Theorem ply1fermltl 33669

Description: Fermat's little theorem for polynomials. If 𝑃 is prime, Then (𝑋 + 𝐴)↑𝑃 = ((𝑋↑𝑃) + 𝐴) modulo 𝑃. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1fermltl.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
ply1fermltl.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑍)
ply1fermltl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑍)
ply1fermltl.l	⊢ + = (+g‘𝑊)
ply1fermltl.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑊)
ply1fermltl.t	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
ply1fermltl.c	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑊)
ply1fermltl.a	⊢ 𝐴 = (𝐶‘((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸))
ply1fermltl.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
ply1fermltl.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
ply1fermltl	⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝐴)) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + 𝐴))

Proof of Theorem ply1fermltl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1fermltl.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑍)
2		ply1fermltl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑍)
3		ply1fermltl.l	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4		ply1fermltl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑊)
5		ply1fermltl.t	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
6		ply1fermltl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑊)
7		ply1fermltl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝐶‘((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸))
8		eqid 2737	. . 3 ⊢ (chr‘𝑍) = (chr‘𝑍)
9		ply1fermltl.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
10		prmnn 16605	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
11		nnnn0 12412	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
12		ply1fermltl.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
13	12	zncrng 21503	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
14	9, 10, 11, 13	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ CRing)
15	12	znchr 21521	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (chr‘𝑍) = 𝑃)
16	9, 10, 11, 15	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝑍) = 𝑃)
17	16, 9	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝑍) ∈ ℙ)
18		ply1fermltl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 17, 18	ply1fermltlchr 22260	. 2 ⊢ (𝜑 → ((chr‘𝑍) ↑ (𝑋 + 𝐴)) = (((chr‘𝑍) ↑ 𝑋) + 𝐴))
20	16	oveq1d 7375	. 2 ⊢ (𝜑 → ((chr‘𝑍) ↑ (𝑋 + 𝐴)) = (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝐴)))
21	16	oveq1d 7375	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((chr‘𝑍) ↑ 𝑋) = (𝑃 ↑ 𝑋))
22	21	oveq1d 7375	. 2 ⊢ (𝜑 → (((chr‘𝑍) ↑ 𝑋) + 𝐴) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + 𝐴))
23	19, 20, 22	3eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝐴)) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℕcn 12149  ℕ₀cn0 12405  ℤcz 12492  ℙcprime 16602  +_gcplusg 17181  ._gcmg 19001  mulGrpcmgp 20079  CRingccrg 20173  ℤRHomczrh 21458  chrcchr 21460  ℤ/nℤczn 21461  algSccascl 21811  var₁cv1 22120  Poly₁cpl1 22121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109  ax-mulf 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-ec 8639  df-qs 8643  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-xnn0 12479  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-rp 12910  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-mod 13794  df-seq 13929  df-exp 13989  df-fac 14201  df-bc 14230  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-dvds 16184  df-gcd 16426  df-prm 16603  df-phi 16697  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-prds 17371  df-pws 17373  df-imas 17433  df-qus 17434  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18712  df-submnd 18713  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-nsg 19058  df-eqg 19059  df-ghm 19146  df-cntz 19250  df-od 19461  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-srg 20126  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20277  df-dvdsr 20297  df-unit 20298  df-invr 20328  df-dvr 20341  df-rhm 20412  df-subrng 20483  df-subrg 20507  df-drng 20668  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-lsp 20927  df-sra 21129  df-rgmod 21130  df-lidl 21167  df-rsp 21168  df-2idl 21209  df-cnfld 21314  df-zring 21406  df-zrh 21462  df-chr 21464  df-zn 21465  df-assa 21812  df-ascl 21814  df-psr 21869  df-mvr 21870  df-mpl 21871  df-opsr 21873  df-psr1 22124  df-vr1 22125  df-ply1 22126  df-coe1 22127

This theorem is referenced by: (None)