Theorem dihopcl 40721

Description: Closure of an ordered pair (vector) member of a value of isomorphism H. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihopcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihopcl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihopcl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihopcl.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dihopcl.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihopcl.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihopcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
dihopcl.y	⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ (𝐼‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
dihopcl	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸))

Proof of Theorem dihopcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihopcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		dihopcl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dihopcl.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4		dihopcl.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
5		dihopcl.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6		dihopcl.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		dihopcl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	dihssxp 40720	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ⊆ (𝑇 × 𝐸))
9		dihopcl.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ (𝐼‘𝑋))
10	8, 9	sseldd 3980	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
11		opelxp 5709	. 2 ⊢ (⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ↔ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸))
12	10, 11	sylib 217	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ⟨cop 4631   × cxp 5671  ‘cfv 6543  Basecbs 17174  HLchlt 38817  LHypclh 39452  LTrncltrn 39569  TEndoctendo 40220  DIsoHcdih 40696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-riotaBAD 38420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8226  df-undef 8273  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-er 8719  df-map 8841  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-0g 17417  df-proset 18281  df-poset 18299  df-plt 18316  df-lub 18332  df-glb 18333  df-join 18334  df-meet 18335  df-p0 18411  df-p1 18412  df-lat 18418  df-clat 18485  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-grp 18887  df-minusg 18888  df-sbg 18889  df-subg 19072  df-cntz 19262  df-lsm 19585  df-cmn 19731  df-abl 19732  df-mgp 20069  df-rng 20087  df-ur 20116  df-ring 20169  df-oppr 20267  df-dvdsr 20290  df-unit 20291  df-invr 20321  df-dvr 20334  df-drng 20620  df-lmod 20739  df-lss 20810  df-lsp 20850  df-lvec 20982  df-oposet 38643  df-ol 38645  df-oml 38646  df-covers 38733  df-ats 38734  df-atl 38765  df-cvlat 38789  df-hlat 38818  df-llines 38966  df-lplanes 38967  df-lvols 38968  df-lines 38969  df-psubsp 38971  df-pmap 38972  df-padd 39264  df-lhyp 39456  df-laut 39457  df-ldil 39572  df-ltrn 39573  df-trl 39627  df-tendo 40223  df-edring 40225  df-disoa 40497  df-dvech 40547  df-dib 40607  df-dic 40641  df-dih 40697

This theorem is referenced by:  xihopellsmN  40722  dihopellsm  40723