Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihord2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihord2 39657
Description: Part of proof after Lemma N of [Crawley] p. 122. Reverse ordering property. TODO: do we need ¬ 𝑋 𝑊 and ¬ 𝑌 𝑊? (Contributed by NM, 4-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihord2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihord2.l = (le‘𝐾)
dihord2.j = (join‘𝐾)
dihord2.m = (meet‘𝐾)
dihord2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihord2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihord2.i 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
dihord2.J 𝐽 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
dihord2.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihord2.s = (LSSum‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
dihord2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊)) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ((𝑄 (𝑋 𝑊)) = 𝑋 ∧ (𝑁 (𝑌 𝑊)) = 𝑌 ∧ ((𝐽𝑄) (𝐼‘(𝑋 𝑊))) ⊆ ((𝐽𝑁) (𝐼‘(𝑌 𝑊))))) → 𝑋 𝑌)

Proof of Theorem dihord2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihord2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 dihord2.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 dihord2.j . . 3 = (join‘𝐾)
4 dihord2.m . . 3 = (meet‘𝐾)
5 dihord2.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 dihord2.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 dihord2.i . . 3 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
8 dihord2.J . . 3 𝐽 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
9 dihord2.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10 dihord2.s . . 3 = (LSSum‘𝑈)
11 eqid 2736 . . 3 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
12 eqid 2736 . . 3 ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
13 eqid 2736 . . 3 ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))
14 eqid 2736 . . 3 ((oc‘𝐾)‘𝑊) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
15 eqid 2736 . . 3 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
16 eqid 2736 . . 3 (+g𝑈) = (+g𝑈)
17 eqid 2736 . . 3 ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑁) = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑁)
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17dihord2pre2 39656 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊)) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ((𝑄 (𝑋 𝑊)) = 𝑋 ∧ (𝑁 (𝑌 𝑊)) = 𝑌 ∧ ((𝐽𝑄) (𝐼‘(𝑋 𝑊))) ⊆ ((𝐽𝑁) (𝐼‘(𝑌 𝑊))))) → (𝑄 (𝑋 𝑊)) (𝑁 (𝑌 𝑊)))
19 simp31 1209 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊)) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ((𝑄 (𝑋 𝑊)) = 𝑋 ∧ (𝑁 (𝑌 𝑊)) = 𝑌 ∧ ((𝐽𝑄) (𝐼‘(𝑋 𝑊))) ⊆ ((𝐽𝑁) (𝐼‘(𝑌 𝑊))))) → (𝑄 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)
20 simp32 1210 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊)) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ((𝑄 (𝑋 𝑊)) = 𝑋 ∧ (𝑁 (𝑌 𝑊)) = 𝑌 ∧ ((𝐽𝑄) (𝐼‘(𝑋 𝑊))) ⊆ ((𝐽𝑁) (𝐼‘(𝑌 𝑊))))) → (𝑁 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)
2118, 19, 203brtr3d 5134 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊)) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ((𝑄 (𝑋 𝑊)) = 𝑋 ∧ (𝑁 (𝑌 𝑊)) = 𝑌 ∧ ((𝐽𝑄) (𝐼‘(𝑋 𝑊))) ⊆ ((𝐽𝑁) (𝐼‘(𝑌 𝑊))))) → 𝑋 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3908   class class class wbr 5103  cmpt 5186   I cid 5528  cres 5633  cfv 6493  crio 7308  (class class class)co 7353  Basecbs 17075  +gcplusg 17125  lecple 17132  occoc 17133  joincjn 18192  meetcmee 18193  LSSumclsm 19407  Atomscatm 37692  HLchlt 37779  LHypclh 38414  LTrncltrn 38531  trLctrl 38588  TEndoctendo 39182  DVecHcdvh 39508  DIsoBcdib 39568  DIsoCcdic 39602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-riotaBAD 37382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-tpos 8153  df-undef 8200  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-map 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-fz 13417  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-sca 17141  df-vsca 17142  df-0g 17315  df-proset 18176  df-poset 18194  df-plt 18211  df-lub 18227  df-glb 18228  df-join 18229  df-meet 18230  df-p0 18306  df-p1 18307  df-lat 18313  df-clat 18380  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-submnd 18594  df-grp 18743  df-minusg 18744  df-sbg 18745  df-subg 18916  df-cntz 19088  df-lsm 19409  df-cmn 19555  df-abl 19556  df-mgp 19888  df-ur 19905  df-ring 19952  df-oppr 20034  df-dvdsr 20055  df-unit 20056  df-invr 20086  df-dvr 20097  df-drng 20172  df-lmod 20309  df-lss 20378  df-lsp 20418  df-lvec 20549  df-oposet 37605  df-ol 37607  df-oml 37608  df-covers 37695  df-ats 37696  df-atl 37727  df-cvlat 37751  df-hlat 37780  df-llines 37928  df-lplanes 37929  df-lvols 37930  df-lines 37931  df-psubsp 37933  df-pmap 37934  df-padd 38226  df-lhyp 38418  df-laut 38419  df-ldil 38534  df-ltrn 38535  df-trl 38589  df-tendo 39185  df-edring 39187  df-disoa 39459  df-dvech 39509  df-dib 39569  df-dic 39603
This theorem is referenced by:  dihord4  39688
  Copyright terms: Public domain W3C validator