Theorem gsumply1eq 21386

Description: Two univariate polynomials given as (finitely supported) sum of scaled monomials are equal iff the corresponding coefficients are equal. (Contributed by AV, 21-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumply1eq.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
gsumply1eq.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
gsumply1eq.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
gsumply1eq.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsumply1eq.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
gsumply1eq.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
gsumply1eq.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsumply1eq.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 ∈ 𝐾)
gsumply1eq.f1	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐴) finSupp 0 )
gsumply1eq.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 ∈ 𝐾)
gsumply1eq.f2	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐵) finSupp 0 )
gsumply1eq.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
gsumply1eq.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))

Assertion

Ref	Expression
gsumply1eq	⊢ (𝜑 → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑂   𝑃,𝑘   𝑄,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘   0 ,𝑘   ∗ ,𝑘   ↑ ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumply1eq

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumply1eq.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		gsumply1eq.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
3		gsumply1eq.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5		gsumply1eq.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
6		gsumply1eq.e	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
7		gsumply1eq.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8		gsumply1eq.m	. . . . 5 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
9		gsumply1eq.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
10		gsumply1eq.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 ∈ 𝐾)
11		gsumply1eq.f1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐴) finSupp 0 )
12	3, 4, 5, 6, 1, 7, 8, 9, 10, 11	gsumsmonply1 21384	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ (Base‘𝑃))
13	2, 12	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (Base‘𝑃))
14		gsumply1eq.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
15		gsumply1eq.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 ∈ 𝐾)
16		gsumply1eq.f2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐵) finSupp 0 )
17	3, 4, 5, 6, 1, 7, 8, 9, 15, 16	gsumsmonply1 21384	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ (Base‘𝑃))
18	14, 17	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (Base‘𝑃))
19		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝑂) = (coe1‘𝑂)
20		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝑄) = (coe1‘𝑄)
21	3, 4, 19, 20	ply1coe1eq 21379	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝑃)) → (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘𝑄)‘𝑘) ↔ 𝑂 = 𝑄))
22	21	bicomd 222	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘𝑄)‘𝑘)))
23	1, 13, 18, 22	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘𝑄)‘𝑘)))
24	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑂 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
25		nfcv 2906	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙(𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))
26		nfcsb1v 3853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴
27		nfcv 2906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 ∗
28		nfcv 2906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑙 ↑ 𝑋)
29	26, 27, 28	nfov 7285	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋))
30		csbeq1a 3842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → 𝐴 = ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴)
31		oveq1 7262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 ↑ 𝑋) = (𝑙 ↑ 𝑋))
32	30, 31	oveq12d 7273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))
33	25, 29, 32	cbvmpt 5181	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))
34	33	oveq2i 7266	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋))))
35	24, 34	eqtrdi 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑂 = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))
36	35	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (coe1‘𝑂) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋))))))
37	36	fveq1d 6758	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))‘𝑘))
38	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
39		nfv 1918	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙 𝐴 ∈ 𝐾
40	26	nfel1 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∈ 𝐾
41	30	eleq1d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐴 ∈ 𝐾 ↔ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∈ 𝐾))
42	39, 40, 41	cbvralw 3363	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 ∈ 𝐾 ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∈ 𝐾)
43	10, 42	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∈ 𝐾)
44	43	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∈ 𝐾)
45		nfcv 2906	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙𝐴
46	45, 26, 30	cbvmpt 5181	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐴) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴)
47	46, 11	eqbrtrrid 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴) finSupp 0 )
48	47	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴) finSupp 0 )
49		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
50	3, 4, 5, 6, 38, 7, 8, 9, 44, 48, 49	gsummoncoe1 21385	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))‘𝑘) = ⦋𝑘 / 𝑙⦌⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴)
51		csbcow 3843	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑙⦌⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 = ⦋𝑘 / 𝑘⦌𝐴
52		csbid 3841	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐴
53	51, 52	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑙⦌⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐴
54	50, 53	eqtrdi 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))‘𝑘) = 𝐴)
55	37, 54	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑂)‘𝑘) = 𝐴)
56	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑄 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
57		nfcv 2906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑙(𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))
58		nfcsb1v 3853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵
59	58, 27, 28	nfov 7285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋))
60		csbeq1a 3842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → 𝐵 = ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)
61	60, 31	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))
62	57, 59, 61	cbvmpt 5181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))
63	62	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋))))
64	63	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))
65	56, 64	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑄 = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))
66	65	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (coe1‘𝑄) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋))))))
67	66	fveq1d 6758	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑄)‘𝑘) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))‘𝑘))
68		nfv 1918	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙 𝐵 ∈ 𝐾
69	58	nfel1 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝐾
70	60	eleq1d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐵 ∈ 𝐾 ↔ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝐾))
71	68, 69, 70	cbvralw 3363	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 ∈ 𝐾 ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝐾)
72	15, 71	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝐾)
73	72	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝐾)
74		nfcv 2906	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙𝐵
75	74, 58, 60	cbvmpt 5181	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐵) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)
76	75, 16	eqbrtrrid 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵) finSupp 0 )
77	76	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵) finSupp 0 )
78	3, 4, 5, 6, 38, 7, 8, 9, 73, 77, 49	gsummoncoe1 21385	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))‘𝑘) = ⦋𝑘 / 𝑙⦌⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)
79		csbcow 3843	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑙⦌⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑘⦌𝐵
80		csbid 3841	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐵
81	79, 80	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑙⦌⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐵
82	78, 81	eqtrdi 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))‘𝑘) = 𝐵)
83	67, 82	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑄)‘𝑘) = 𝐵)
84	55, 83	eqeq12d 2754	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘𝑄)‘𝑘) ↔ 𝐴 = 𝐵))
85	84	ralbidva 3119	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘𝑄)‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = 𝐵))
86	23, 85	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ⦋csb 3828   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   finSupp cfsupp 9058  ℕ₀cn0 12163  Basecbs 16840   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067   Σ_g cgsu 17068  ._gcmg 18615  mulGrpcmgp 19635  Ringcrg 19698  var₁cv1 21257  Poly₁cpl1 21258  coe₁cco1 21259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-tset 16907  df-ple 16908  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-srg 19657  df-ring 19700  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-psr 21022  df-mvr 21023  df-mpl 21024  df-opsr 21026  df-psr1 21261  df-vr1 21262  df-ply1 21263  df-coe1 21264

This theorem is referenced by:  chcoeffeqlem  21942