Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1fermltl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1fermltl 31136
 Description: Fermat's little theorem for polynomials. If 𝑃 is prime, Then (𝑋 + 𝐴)↑𝑃 = ((𝑋↑𝑃) + 𝐴) modulo 𝑃. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1fermltl.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
ply1fermltl.w 𝑊 = (Poly1𝑍)
ply1fermltl.x 𝑋 = (var1𝑍)
ply1fermltl.l + = (+g𝑊)
ply1fermltl.n 𝑁 = (mulGrp‘𝑊)
ply1fermltl.t = (.g𝑁)
ply1fermltl.c 𝐶 = (algSc‘𝑊)
ply1fermltl.a 𝐴 = (𝐶‘((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸))
ply1fermltl.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
ply1fermltl.1 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
ply1fermltl (𝜑 → (𝑃 (𝑋 + 𝐴)) = ((𝑃 𝑋) + 𝐴))

Proof of Theorem ply1fermltl
StepHypRef Expression
1 eqid 2798 . . 3 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 ply1fermltl.l . . 3 + = (+g𝑊)
3 ply1fermltl.t . . . 4 = (.g𝑁)
4 ply1fermltl.n . . . . 5 𝑁 = (mulGrp‘𝑊)
54fveq2i 6655 . . . 4 (.g𝑁) = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
63, 5eqtri 2821 . . 3 = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
7 eqid 2798 . . 3 (chr‘𝑊) = (chr‘𝑊)
8 ply1fermltl.p . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
9 prmnn 16025 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
10 nnnn0 11907 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
11 ply1fermltl.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
1211zncrng 20255 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
138, 9, 10, 124syl 19 . . . 4 (𝜑𝑍 ∈ CRing)
14 ply1fermltl.w . . . . 5 𝑊 = (Poly1𝑍)
1514ply1crng 20865 . . . 4 (𝑍 ∈ CRing → 𝑊 ∈ CRing)
1613, 15syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ CRing)
1714ply1chr 31135 . . . . . 6 (𝑍 ∈ CRing → (chr‘𝑊) = (chr‘𝑍))
1813, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (chr‘𝑊) = (chr‘𝑍))
1911znchr 20273 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℕ0 → (chr‘𝑍) = 𝑃)
208, 9, 10, 194syl 19 . . . . 5 (𝜑 → (chr‘𝑍) = 𝑃)
2118, 20eqtrd 2833 . . . 4 (𝜑 → (chr‘𝑊) = 𝑃)
2221, 8eqeltrd 2890 . . 3 (𝜑 → (chr‘𝑊) ∈ ℙ)
2313crngringd 19321 . . . 4 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
24 ply1fermltl.x . . . . 5 𝑋 = (var1𝑍)
2524, 14, 1vr1cl 20884 . . . 4 (𝑍 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
2623, 25syl 17 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
27 ply1fermltl.a . . . 4 𝐴 = (𝐶‘((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸))
28 eqid 2798 . . . . . . . 8 (ℤRHom‘𝑍) = (ℤRHom‘𝑍)
2928zrhrhm 20224 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
30 zringbas 20187 . . . . . . . 8 ℤ = (Base‘ℤring)
31 eqid 2798 . . . . . . . 8 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
3230, 31rhmf 19492 . . . . . . 7 ((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → (ℤRHom‘𝑍):ℤ⟶(Base‘𝑍))
3323, 29, 323syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (ℤRHom‘𝑍):ℤ⟶(Base‘𝑍))
34 ply1fermltl.1 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
3533, 34ffvelrnd 6836 . . . . 5 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸) ∈ (Base‘𝑍))
36 ply1fermltl.c . . . . . 6 𝐶 = (algSc‘𝑊)
3714, 36, 31, 1ply1sclcl 20953 . . . . 5 ((𝑍 ∈ Ring ∧ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸) ∈ (Base‘𝑍)) → (𝐶‘((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸)) ∈ (Base‘𝑊))
3823, 35, 37syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐶‘((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸)) ∈ (Base‘𝑊))
3927, 38eqeltrid 2894 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘𝑊))
401, 2, 6, 7, 16, 22, 26, 39freshmansdream 30955 . 2 (𝜑 → ((chr‘𝑊) (𝑋 + 𝐴)) = (((chr‘𝑊) 𝑋) + ((chr‘𝑊) 𝐴)))
4121oveq1d 7157 . 2 (𝜑 → ((chr‘𝑊) (𝑋 + 𝐴)) = (𝑃 (𝑋 + 𝐴)))
4221oveq1d 7157 . . 3 (𝜑 → ((chr‘𝑊) 𝑋) = (𝑃 𝑋))
4321oveq1d 7157 . . . 4 (𝜑 → ((chr‘𝑊) 𝐴) = (𝑃 𝐴))
4414ply1assa 20866 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ CRing → 𝑊 ∈ AssAlg)
45 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4636, 45asclrhm 20596 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑊) RingHom 𝑊))
4713, 44, 463syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑊) RingHom 𝑊))
4813crnggrpd 19322 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ Grp)
4914ply1sca 20920 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ Grp → 𝑍 = (Scalar‘𝑊))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 = (Scalar‘𝑊))
5150oveq1d 7157 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑍 RingHom 𝑊) = ((Scalar‘𝑊) RingHom 𝑊))
5247, 51eleqtrrd 2893 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ (𝑍 RingHom 𝑊))
53 eqid 2798 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
5453, 4rhmmhm 19488 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝑍 RingHom 𝑊) → 𝐶 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom 𝑁))
5552, 54syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom 𝑁))
568, 9, 103syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
5753, 31mgpbas 19256 . . . . . . 7 (Base‘𝑍) = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
58 eqid 2798 . . . . . . 7 (.g‘(mulGrp‘𝑍)) = (.g‘(mulGrp‘𝑍))
5957, 58, 3mhmmulg 18278 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom 𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸) ∈ (Base‘𝑍)) → (𝐶‘(𝑃(.g‘(mulGrp‘𝑍))((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸))) = (𝑃 (𝐶‘((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸))))
6055, 56, 35, 59syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶‘(𝑃(.g‘(mulGrp‘𝑍))((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸))) = (𝑃 (𝐶‘((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸))))
6127a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐴 = (𝐶‘((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸)))
6261oveq2d 7158 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 𝐴) = (𝑃 (𝐶‘((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸))))
6360, 62eqtr4d 2836 . . . 4 (𝜑 → (𝐶‘(𝑃(.g‘(mulGrp‘𝑍))((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸))) = (𝑃 𝐴))
6411, 31, 58znfermltl 31028 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸) ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝑍))((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸))
658, 35, 64syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝑍))((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸))
6665fveq2d 6656 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶‘(𝑃(.g‘(mulGrp‘𝑍))((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸))) = (𝐶‘((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸)))
6766, 27eqtr4di 2851 . . . 4 (𝜑 → (𝐶‘(𝑃(.g‘(mulGrp‘𝑍))((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸))) = 𝐴)
6843, 63, 673eqtr2d 2839 . . 3 (𝜑 → ((chr‘𝑊) 𝐴) = 𝐴)
6942, 68oveq12d 7160 . 2 (𝜑 → (((chr‘𝑊) 𝑋) + ((chr‘𝑊) 𝐴)) = ((𝑃 𝑋) + 𝐴))
7040, 41, 693eqtr3d 2841 1 (𝜑 → (𝑃 (𝑋 + 𝐴)) = ((𝑃 𝑋) + 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ⟶wf 6325  ‘cfv 6329  (class class class)co 7142  ℕcn 11640  ℕ0cn0 11900  ℤcz 11986  ℙcprime 16022  Basecbs 16492  +gcplusg 16574  Scalarcsca 16577   MndHom cmhm 17963  Grpcgrp 18112  .gcmg 18234  mulGrpcmgp 19250  Ringcrg 19308  CRingccrg 19309   RingHom crh 19478  ℤringzring 20181  ℤRHomczrh 20212  chrcchr 20214  ℤ/nℤczn 20215  AssAlgcasa 20558  algSccascl 20560  var1cv1 20843  Poly1cpl1 20844 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7451  ax-cnex 10597  ax-resscn 10598  ax-1cn 10599  ax-icn 10600  ax-addcl 10601  ax-addrcl 10602  ax-mulcl 10603  ax-mulrcl 10604  ax-mulcom 10605  ax-addass 10606  ax-mulass 10607  ax-distr 10608  ax-i2m1 10609  ax-1ne0 10610  ax-1rid 10611  ax-rnegex 10612  ax-rrecex 10613  ax-cnre 10614  ax-pre-lttri 10615  ax-pre-lttrn 10616  ax-pre-ltadd 10617  ax-pre-mulgt0 10618  ax-pre-sup 10619  ax-addf 10620  ax-mulf 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3722  df-csb 3830  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-pss 3901  df-nul 4246  df-if 4428  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-se 5482  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-isom 6338  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-of 7397  df-ofr 7398  df-om 7571  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7824  df-tpos 7890  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-2o 8101  df-oadd 8104  df-er 8287  df-ec 8289  df-qs 8293  df-map 8406  df-pm 8407  df-ixp 8460  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-fsupp 8833  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-dju 9329  df-card 9367  df-pnf 10681  df-mnf 10682  df-xr 10683  df-ltxr 10684  df-le 10685  df-sub 10876  df-neg 10877  df-div 11302  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-xnn0 11973  df-z 11987  df-dec 12104  df-uz 12249  df-rp 12395  df-fz 12903  df-fzo 13046  df-fl 13174  df-mod 13250  df-seq 13382  df-exp 13443  df-fac 13647  df-bc 13676  df-hash 13704  df-cj 14467  df-re 14468  df-im 14469  df-sqrt 14603  df-abs 14604  df-dvds 15617  df-gcd 15851  df-prm 16023  df-phi 16110  df-struct 16494  df-ndx 16495  df-slot 16496  df-base 16498  df-sets 16499  df-ress 16500  df-plusg 16587  df-mulr 16588  df-starv 16589  df-sca 16590  df-vsca 16591  df-ip 16592  df-tset 16593  df-ple 16594  df-ds 16596  df-unif 16597  df-0g 16724  df-gsum 16725  df-imas 16790  df-qus 16791  df-mre 16866  df-mrc 16867  df-acs 16869  df-mgm 17861  df-sgrp 17910  df-mnd 17921  df-mhm 17965  df-submnd 17966  df-grp 18115  df-minusg 18116  df-sbg 18117  df-mulg 18235  df-subg 18286  df-nsg 18287  df-eqg 18288  df-ghm 18366  df-cntz 18457  df-od 18666  df-cmn 18918  df-abl 18919  df-mgp 19251  df-ur 19263  df-srg 19267  df-ring 19310  df-cring 19311  df-oppr 19387  df-dvdsr 19405  df-unit 19406  df-invr 19436  df-dvr 19447  df-rnghom 19481  df-drng 19515  df-subrg 19544  df-lmod 19647  df-lss 19715  df-lsp 19755  df-sra 19955  df-rgmod 19956  df-lidl 19957  df-rsp 19958  df-2idl 20016  df-cnfld 20110  df-zring 20182  df-zrh 20216  df-chr 20218  df-zn 20219  df-assa 20561  df-ascl 20563  df-psr 20614  df-mvr 20615  df-mpl 20616  df-opsr 20618  df-psr1 20847  df-vr1 20848  df-ply1 20849  df-coe1 20850 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator