Theorem gsumply1eq 22313

Description: Two univariate polynomials given as (finitely supported) sum of scaled monomials are equal iff the corresponding coefficients are equal. (Contributed by AV, 21-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumply1eq.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
gsumply1eq.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
gsumply1eq.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
gsumply1eq.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsumply1eq.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
gsumply1eq.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
gsumply1eq.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsumply1eq.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 ∈ 𝐾)
gsumply1eq.f1	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐴) finSupp 0 )
gsumply1eq.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 ∈ 𝐾)
gsumply1eq.f2	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐵) finSupp 0 )
gsumply1eq.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
gsumply1eq.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))

Assertion

Ref	Expression
gsumply1eq	⊢ (𝜑 → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑂   𝑃,𝑘   𝑄,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘   0 ,𝑘   ∗ ,𝑘   ↑ ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumply1eq

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumply1eq.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		gsumply1eq.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
3		gsumply1eq.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5		gsumply1eq.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
6		gsumply1eq.e	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
7		gsumply1eq.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8		gsumply1eq.m	. . . . 5 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
9		gsumply1eq.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
10		gsumply1eq.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 ∈ 𝐾)
11		gsumply1eq.f1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐴) finSupp 0 )
12	3, 4, 5, 6, 1, 7, 8, 9, 10, 11	gsumsmonply1 22311	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ (Base‘𝑃))
13	2, 12	eqeltrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (Base‘𝑃))
14		gsumply1eq.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
15		gsumply1eq.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 ∈ 𝐾)
16		gsumply1eq.f2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐵) finSupp 0 )
17	3, 4, 5, 6, 1, 7, 8, 9, 15, 16	gsumsmonply1 22311	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ (Base‘𝑃))
18	14, 17	eqeltrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (Base‘𝑃))
19		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝑂) = (coe1‘𝑂)
20		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝑄) = (coe1‘𝑄)
21	3, 4, 19, 20	ply1coe1eq 22304	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝑃)) → (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘𝑄)‘𝑘) ↔ 𝑂 = 𝑄))
22	21	bicomd 223	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘𝑄)‘𝑘)))
23	1, 13, 18, 22	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘𝑄)‘𝑘)))
24	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑂 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
25		nfcv 2905	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙(𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))
26		nfcsb1v 3923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴
27		nfcv 2905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 ∗
28		nfcv 2905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑙 ↑ 𝑋)
29	26, 27, 28	nfov 7461	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋))
30		csbeq1a 3913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → 𝐴 = ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴)
31		oveq1 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 ↑ 𝑋) = (𝑙 ↑ 𝑋))
32	30, 31	oveq12d 7449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))
33	25, 29, 32	cbvmpt 5253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))
34	33	oveq2i 7442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋))))
35	24, 34	eqtrdi 2793	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑂 = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))
36	35	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (coe1‘𝑂) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋))))))
37	36	fveq1d 6908	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))‘𝑘))
38	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
39		nfv 1914	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙 𝐴 ∈ 𝐾
40	26	nfel1 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∈ 𝐾
41	30	eleq1d 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐴 ∈ 𝐾 ↔ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∈ 𝐾))
42	39, 40, 41	cbvralw 3306	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 ∈ 𝐾 ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∈ 𝐾)
43	10, 42	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∈ 𝐾)
44	43	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∈ 𝐾)
45		nfcv 2905	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙𝐴
46	45, 26, 30	cbvmpt 5253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐴) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴)
47	46, 11	eqbrtrrid 5179	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴) finSupp 0 )
48	47	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴) finSupp 0 )
49		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
50	3, 4, 5, 6, 38, 7, 8, 9, 44, 48, 49	gsummoncoe1 22312	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))‘𝑘) = ⦋𝑘 / 𝑙⦌⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴)
51		csbcow 3914	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑙⦌⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 = ⦋𝑘 / 𝑘⦌𝐴
52		csbid 3912	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐴
53	51, 52	eqtri 2765	. . . . . 6 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑙⦌⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐴
54	50, 53	eqtrdi 2793	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))‘𝑘) = 𝐴)
55	37, 54	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑂)‘𝑘) = 𝐴)
56	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑄 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
57		nfcv 2905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑙(𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))
58		nfcsb1v 3923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵
59	58, 27, 28	nfov 7461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋))
60		csbeq1a 3913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → 𝐵 = ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)
61	60, 31	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))
62	57, 59, 61	cbvmpt 5253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))
63	62	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋))))
64	63	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))
65	56, 64	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑄 = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))
66	65	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (coe1‘𝑄) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋))))))
67	66	fveq1d 6908	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑄)‘𝑘) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))‘𝑘))
68		nfv 1914	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙 𝐵 ∈ 𝐾
69	58	nfel1 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝐾
70	60	eleq1d 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐵 ∈ 𝐾 ↔ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝐾))
71	68, 69, 70	cbvralw 3306	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 ∈ 𝐾 ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝐾)
72	15, 71	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝐾)
73	72	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝐾)
74		nfcv 2905	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙𝐵
75	74, 58, 60	cbvmpt 5253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐵) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)
76	75, 16	eqbrtrrid 5179	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵) finSupp 0 )
77	76	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵) finSupp 0 )
78	3, 4, 5, 6, 38, 7, 8, 9, 73, 77, 49	gsummoncoe1 22312	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))‘𝑘) = ⦋𝑘 / 𝑙⦌⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)
79		csbcow 3914	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑙⦌⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑘⦌𝐵
80		csbid 3912	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐵
81	79, 80	eqtri 2765	. . . . . 6 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑙⦌⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐵
82	78, 81	eqtrdi 2793	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))‘𝑘) = 𝐵)
83	67, 82	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑄)‘𝑘) = 𝐵)
84	55, 83	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘𝑄)‘𝑘) ↔ 𝐴 = 𝐵))
85	84	ralbidva 3176	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘𝑄)‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = 𝐵))
86	23, 85	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ⦋csb 3899   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   finSupp cfsupp 9401  ℕ₀cn0 12526  Basecbs 17247   ·_𝑠 cvsca 17301  0_gc0g 17484   Σ_g cgsu 17485  ._gcmg 19085  mulGrpcmgp 20137  Ringcrg 20230  var₁cv1 22177  Poly₁cpl1 22178  coe₁cco1 22179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-srg 20184  df-ring 20232  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-psr1 22181  df-vr1 22182  df-ply1 22183  df-coe1 22184

This theorem is referenced by:  chcoeffeqlem  22891