Theorem gsumply1eq 22372

Description: Two univariate polynomials given as (finitely supported) sum of scaled monomials are equal iff the corresponding coefficients are equal. (Contributed by AV, 21-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumply1eq.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
gsumply1eq.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
gsumply1eq.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
gsumply1eq.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsumply1eq.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
gsumply1eq.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
gsumply1eq.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsumply1eq.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 ∈ 𝐾)
gsumply1eq.f1	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐴) finSupp 0 )
gsumply1eq.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 ∈ 𝐾)
gsumply1eq.f2	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐵) finSupp 0 )
gsumply1eq.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
gsumply1eq.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))

Assertion

Ref	Expression
gsumply1eq	⊢ (𝜑 → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑂   𝑃,𝑘   𝑄,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘   0 ,𝑘   ∗ ,𝑘   ↑ ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumply1eq

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumply1eq.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		gsumply1eq.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
3		gsumply1eq.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5		gsumply1eq.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
6		gsumply1eq.e	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
7		gsumply1eq.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8		gsumply1eq.m	. . . . 5 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
9		gsumply1eq.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
10		gsumply1eq.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 ∈ 𝐾)
11		gsumply1eq.f1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐴) finSupp 0 )
12	3, 4, 5, 6, 1, 7, 8, 9, 10, 11	gsumsmonply1 22370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ (Base‘𝑃))
13	2, 12	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (Base‘𝑃))
14		gsumply1eq.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
15		gsumply1eq.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 ∈ 𝐾)
16		gsumply1eq.f2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐵) finSupp 0 )
17	3, 4, 5, 6, 1, 7, 8, 9, 15, 16	gsumsmonply1 22370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ (Base‘𝑃))
18	14, 17	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (Base‘𝑃))
19		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝑂) = (coe1‘𝑂)
20		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝑄) = (coe1‘𝑄)
21	3, 4, 19, 20	ply1coe1eq 22363	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝑃)) → (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘𝑄)‘𝑘) ↔ 𝑂 = 𝑄))
22	21	bicomd 225	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘𝑄)‘𝑘)))
23	1, 13, 18, 22	syl3anc 1390	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘𝑄)‘𝑘)))
24	2	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑂 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
25		nfcv 2924	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙(𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))
26		nfcsb1v 3876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴
27		nfcv 2924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 ∗
28		nfcv 2924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑙 ↑ 𝑋)
29	26, 27, 28	nfov 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋))
30		csbeq1a 3866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → 𝐴 = ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴)
31		oveq1 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 ↑ 𝑋) = (𝑙 ↑ 𝑋))
32	30, 31	oveq12d 7414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))
33	25, 29, 32	cbvmpt 5202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))
34	33	oveq2i 7407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋))))
35	24, 34	eqtrdi 2813	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑂 = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))
36	35	fveq2d 6871	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (coe1‘𝑂) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋))))))
37	36	fveq1d 6869	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))‘𝑘))
38	1	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
39		nfv 1934	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙 𝐴 ∈ 𝐾
40	26	nfel1 2940	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∈ 𝐾
41	30	eleq1d 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐴 ∈ 𝐾 ↔ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∈ 𝐾))
42	39, 40, 41	cbvralw 3304	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 ∈ 𝐾 ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∈ 𝐾)
43	10, 42	sylib 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∈ 𝐾)
44	43	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∈ 𝐾)
45		nfcv 2924	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙𝐴
46	45, 26, 30	cbvmpt 5202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐴) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴)
47	46, 11	eqbrtrrid 5136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴) finSupp 0 )
48	47	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴) finSupp 0 )
49		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
50	3, 4, 5, 6, 38, 7, 8, 9, 44, 48, 49	gsummoncoe1 22371	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))‘𝑘) = ⦋𝑘 / 𝑙⦌⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴)
51		csbcow 3867	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑙⦌⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 = ⦋𝑘 / 𝑘⦌𝐴
52		csbid 3865	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐴
53	51, 52	eqtri 2785	. . . . . 6 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑙⦌⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐴
54	50, 53	eqtrdi 2813	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))‘𝑘) = 𝐴)
55	37, 54	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑂)‘𝑘) = 𝐴)
56	14	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑄 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
57		nfcv 2924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑙(𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))
58		nfcsb1v 3876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵
59	58, 27, 28	nfov 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋))
60		csbeq1a 3866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → 𝐵 = ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)
61	60, 31	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))
62	57, 59, 61	cbvmpt 5202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))
63	62	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋))))
64	63	oveq2d 7412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))
65	56, 64	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑄 = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))
66	65	fveq2d 6871	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (coe1‘𝑄) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋))))))
67	66	fveq1d 6869	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑄)‘𝑘) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))‘𝑘))
68		nfv 1934	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙 𝐵 ∈ 𝐾
69	58	nfel1 2940	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝐾
70	60	eleq1d 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐵 ∈ 𝐾 ↔ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝐾))
71	68, 69, 70	cbvralw 3304	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 ∈ 𝐾 ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝐾)
72	15, 71	sylib 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝐾)
73	72	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝐾)
74		nfcv 2924	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙𝐵
75	74, 58, 60	cbvmpt 5202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐵) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)
76	75, 16	eqbrtrrid 5136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵) finSupp 0 )
77	76	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵) finSupp 0 )
78	3, 4, 5, 6, 38, 7, 8, 9, 73, 77, 49	gsummoncoe1 22371	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))‘𝑘) = ⦋𝑘 / 𝑙⦌⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)
79		csbcow 3867	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑙⦌⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑘⦌𝐵
80		csbid 3865	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐵
81	79, 80	eqtri 2785	. . . . . 6 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑙⦌⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐵
82	78, 81	eqtrdi 2813	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))‘𝑘) = 𝐵)
83	67, 82	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑄)‘𝑘) = 𝐵)
84	55, 83	eqeq12d 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘𝑄)‘𝑘) ↔ 𝐴 = 𝐵))
85	84	ralbidva 3183	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘𝑄)‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = 𝐵))
86	23, 85	bitrd 281	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  ⦋csb 3852   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   finSupp cfsupp 9307  ℕ₀cn0 12481  Basecbs 17245   ·_𝑠 cvsca 17290  0_gc0g 17468   Σ_g cgsu 17469  ._gcmg 19109  mulGrpcmgp 20186  Ringcrg 20283  var₁cv1 22238  Poly₁cpl1 22239  coe₁cco1 22240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-ofr 7661  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-sup 9388  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-hash 14344  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-hom 17310  df-cco 17311  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-prds 17476  df-pws 17478  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-mhm 18817  df-submnd 18818  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-mulg 19110  df-subg 19165  df-ghm 19254  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-srg 20237  df-ring 20285  df-subrng 20596  df-subrg 20620  df-lmod 20929  df-lss 20999  df-psr 21961  df-mvr 21962  df-mpl 21963  df-opsr 21965  df-psr1 22242  df-vr1 22243  df-ply1 22244  df-coe1 22245

This theorem is referenced by:  chcoeffeqlem  22945  extdgfialglem2  33990