MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumply1eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumply1eq 21676
Description: Two univariate polynomials given as (finitely supported) sum of scaled monomials are equal iff the corresponding coefficients are equal. (Contributed by AV, 21-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumply1eq.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
gsumply1eq.x 𝑋 = (var1𝑅)
gsumply1eq.e = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
gsumply1eq.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
gsumply1eq.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
gsumply1eq.m = ( ·𝑠𝑃)
gsumply1eq.0 0 = (0g𝑅)
gsumply1eq.a (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴𝐾)
gsumply1eq.f1 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐴) finSupp 0 )
gsumply1eq.b (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐵𝐾)
gsumply1eq.f2 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐵) finSupp 0 )
gsumply1eq.o (𝜑𝑂 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))
gsumply1eq.q (𝜑𝑄 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 (𝑘 𝑋)))))
Assertion
Ref Expression
gsumply1eq (𝜑 → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑂   𝑃,𝑘   𝑄,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘   0 ,𝑘   ,𝑘   ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumply1eq
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumply1eq.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 gsumply1eq.o . . . 4 (𝜑𝑂 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))
3 gsumply1eq.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5 gsumply1eq.x . . . . 5 𝑋 = (var1𝑅)
6 gsumply1eq.e . . . . 5 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
7 gsumply1eq.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
8 gsumply1eq.m . . . . 5 = ( ·𝑠𝑃)
9 gsumply1eq.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
10 gsumply1eq.a . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴𝐾)
11 gsumply1eq.f1 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐴) finSupp 0 )
123, 4, 5, 6, 1, 7, 8, 9, 10, 11gsumsmonply1 21674 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))) ∈ (Base‘𝑃))
132, 12eqeltrd 2838 . . 3 (𝜑𝑂 ∈ (Base‘𝑃))
14 gsumply1eq.q . . . 4 (𝜑𝑄 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 (𝑘 𝑋)))))
15 gsumply1eq.b . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐵𝐾)
16 gsumply1eq.f2 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐵) finSupp 0 )
173, 4, 5, 6, 1, 7, 8, 9, 15, 16gsumsmonply1 21674 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 (𝑘 𝑋)))) ∈ (Base‘𝑃))
1814, 17eqeltrd 2838 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ (Base‘𝑃))
19 eqid 2736 . . . . 5 (coe1𝑂) = (coe1𝑂)
20 eqid 2736 . . . . 5 (coe1𝑄) = (coe1𝑄)
213, 4, 19, 20ply1coe1eq 21669 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝑃)) → (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1𝑂)‘𝑘) = ((coe1𝑄)‘𝑘) ↔ 𝑂 = 𝑄))
2221bicomd 222 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1𝑂)‘𝑘) = ((coe1𝑄)‘𝑘)))
231, 13, 18, 22syl3anc 1371 . 2 (𝜑 → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1𝑂)‘𝑘) = ((coe1𝑄)‘𝑘)))
242adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑂 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))
25 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑙(𝐴 (𝑘 𝑋))
26 nfcsb1v 3880 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑙 / 𝑘𝐴
27 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑘
28 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝑙 𝑋)
2926, 27, 28nfov 7387 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋))
30 csbeq1a 3869 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑙𝐴 = 𝑙 / 𝑘𝐴)
31 oveq1 7364 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 𝑋) = (𝑙 𝑋))
3230, 31oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑙 → (𝐴 (𝑘 𝑋)) = (𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋)))
3325, 29, 32cbvmpt 5216 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋))) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋)))
3433oveq2i 7368 . . . . . . . 8 (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋))))
3524, 34eqtrdi 2792 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑂 = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋)))))
3635fveq2d 6846 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (coe1𝑂) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋))))))
3736fveq1d 6844 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋)))))‘𝑘))
381adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
39 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 𝑙 𝐴𝐾
4026nfel1 2923 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑙 / 𝑘𝐴𝐾
4130eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑙 → (𝐴𝐾𝑙 / 𝑘𝐴𝐾))
4239, 40, 41cbvralw 3289 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴𝐾 ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ0 𝑙 / 𝑘𝐴𝐾)
4310, 42sylib 217 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 𝑙 / 𝑘𝐴𝐾)
4443adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 𝑙 / 𝑘𝐴𝐾)
45 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑙𝐴
4645, 26, 30cbvmpt 5216 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0𝐴) = (𝑙 ∈ ℕ0𝑙 / 𝑘𝐴)
4746, 11eqbrtrrid 5141 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑙 ∈ ℕ0𝑙 / 𝑘𝐴) finSupp 0 )
4847adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑙 ∈ ℕ0𝑙 / 𝑘𝐴) finSupp 0 )
49 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
503, 4, 5, 6, 38, 7, 8, 9, 44, 48, 49gsummoncoe1 21675 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋)))))‘𝑘) = 𝑘 / 𝑙𝑙 / 𝑘𝐴)
51 csbcow 3870 . . . . . . 7 𝑘 / 𝑙𝑙 / 𝑘𝐴 = 𝑘 / 𝑘𝐴
52 csbid 3868 . . . . . . 7 𝑘 / 𝑘𝐴 = 𝐴
5351, 52eqtri 2764 . . . . . 6 𝑘 / 𝑙𝑙 / 𝑘𝐴 = 𝐴
5450, 53eqtrdi 2792 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋)))))‘𝑘) = 𝐴)
5537, 54eqtrd 2776 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑂)‘𝑘) = 𝐴)
5614adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑄 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 (𝑘 𝑋)))))
57 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑙(𝐵 (𝑘 𝑋))
58 nfcsb1v 3880 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑙 / 𝑘𝐵
5958, 27, 28nfov 7387 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋))
60 csbeq1a 3869 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑙𝐵 = 𝑙 / 𝑘𝐵)
6160, 31oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑙 → (𝐵 (𝑘 𝑋)) = (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋)))
6257, 59, 61cbvmpt 5216 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 (𝑘 𝑋))) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋)))
6362a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 (𝑘 𝑋))) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋))))
6463oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 (𝑘 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋)))))
6556, 64eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑄 = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋)))))
6665fveq2d 6846 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (coe1𝑄) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋))))))
6766fveq1d 6844 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑄)‘𝑘) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋)))))‘𝑘))
68 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 𝑙 𝐵𝐾
6958nfel1 2923 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑙 / 𝑘𝐵𝐾
7060eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑙 → (𝐵𝐾𝑙 / 𝑘𝐵𝐾))
7168, 69, 70cbvralw 3289 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐵𝐾 ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ0 𝑙 / 𝑘𝐵𝐾)
7215, 71sylib 217 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 𝑙 / 𝑘𝐵𝐾)
7372adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 𝑙 / 𝑘𝐵𝐾)
74 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑙𝐵
7574, 58, 60cbvmpt 5216 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0𝐵) = (𝑙 ∈ ℕ0𝑙 / 𝑘𝐵)
7675, 16eqbrtrrid 5141 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑙 ∈ ℕ0𝑙 / 𝑘𝐵) finSupp 0 )
7776adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑙 ∈ ℕ0𝑙 / 𝑘𝐵) finSupp 0 )
783, 4, 5, 6, 38, 7, 8, 9, 73, 77, 49gsummoncoe1 21675 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋)))))‘𝑘) = 𝑘 / 𝑙𝑙 / 𝑘𝐵)
79 csbcow 3870 . . . . . . 7 𝑘 / 𝑙𝑙 / 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑘𝐵
80 csbid 3868 . . . . . . 7 𝑘 / 𝑘𝐵 = 𝐵
8179, 80eqtri 2764 . . . . . 6 𝑘 / 𝑙𝑙 / 𝑘𝐵 = 𝐵
8278, 81eqtrdi 2792 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋)))))‘𝑘) = 𝐵)
8367, 82eqtrd 2776 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑄)‘𝑘) = 𝐵)
8455, 83eqeq12d 2752 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((coe1𝑂)‘𝑘) = ((coe1𝑄)‘𝑘) ↔ 𝐴 = 𝐵))
8584ralbidva 3172 . 2 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1𝑂)‘𝑘) = ((coe1𝑄)‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = 𝐵))
8623, 85bitrd 278 1 (𝜑 → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  csb 3855   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357   finSupp cfsupp 9305  0cn0 12413  Basecbs 17083   ·𝑠 cvsca 17137  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  .gcmg 18872  mulGrpcmgp 19896  Ringcrg 19964  var1cv1 21547  Poly1cpl1 21548  coe1cco1 21549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-srg 19918  df-ring 19966  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-psr1 21551  df-vr1 21552  df-ply1 21553  df-coe1 21554
This theorem is referenced by:  chcoeffeqlem  22234
  Copyright terms: Public domain W3C validator