Theorem ply1fermltl 33981

Description: Fermat's little theorem for polynomials. If 𝑃 is prime, Then (𝑋 + 𝐴)↑𝑃 = ((𝑋↑𝑃) + 𝐴) modulo 𝑃. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1fermltl.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
ply1fermltl.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑍)
ply1fermltl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑍)
ply1fermltl.l	⊢ + = (+g‘𝑊)
ply1fermltl.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑊)
ply1fermltl.t	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
ply1fermltl.c	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑊)
ply1fermltl.a	⊢ 𝐴 = (𝐶‘((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸))
ply1fermltl.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
ply1fermltl.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
ply1fermltl	⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝐴)) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + 𝐴))

Proof of Theorem ply1fermltl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1fermltl.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑍)
2		ply1fermltl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑍)
3		ply1fermltl.l	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4		ply1fermltl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑊)
5		ply1fermltl.t	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
6		ply1fermltl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑊)
7		ply1fermltl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝐶‘((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸))
8		eqid 2762	. . 3 ⊢ (chr‘𝑍) = (chr‘𝑍)
9		ply1fermltl.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
10		prmnn 16766	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
11		nnnn0 12536	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
12		ply1fermltl.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
13	12	zncrng 21756	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
14	9, 10, 11, 13	4syl 20	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ CRing)
15	12	znchr 21774	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (chr‘𝑍) = 𝑃)
16	9, 10, 11, 15	4syl 20	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝑍) = 𝑃)
17	16, 9	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝑍) ∈ ℙ)
18		ply1fermltl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 17, 18	ply1fermltlchr 22536	. 2 ⊢ (𝜑 → ((chr‘𝑍) ↑ (𝑋 + 𝐴)) = (((chr‘𝑍) ↑ 𝑋) + 𝐴))
20	16	oveq1d 7431	. 2 ⊢ (𝜑 → ((chr‘𝑍) ↑ (𝑋 + 𝐴)) = (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝐴)))
21	16	oveq1d 7431	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((chr‘𝑍) ↑ 𝑋) = (𝑃 ↑ 𝑋))
22	21	oveq1d 7431	. 2 ⊢ (𝜑 → (((chr‘𝑍) ↑ 𝑋) + 𝐴) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + 𝐴))
23	19, 20, 22	3eqtr3d 2805	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝐴)) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℕcn 12258  ℕ₀cn0 12529  ℤcz 12616  ℙcprime 16763  +_gcplusg 17344  ._gcmg 19189  mulGrpcmgp 20272  CRingccrg 20372  ℤRHomczrh 21711  chrcchr 21713  ℤ/nℤczn 21714  algSccascl 22066  var₁cv1 22400  Poly₁cpl1 22401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203  ax-addf 11204  ax-mulf 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-xnn0 12603  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126  df-fac 14338  df-bc 14367  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-dvds 16345  df-gcd 16587  df-prm 16764  df-phi 16859  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-starv 17359  df-sca 17360  df-vsca 17361  df-ip 17362  df-tset 17363  df-ple 17364  df-ds 17366  df-unif 17367  df-hom 17368  df-cco 17369  df-0g 17528  df-gsum 17529  df-prds 17534  df-pws 17536  df-imas 17596  df-qus 17597  df-mre 17672  df-mrc 17673  df-acs 17675  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18890  df-submnd 18891  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-sbg 19061  df-mulg 19190  df-subg 19245  df-nsg 19246  df-eqg 19247  df-ghm 19340  df-cntz 19443  df-od 19654  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-srg 20325  df-ring 20373  df-cring 20374  df-oppr 20477  df-dvdsr 20497  df-unit 20498  df-invr 20528  df-dvr 20541  df-rhm 20612  df-subrng 20707  df-subrg 20731  df-drng 20891  df-lmod 21045  df-lss 21115  df-lsp 21155  df-sra 21356  df-rgmod 21357  df-lidl 21394  df-rsp 21395  df-2idl 21451  df-cnfld 21585  df-zring 21659  df-zrh 21715  df-chr 21717  df-zn 21718  df-assa 22067  df-ascl 22069  df-psr 22123  df-mvr 22124  df-mpl 22125  df-opsr 22127  df-psr1 22404  df-vr1 22405  df-ply1 22406  df-coe1 22407

This theorem is used by: (None)