMod)
27 eqid 2778 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
2827lsssssubg 19353 . . . . . 6 (𝑈 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
2926, 28syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ 𝑅 (𝑄 𝑋)) → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
303, 4, 5, 9, 8, 27diclss 37347 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐽𝑄) ∈ (LSubSp‘𝑈))
311, 14, 30syl2anc 579 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ 𝑅 (𝑄 𝑋)) → (𝐽𝑄) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3229, 31sseldd 3822 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ 𝑅 (𝑄 𝑋)) → (𝐽𝑄) ∈ (SubGrp‘𝑈))
33 simp23 1222 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ 𝑅 (𝑄 𝑋)) → (𝑋𝐵𝑋 𝑊))
34 cdlemn5.i . . . . . . 7 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
3515, 3, 5, 9, 34, 27diblss 37324 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐼𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈))
361, 33, 35syl2anc 579 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ 𝑅 (𝑄 𝑋)) → (𝐼𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3729, 36sseldd 3822 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ 𝑅 (𝑄 𝑋)) → (𝐼𝑋) ∈ (SubGrp‘𝑈))
38 cdlemn5.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
39 eqid 2778 . . . . 5 ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
4015, 3, 38, 4, 5, 7, 39, 16, 34, 9, 10, 18cdlemn2a 37350 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ 𝑅 (𝑄 𝑋)) → (𝑁‘{⟨𝑀, 𝑂⟩}) ⊆ (𝐼𝑋))
4119lsmless2 18459 . . . 4 (((𝐽𝑄) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (𝐼𝑋) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{⟨𝑀, 𝑂⟩}) ⊆ (𝐼𝑋)) → ((𝐽𝑄) (𝑁‘{⟨𝑀, 𝑂⟩})) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋)))
4232, 37, 40, 41syl3anc 1439 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ 𝑅 (𝑄 𝑋)) → ((𝐽𝑄) (𝑁‘{⟨𝑀, 𝑂⟩})) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋)))
4325, 42sstrd 3831 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ 𝑅 (𝑄 𝑋)) → (𝑁‘{⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩}) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋)))
4413, 43eqsstrd 3858 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ 𝑅 (𝑄 𝑋)) → (𝐽𝑅) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wss 3792  {csn 4398  cop 4404   class class class wbr 4886  cmpt 4965   I cid 5260  cres 5357  cfv 6135  crio 6882  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  lecple 16345  occoc 16346  joincjn 17330  SubGrpcsubg 17972  LSSumclsm 18433  LModclmod 19255  LSubSpclss 19324  LSpanclspn 19366  Atomscatm 35417  HLchlt 35504  LHypclh 36138  LTrncltrn 36255  trLctrl 36312  TEndoctendo 36906  DVecHcdvh 37232  DIsoBcdib 37292  DIsoCcdic 37326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-riotaBAD 35107
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-tpos 7634  df-undef 7681  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-0g 16488  df-proset 17314  df-poset 17332  df-plt 17344  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-p0 17425  df-p1 17426  df-lat 17432  df-clat 17494  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-subg 17975  df-cntz 18133  df-lsm 18435  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-dvr 19070  df-drng 19141  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367  df-lvec 19498  df-oposet 35330  df-ol 35332  df-oml 35333  df-covers 35420  df-ats 35421  df-atl 35452  df-cvlat 35476  df-hlat 35505  df-llines 35652  df-lplanes 35653  df-lvols 35654  df-lines 35655  df-psubsp 35657  df-pmap 35658  df-padd 35950  df-lhyp 36142  df-laut 36143  df-ldil 36258  df-ltrn 36259  df-trl 36313  df-tendo 36909  df-edring 36911  df-disoa 37183  df-dvech 37233  df-dib 37293  df-dic 37327
This theorem is referenced by:  cdlemn5  37355
  Copyright terms: Public domain W3C validator