Theorem gsumply1eq 22287

Description: Two univariate polynomials given as (finitely supported) sum of scaled monomials are equal iff the corresponding coefficients are equal. (Contributed by AV, 21-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumply1eq.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
gsumply1eq.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
gsumply1eq.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
gsumply1eq.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsumply1eq.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
gsumply1eq.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
gsumply1eq.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsumply1eq.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 ∈ 𝐾)
gsumply1eq.f1	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐴) finSupp 0 )
gsumply1eq.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 ∈ 𝐾)
gsumply1eq.f2	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐵) finSupp 0 )
gsumply1eq.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
gsumply1eq.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))

Assertion

Ref	Expression
gsumply1eq	⊢ (𝜑 → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑂   𝑃,𝑘   𝑄,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘   0 ,𝑘   ∗ ,𝑘   ↑ ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumply1eq

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumply1eq.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		gsumply1eq.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
3		gsumply1eq.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5		gsumply1eq.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
6		gsumply1eq.e	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
7		gsumply1eq.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8		gsumply1eq.m	. . . . 5 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
9		gsumply1eq.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
10		gsumply1eq.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 ∈ 𝐾)
11		gsumply1eq.f1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐴) finSupp 0 )
12	3, 4, 5, 6, 1, 7, 8, 9, 10, 11	gsumsmonply1 22285	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ (Base‘𝑃))
13	2, 12	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (Base‘𝑃))
14		gsumply1eq.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
15		gsumply1eq.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 ∈ 𝐾)
16		gsumply1eq.f2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐵) finSupp 0 )
17	3, 4, 5, 6, 1, 7, 8, 9, 15, 16	gsumsmonply1 22285	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ (Base‘𝑃))
18	14, 17	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (Base‘𝑃))
19		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝑂) = (coe1‘𝑂)
20		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝑄) = (coe1‘𝑄)
21	3, 4, 19, 20	ply1coe1eq 22278	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝑃)) → (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘𝑄)‘𝑘) ↔ 𝑂 = 𝑄))
22	21	bicomd 223	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘𝑄)‘𝑘)))
23	1, 13, 18, 22	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘𝑄)‘𝑘)))
24	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑂 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
25		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙(𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))
26		nfcsb1v 3862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴
27		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 ∗
28		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑙 ↑ 𝑋)
29	26, 27, 28	nfov 7391	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋))
30		csbeq1a 3852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → 𝐴 = ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴)
31		oveq1 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 ↑ 𝑋) = (𝑙 ↑ 𝑋))
32	30, 31	oveq12d 7379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))
33	25, 29, 32	cbvmpt 5188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))
34	33	oveq2i 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋))))
35	24, 34	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑂 = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))
36	35	fveq2d 6839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (coe1‘𝑂) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋))))))
37	36	fveq1d 6837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))‘𝑘))
38	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
39		nfv 1916	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙 𝐴 ∈ 𝐾
40	26	nfel1 2916	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∈ 𝐾
41	30	eleq1d 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐴 ∈ 𝐾 ↔ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∈ 𝐾))
42	39, 40, 41	cbvralw 3280	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 ∈ 𝐾 ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∈ 𝐾)
43	10, 42	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∈ 𝐾)
44	43	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∈ 𝐾)
45		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙𝐴
46	45, 26, 30	cbvmpt 5188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐴) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴)
47	46, 11	eqbrtrrid 5122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴) finSupp 0 )
48	47	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴) finSupp 0 )
49		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
50	3, 4, 5, 6, 38, 7, 8, 9, 44, 48, 49	gsummoncoe1 22286	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))‘𝑘) = ⦋𝑘 / 𝑙⦌⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴)
51		csbcow 3853	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑙⦌⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 = ⦋𝑘 / 𝑘⦌𝐴
52		csbid 3851	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐴
53	51, 52	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑙⦌⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐴
54	50, 53	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))‘𝑘) = 𝐴)
55	37, 54	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑂)‘𝑘) = 𝐴)
56	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑄 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
57		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑙(𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))
58		nfcsb1v 3862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵
59	58, 27, 28	nfov 7391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋))
60		csbeq1a 3852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → 𝐵 = ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)
61	60, 31	oveq12d 7379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))
62	57, 59, 61	cbvmpt 5188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))
63	62	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋))))
64	63	oveq2d 7377	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))
65	56, 64	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑄 = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))
66	65	fveq2d 6839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (coe1‘𝑄) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋))))))
67	66	fveq1d 6837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑄)‘𝑘) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))‘𝑘))
68		nfv 1916	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙 𝐵 ∈ 𝐾
69	58	nfel1 2916	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝐾
70	60	eleq1d 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐵 ∈ 𝐾 ↔ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝐾))
71	68, 69, 70	cbvralw 3280	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 ∈ 𝐾 ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝐾)
72	15, 71	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝐾)
73	72	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝐾)
74		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙𝐵
75	74, 58, 60	cbvmpt 5188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐵) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)
76	75, 16	eqbrtrrid 5122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵) finSupp 0 )
77	76	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵) finSupp 0 )
78	3, 4, 5, 6, 38, 7, 8, 9, 73, 77, 49	gsummoncoe1 22286	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))‘𝑘) = ⦋𝑘 / 𝑙⦌⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)
79		csbcow 3853	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑙⦌⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑘⦌𝐵
80		csbid 3851	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐵
81	79, 80	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑙⦌⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐵
82	78, 81	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))‘𝑘) = 𝐵)
83	67, 82	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑄)‘𝑘) = 𝐵)
84	55, 83	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘𝑄)‘𝑘) ↔ 𝐴 = 𝐵))
85	84	ralbidva 3159	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘𝑄)‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = 𝐵))
86	23, 85	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ⦋csb 3838   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   finSupp cfsupp 9268  ℕ₀cn0 12431  Basecbs 17173   ·_𝑠 cvsca 17218  0_gc0g 17396   Σ_g cgsu 17397  ._gcmg 19037  mulGrpcmgp 20115  Ringcrg 20208  var₁cv1 22152  Poly₁cpl1 22153  coe₁cco1 22154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-ofr 7626  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-hash 14287  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-hom 17238  df-cco 17239  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-prds 17404  df-pws 17406  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-ghm 19182  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-srg 20162  df-ring 20210  df-subrng 20517  df-subrg 20541  df-lmod 20851  df-lss 20921  df-psr 21902  df-mvr 21903  df-mpl 21904  df-opsr 21906  df-psr1 22156  df-vr1 22157  df-ply1 22158  df-coe1 22159

This theorem is referenced by:  chcoeffeqlem  22863  extdgfialglem2  33856