Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1fermltl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1fermltl 32340
Description: Fermat's little theorem for polynomials. If 𝑃 is prime, Then (𝑋 + 𝐴)↑𝑃 = ((𝑋↑𝑃) + 𝐴) modulo 𝑃. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1fermltl.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘ƒ)
ply1fermltl.w π‘Š = (Poly1β€˜π‘)
ply1fermltl.x 𝑋 = (var1β€˜π‘)
ply1fermltl.l + = (+gβ€˜π‘Š)
ply1fermltl.n 𝑁 = (mulGrpβ€˜π‘Š)
ply1fermltl.t ↑ = (.gβ€˜π‘)
ply1fermltl.c 𝐢 = (algScβ€˜π‘Š)
ply1fermltl.a 𝐴 = (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜π‘)β€˜πΈ))
ply1fermltl.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
ply1fermltl.1 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„€)
Assertion
Ref Expression
ply1fermltl (πœ‘ β†’ (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝐴)) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + 𝐴))

Proof of Theorem ply1fermltl
StepHypRef Expression
1 ply1fermltl.w . . 3 π‘Š = (Poly1β€˜π‘)
2 ply1fermltl.x . . 3 𝑋 = (var1β€˜π‘)
3 ply1fermltl.l . . 3 + = (+gβ€˜π‘Š)
4 ply1fermltl.n . . 3 𝑁 = (mulGrpβ€˜π‘Š)
5 ply1fermltl.t . . 3 ↑ = (.gβ€˜π‘)
6 ply1fermltl.c . . 3 𝐢 = (algScβ€˜π‘Š)
7 ply1fermltl.a . . 3 𝐴 = (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜π‘)β€˜πΈ))
8 eqid 2733 . . 3 (chrβ€˜π‘) = (chrβ€˜π‘)
9 ply1fermltl.p . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
10 prmnn 16558 . . . 4 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
11 nnnn0 12428 . . . 4 (𝑃 ∈ β„• β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
12 ply1fermltl.z . . . . 5 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘ƒ)
1312zncrng 20974 . . . 4 (𝑃 ∈ β„•0 β†’ 𝑍 ∈ CRing)
149, 10, 11, 134syl 19 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ CRing)
1512znchr 20992 . . . . 5 (𝑃 ∈ β„•0 β†’ (chrβ€˜π‘) = 𝑃)
169, 10, 11, 154syl 19 . . . 4 (πœ‘ β†’ (chrβ€˜π‘) = 𝑃)
1716, 9eqeltrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ (chrβ€˜π‘) ∈ β„™)
18 ply1fermltl.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„€)
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 17, 18ply1fermltlchr 32339 . 2 (πœ‘ β†’ ((chrβ€˜π‘) ↑ (𝑋 + 𝐴)) = (((chrβ€˜π‘) ↑ 𝑋) + 𝐴))
2016oveq1d 7376 . 2 (πœ‘ β†’ ((chrβ€˜π‘) ↑ (𝑋 + 𝐴)) = (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝐴)))
2116oveq1d 7376 . . 3 (πœ‘ β†’ ((chrβ€˜π‘) ↑ 𝑋) = (𝑃 ↑ 𝑋))
2221oveq1d 7376 . 2 (πœ‘ β†’ (((chrβ€˜π‘) ↑ 𝑋) + 𝐴) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + 𝐴))
2319, 20, 223eqtr3d 2781 1 (πœ‘ β†’ (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝐴)) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„•cn 12161  β„•0cn0 12421  β„€cz 12507  β„™cprime 16555  +gcplusg 17141  .gcmg 18880  mulGrpcmgp 19904  CRingccrg 19973  β„€RHomczrh 20923  chrcchr 20925  β„€/nβ„€czn 20926  algSccascl 21281  var1cv1 21570  Poly1cpl1 21571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-er 8654  df-ec 8656  df-qs 8660  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-dvds 16145  df-gcd 16383  df-prm 16556  df-phi 16646  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-imas 17398  df-qus 17399  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-nsg 18934  df-eqg 18935  df-ghm 19014  df-cntz 19105  df-od 19318  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-srg 19926  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-rnghom 20156  df-drng 20221  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-lidl 20680  df-rsp 20681  df-2idl 20747  df-cnfld 20820  df-zring 20893  df-zrh 20927  df-chr 20929  df-zn 20930  df-assa 21282  df-ascl 21284  df-psr 21334  df-mvr 21335  df-mpl 21336  df-opsr 21338  df-psr1 21574  df-vr1 21575  df-ply1 21576  df-coe1 21577
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator