Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1fermltl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1fermltl 31384
Description: Fermat's little theorem for polynomials. If 𝑃 is prime, Then (𝑋 + 𝐴)↑𝑃 = ((𝑋𝑃) + 𝐴) modulo 𝑃. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1fermltl.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
ply1fermltl.w 𝑊 = (Poly1𝑍)
ply1fermltl.x 𝑋 = (var1𝑍)
ply1fermltl.l + = (+g𝑊)
ply1fermltl.n 𝑁 = (mulGrp‘𝑊)
ply1fermltl.t = (.g𝑁)
ply1fermltl.c 𝐶 = (algSc‘𝑊)
ply1fermltl.a 𝐴 = (𝐶‘((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸))
ply1fermltl.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
ply1fermltl.1 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
ply1fermltl (𝜑 → (𝑃 (𝑋 + 𝐴)) = ((𝑃 𝑋) + 𝐴))

Proof of Theorem ply1fermltl
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 ply1fermltl.l . . 3 + = (+g𝑊)
3 ply1fermltl.t . . . 4 = (.g𝑁)
4 ply1fermltl.n . . . . 5 𝑁 = (mulGrp‘𝑊)
54fveq2i 6720 . . . 4 (.g𝑁) = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
63, 5eqtri 2765 . . 3 = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
7 eqid 2737 . . 3 (chr‘𝑊) = (chr‘𝑊)
8 ply1fermltl.p . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
9 prmnn 16231 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
10 nnnn0 12097 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
11 ply1fermltl.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
1211zncrng 20509 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
138, 9, 10, 124syl 19 . . . 4 (𝜑𝑍 ∈ CRing)
14 ply1fermltl.w . . . . 5 𝑊 = (Poly1𝑍)
1514ply1crng 21119 . . . 4 (𝑍 ∈ CRing → 𝑊 ∈ CRing)
1613, 15syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ CRing)
1714ply1chr 31383 . . . . . 6 (𝑍 ∈ CRing → (chr‘𝑊) = (chr‘𝑍))
1813, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (chr‘𝑊) = (chr‘𝑍))
1911znchr 20527 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℕ0 → (chr‘𝑍) = 𝑃)
208, 9, 10, 194syl 19 . . . . 5 (𝜑 → (chr‘𝑍) = 𝑃)
2118, 20eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → (chr‘𝑊) = 𝑃)
2221, 8eqeltrd 2838 . . 3 (𝜑 → (chr‘𝑊) ∈ ℙ)
2313crngringd 19575 . . . 4 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
24 ply1fermltl.x . . . . 5 𝑋 = (var1𝑍)
2524, 14, 1vr1cl 21138 . . . 4 (𝑍 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
2623, 25syl 17 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
27 ply1fermltl.a . . . 4 𝐴 = (𝐶‘((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸))
28 eqid 2737 . . . . . . . 8 (ℤRHom‘𝑍) = (ℤRHom‘𝑍)
2928zrhrhm 20478 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
30 zringbas 20441 . . . . . . . 8 ℤ = (Base‘ℤring)
31 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
3230, 31rhmf 19746 . . . . . . 7 ((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → (ℤRHom‘𝑍):ℤ⟶(Base‘𝑍))
3323, 29, 323syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (ℤRHom‘𝑍):ℤ⟶(Base‘𝑍))
34 ply1fermltl.1 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
3533, 34ffvelrnd 6905 . . . . 5 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸) ∈ (Base‘𝑍))
36 ply1fermltl.c . . . . . 6 𝐶 = (algSc‘𝑊)
3714, 36, 31, 1ply1sclcl 21207 . . . . 5 ((𝑍 ∈ Ring ∧ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸) ∈ (Base‘𝑍)) → (𝐶‘((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸)) ∈ (Base‘𝑊))
3823, 35, 37syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐶‘((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸)) ∈ (Base‘𝑊))
3927, 38eqeltrid 2842 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘𝑊))
401, 2, 6, 7, 16, 22, 26, 39freshmansdream 31203 . 2 (𝜑 → ((chr‘𝑊) (𝑋 + 𝐴)) = (((chr‘𝑊) 𝑋) + ((chr‘𝑊) 𝐴)))
4121oveq1d 7228 . 2 (𝜑 → ((chr‘𝑊) (𝑋 + 𝐴)) = (𝑃 (𝑋 + 𝐴)))
4221oveq1d 7228 . . 3 (𝜑 → ((chr‘𝑊) 𝑋) = (𝑃 𝑋))
4321oveq1d 7228 . . . 4 (𝜑 → ((chr‘𝑊) 𝐴) = (𝑃 𝐴))
4414ply1assa 21120 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ CRing → 𝑊 ∈ AssAlg)
45 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4636, 45asclrhm 20850 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑊) RingHom 𝑊))
4713, 44, 463syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑊) RingHom 𝑊))
4813crnggrpd 19576 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ Grp)
4914ply1sca 21174 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ Grp → 𝑍 = (Scalar‘𝑊))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 = (Scalar‘𝑊))
5150oveq1d 7228 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑍 RingHom 𝑊) = ((Scalar‘𝑊) RingHom 𝑊))
5247, 51eleqtrrd 2841 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ (𝑍 RingHom 𝑊))
53 eqid 2737 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
5453, 4rhmmhm 19742 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝑍 RingHom 𝑊) → 𝐶 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom 𝑁))
5552, 54syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom 𝑁))
568, 9, 103syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
5753, 31mgpbas 19510 . . . . . . 7 (Base‘𝑍) = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
58 eqid 2737 . . . . . . 7 (.g‘(mulGrp‘𝑍)) = (.g‘(mulGrp‘𝑍))
5957, 58, 3mhmmulg 18532 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom 𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸) ∈ (Base‘𝑍)) → (𝐶‘(𝑃(.g‘(mulGrp‘𝑍))((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸))) = (𝑃 (𝐶‘((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸))))
6055, 56, 35, 59syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶‘(𝑃(.g‘(mulGrp‘𝑍))((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸))) = (𝑃 (𝐶‘((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸))))
6127a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐴 = (𝐶‘((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸)))
6261oveq2d 7229 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 𝐴) = (𝑃 (𝐶‘((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸))))
6360, 62eqtr4d 2780 . . . 4 (𝜑 → (𝐶‘(𝑃(.g‘(mulGrp‘𝑍))((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸))) = (𝑃 𝐴))
6411, 31, 58znfermltl 31276 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸) ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝑍))((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸))
658, 35, 64syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝑍))((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸))
6665fveq2d 6721 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶‘(𝑃(.g‘(mulGrp‘𝑍))((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸))) = (𝐶‘((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸)))
6766, 27eqtr4di 2796 . . . 4 (𝜑 → (𝐶‘(𝑃(.g‘(mulGrp‘𝑍))((ℤRHom‘𝑍)‘𝐸))) = 𝐴)
6843, 63, 673eqtr2d 2783 . . 3 (𝜑 → ((chr‘𝑊) 𝐴) = 𝐴)
6942, 68oveq12d 7231 . 2 (𝜑 → (((chr‘𝑊) 𝑋) + ((chr‘𝑊) 𝐴)) = ((𝑃 𝑋) + 𝐴))
7040, 41, 693eqtr3d 2785 1 (𝜑 → (𝑃 (𝑋 + 𝐴)) = ((𝑃 𝑋) + 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1543  wcel 2110  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  cn 11830  0cn0 12090  cz 12176  cprime 16228  Basecbs 16760  +gcplusg 16802  Scalarcsca 16805   MndHom cmhm 18216  Grpcgrp 18365  .gcmg 18488  mulGrpcmgp 19504  Ringcrg 19562  CRingccrg 19563   RingHom crh 19732  ringzring 20435  ℤRHomczrh 20466  chrcchr 20468  ℤ/nczn 20469  AssAlgcasa 20812  algSccascl 20814  var1cv1 21097  Poly1cpl1 21098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-ofr 7470  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-tpos 7968  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-oadd 8206  df-er 8391  df-ec 8393  df-qs 8397  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-dju 9517  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-dvds 15816  df-gcd 16054  df-prm 16229  df-phi 16319  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-imas 17013  df-qus 17014  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-mhm 18218  df-submnd 18219  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-mulg 18489  df-subg 18540  df-nsg 18541  df-eqg 18542  df-ghm 18620  df-cntz 18711  df-od 18920  df-cmn 19172  df-abl 19173  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-srg 19521  df-ring 19564  df-cring 19565  df-oppr 19641  df-dvdsr 19659  df-unit 19660  df-invr 19690  df-dvr 19701  df-rnghom 19735  df-drng 19769  df-subrg 19798  df-lmod 19901  df-lss 19969  df-lsp 20009  df-sra 20209  df-rgmod 20210  df-lidl 20211  df-rsp 20212  df-2idl 20270  df-cnfld 20364  df-zring 20436  df-zrh 20470  df-chr 20472  df-zn 20473  df-assa 20815  df-ascl 20817  df-psr 20868  df-mvr 20869  df-mpl 20870  df-opsr 20872  df-psr1 21101  df-vr1 21102  df-ply1 21103  df-coe1 21104
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator