Theorem ply1fermltl 32658

Description: Fermat's little theorem for polynomials. If 𝑃 is prime, Then (𝑋 + 𝐴)↑𝑃 = ((𝑋↑𝑃) + 𝐴) modulo 𝑃. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1fermltl.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
ply1fermltl.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑍)
ply1fermltl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑍)
ply1fermltl.l	⊢ + = (+g‘𝑊)
ply1fermltl.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑊)
ply1fermltl.t	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
ply1fermltl.c	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑊)
ply1fermltl.a	⊢ 𝐴 = (𝐶‘((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸))
ply1fermltl.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
ply1fermltl.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
ply1fermltl	⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝐴)) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + 𝐴))

Proof of Theorem ply1fermltl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1fermltl.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑍)
2		ply1fermltl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑍)
3		ply1fermltl.l	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4		ply1fermltl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑊)
5		ply1fermltl.t	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
6		ply1fermltl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑊)
7		ply1fermltl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝐶‘((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸))
8		eqid 2732	. . 3 ⊢ (chr‘𝑍) = (chr‘𝑍)
9		ply1fermltl.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
10		prmnn 16610	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
11		nnnn0 12478	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
12		ply1fermltl.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
13	12	zncrng 21099	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
14	9, 10, 11, 13	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ CRing)
15	12	znchr 21117	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (chr‘𝑍) = 𝑃)
16	9, 10, 11, 15	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝑍) = 𝑃)
17	16, 9	eqeltrd 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝑍) ∈ ℙ)
18		ply1fermltl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 17, 18	ply1fermltlchr 32657	. 2 ⊢ (𝜑 → ((chr‘𝑍) ↑ (𝑋 + 𝐴)) = (((chr‘𝑍) ↑ 𝑋) + 𝐴))
20	16	oveq1d 7423	. 2 ⊢ (𝜑 → ((chr‘𝑍) ↑ (𝑋 + 𝐴)) = (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝐴)))
21	16	oveq1d 7423	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((chr‘𝑍) ↑ 𝑋) = (𝑃 ↑ 𝑋))
22	21	oveq1d 7423	. 2 ⊢ (𝜑 → (((chr‘𝑍) ↑ 𝑋) + 𝐴) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + 𝐴))
23	19, 20, 22	3eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝐴)) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℕcn 12211  ℕ₀cn0 12471  ℤcz 12557  ℙcprime 16607  +_gcplusg 17196  ._gcmg 18949  mulGrpcmgp 19986  CRingccrg 20056  ℤRHomczrh 21048  chrcchr 21050  ℤ/nℤczn 21051  algSccascl 21406  var₁cv1 21699  Poly₁cpl1 21700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-prm 16608  df-phi 16698  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-imas 17453  df-qus 17454  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-nsg 19003  df-eqg 19004  df-ghm 19089  df-cntz 19180  df-od 19395  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-srg 20009  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-lidl 20786  df-rsp 20787  df-2idl 20856  df-cnfld 20944  df-zring 21017  df-zrh 21052  df-chr 21054  df-zn 21055  df-assa 21407  df-ascl 21409  df-psr 21461  df-mvr 21462  df-mpl 21463  df-opsr 21465  df-psr1 21703  df-vr1 21704  df-ply1 21705  df-coe1 21706

This theorem is referenced by: (None)