Theorem ply1fermltl 33616

Description: Fermat's little theorem for polynomials. If 𝑃 is prime, Then (𝑋 + 𝐴)↑𝑃 = ((𝑋↑𝑃) + 𝐴) modulo 𝑃. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1fermltl.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
ply1fermltl.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑍)
ply1fermltl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑍)
ply1fermltl.l	⊢ + = (+g‘𝑊)
ply1fermltl.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑊)
ply1fermltl.t	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
ply1fermltl.c	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑊)
ply1fermltl.a	⊢ 𝐴 = (𝐶‘((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸))
ply1fermltl.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
ply1fermltl.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
ply1fermltl	⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝐴)) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + 𝐴))

Proof of Theorem ply1fermltl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1fermltl.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑍)
2		ply1fermltl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑍)
3		ply1fermltl.l	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4		ply1fermltl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑊)
5		ply1fermltl.t	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
6		ply1fermltl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑊)
7		ply1fermltl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝐶‘((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸))
8		eqid 2734	. . 3 ⊢ (chr‘𝑍) = (chr‘𝑍)
9		ply1fermltl.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
10		prmnn 16599	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
11		nnnn0 12406	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
12		ply1fermltl.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
13	12	zncrng 21497	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
14	9, 10, 11, 13	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ CRing)
15	12	znchr 21515	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (chr‘𝑍) = 𝑃)
16	9, 10, 11, 15	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝑍) = 𝑃)
17	16, 9	eqeltrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝑍) ∈ ℙ)
18		ply1fermltl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 17, 18	ply1fermltlchr 22254	. 2 ⊢ (𝜑 → ((chr‘𝑍) ↑ (𝑋 + 𝐴)) = (((chr‘𝑍) ↑ 𝑋) + 𝐴))
20	16	oveq1d 7371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((chr‘𝑍) ↑ (𝑋 + 𝐴)) = (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝐴)))
21	16	oveq1d 7371	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((chr‘𝑍) ↑ 𝑋) = (𝑃 ↑ 𝑋))
22	21	oveq1d 7371	. 2 ⊢ (𝜑 → (((chr‘𝑍) ↑ 𝑋) + 𝐴) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + 𝐴))
23	19, 20, 22	3eqtr3d 2777	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝐴)) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℕcn 12143  ℕ₀cn0 12399  ℤcz 12486  ℙcprime 16596  +_gcplusg 17175  ._gcmg 18995  mulGrpcmgp 20073  CRingccrg 20167  ℤRHomczrh 21452  chrcchr 21454  ℤ/nℤczn 21455  algSccascl 21805  var₁cv1 22114  Poly₁cpl1 22115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103  ax-mulf 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-ec 8635  df-qs 8639  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-dju 9811  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-rp 12904  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-mod 13788  df-seq 13923  df-exp 13983  df-fac 14195  df-bc 14224  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-dvds 16178  df-gcd 16420  df-prm 16597  df-phi 16691  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-prds 17365  df-pws 17367  df-imas 17427  df-qus 17428  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18996  df-subg 19051  df-nsg 19052  df-eqg 19053  df-ghm 19140  df-cntz 19244  df-od 19455  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-srg 20120  df-ring 20168  df-cring 20169  df-oppr 20271  df-dvdsr 20291  df-unit 20292  df-invr 20322  df-dvr 20335  df-rhm 20406  df-subrng 20477  df-subrg 20501  df-drng 20662  df-lmod 20811  df-lss 20881  df-lsp 20921  df-sra 21123  df-rgmod 21124  df-lidl 21161  df-rsp 21162  df-2idl 21203  df-cnfld 21308  df-zring 21400  df-zrh 21456  df-chr 21458  df-zn 21459  df-assa 21806  df-ascl 21808  df-psr 21863  df-mvr 21864  df-mpl 21865  df-opsr 21867  df-psr1 22118  df-vr1 22119  df-ply1 22120  df-coe1 22121

This theorem is referenced by: (None)