MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumply1eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumply1eq 20449
Description: Two univariate polynomials given as (finitely supported) sum of scaled monomials are equal iff the corresponding coefficients are equal. (Contributed by AV, 21-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumply1eq.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
gsumply1eq.x 𝑋 = (var1𝑅)
gsumply1eq.e = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
gsumply1eq.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
gsumply1eq.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
gsumply1eq.m = ( ·𝑠𝑃)
gsumply1eq.0 0 = (0g𝑅)
gsumply1eq.a (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴𝐾)
gsumply1eq.f1 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐴) finSupp 0 )
gsumply1eq.b (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐵𝐾)
gsumply1eq.f2 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐵) finSupp 0 )
gsumply1eq.o (𝜑𝑂 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))
gsumply1eq.q (𝜑𝑄 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 (𝑘 𝑋)))))
Assertion
Ref Expression
gsumply1eq (𝜑 → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑂   𝑃,𝑘   𝑄,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘   0 ,𝑘   ,𝑘   ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumply1eq
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumply1eq.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 gsumply1eq.o . . . 4 (𝜑𝑂 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))
3 gsumply1eq.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 eqid 2820 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5 gsumply1eq.x . . . . 5 𝑋 = (var1𝑅)
6 gsumply1eq.e . . . . 5 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
7 gsumply1eq.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
8 gsumply1eq.m . . . . 5 = ( ·𝑠𝑃)
9 gsumply1eq.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
10 gsumply1eq.a . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴𝐾)
11 gsumply1eq.f1 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐴) finSupp 0 )
123, 4, 5, 6, 1, 7, 8, 9, 10, 11gsumsmonply1 20447 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))) ∈ (Base‘𝑃))
132, 12eqeltrd 2911 . . 3 (𝜑𝑂 ∈ (Base‘𝑃))
14 gsumply1eq.q . . . 4 (𝜑𝑄 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 (𝑘 𝑋)))))
15 gsumply1eq.b . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐵𝐾)
16 gsumply1eq.f2 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐵) finSupp 0 )
173, 4, 5, 6, 1, 7, 8, 9, 15, 16gsumsmonply1 20447 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 (𝑘 𝑋)))) ∈ (Base‘𝑃))
1814, 17eqeltrd 2911 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ (Base‘𝑃))
19 eqid 2820 . . . . 5 (coe1𝑂) = (coe1𝑂)
20 eqid 2820 . . . . 5 (coe1𝑄) = (coe1𝑄)
213, 4, 19, 20ply1coe1eq 20442 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝑃)) → (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1𝑂)‘𝑘) = ((coe1𝑄)‘𝑘) ↔ 𝑂 = 𝑄))
2221bicomd 225 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1𝑂)‘𝑘) = ((coe1𝑄)‘𝑘)))
231, 13, 18, 22syl3anc 1367 . 2 (𝜑 → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1𝑂)‘𝑘) = ((coe1𝑄)‘𝑘)))
242adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑂 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))
25 nfcv 2973 . . . . . . . . . 10 𝑙(𝐴 (𝑘 𝑋))
26 nfcsb1v 3884 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑙 / 𝑘𝐴
27 nfcv 2973 . . . . . . . . . . 11 𝑘
28 nfcv 2973 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝑙 𝑋)
2926, 27, 28nfov 7163 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋))
30 csbeq1a 3874 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑙𝐴 = 𝑙 / 𝑘𝐴)
31 oveq1 7140 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 𝑋) = (𝑙 𝑋))
3230, 31oveq12d 7151 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑙 → (𝐴 (𝑘 𝑋)) = (𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋)))
3325, 29, 32cbvmpt 5143 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋))) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋)))
3433oveq2i 7144 . . . . . . . 8 (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋))))
3524, 34syl6eq 2871 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑂 = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋)))))
3635fveq2d 6650 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (coe1𝑂) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋))))))
3736fveq1d 6648 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋)))))‘𝑘))
381adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
39 nfv 1915 . . . . . . . . . 10 𝑙 𝐴𝐾
4026nfel1 2989 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑙 / 𝑘𝐴𝐾
4130eleq1d 2895 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑙 → (𝐴𝐾𝑙 / 𝑘𝐴𝐾))
4239, 40, 41cbvralw 3420 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴𝐾 ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ0 𝑙 / 𝑘𝐴𝐾)
4310, 42sylib 220 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 𝑙 / 𝑘𝐴𝐾)
4443adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 𝑙 / 𝑘𝐴𝐾)
45 nfcv 2973 . . . . . . . . . 10 𝑙𝐴
4645, 26, 30cbvmpt 5143 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0𝐴) = (𝑙 ∈ ℕ0𝑙 / 𝑘𝐴)
4746, 11eqbrtrrid 5078 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑙 ∈ ℕ0𝑙 / 𝑘𝐴) finSupp 0 )
4847adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑙 ∈ ℕ0𝑙 / 𝑘𝐴) finSupp 0 )
49 simpr 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
503, 4, 5, 6, 38, 7, 8, 9, 44, 48, 49gsummoncoe1 20448 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋)))))‘𝑘) = 𝑘 / 𝑙𝑙 / 𝑘𝐴)
51 csbcow 3875 . . . . . . 7 𝑘 / 𝑙𝑙 / 𝑘𝐴 = 𝑘 / 𝑘𝐴
52 csbid 3873 . . . . . . 7 𝑘 / 𝑘𝐴 = 𝐴
5351, 52eqtri 2843 . . . . . 6 𝑘 / 𝑙𝑙 / 𝑘𝐴 = 𝐴
5450, 53syl6eq 2871 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋)))))‘𝑘) = 𝐴)
5537, 54eqtrd 2855 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑂)‘𝑘) = 𝐴)
5614adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑄 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 (𝑘 𝑋)))))
57 nfcv 2973 . . . . . . . . . . 11 𝑙(𝐵 (𝑘 𝑋))
58 nfcsb1v 3884 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑙 / 𝑘𝐵
5958, 27, 28nfov 7163 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋))
60 csbeq1a 3874 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑙𝐵 = 𝑙 / 𝑘𝐵)
6160, 31oveq12d 7151 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑙 → (𝐵 (𝑘 𝑋)) = (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋)))
6257, 59, 61cbvmpt 5143 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 (𝑘 𝑋))) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋)))
6362a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 (𝑘 𝑋))) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋))))
6463oveq2d 7149 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 (𝑘 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋)))))
6556, 64eqtrd 2855 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑄 = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋)))))
6665fveq2d 6650 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (coe1𝑄) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋))))))
6766fveq1d 6648 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑄)‘𝑘) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋)))))‘𝑘))
68 nfv 1915 . . . . . . . . . 10 𝑙 𝐵𝐾
6958nfel1 2989 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑙 / 𝑘𝐵𝐾
7060eleq1d 2895 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑙 → (𝐵𝐾𝑙 / 𝑘𝐵𝐾))
7168, 69, 70cbvralw 3420 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐵𝐾 ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ0 𝑙 / 𝑘𝐵𝐾)
7215, 71sylib 220 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 𝑙 / 𝑘𝐵𝐾)
7372adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 𝑙 / 𝑘𝐵𝐾)
74 nfcv 2973 . . . . . . . . . 10 𝑙𝐵
7574, 58, 60cbvmpt 5143 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0𝐵) = (𝑙 ∈ ℕ0𝑙 / 𝑘𝐵)
7675, 16eqbrtrrid 5078 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑙 ∈ ℕ0𝑙 / 𝑘𝐵) finSupp 0 )
7776adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑙 ∈ ℕ0𝑙 / 𝑘𝐵) finSupp 0 )
783, 4, 5, 6, 38, 7, 8, 9, 73, 77, 49gsummoncoe1 20448 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋)))))‘𝑘) = 𝑘 / 𝑙𝑙 / 𝑘𝐵)
79 csbcow 3875 . . . . . . 7 𝑘 / 𝑙𝑙 / 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑘𝐵
80 csbid 3873 . . . . . . 7 𝑘 / 𝑘𝐵 = 𝐵
8179, 80eqtri 2843 . . . . . 6 𝑘 / 𝑙𝑙 / 𝑘𝐵 = 𝐵
8278, 81syl6eq 2871 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋)))))‘𝑘) = 𝐵)
8367, 82eqtrd 2855 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑄)‘𝑘) = 𝐵)
8455, 83eqeq12d 2836 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((coe1𝑂)‘𝑘) = ((coe1𝑄)‘𝑘) ↔ 𝐴 = 𝐵))
8584ralbidva 3183 . 2 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1𝑂)‘𝑘) = ((coe1𝑄)‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = 𝐵))
8623, 85bitrd 281 1 (𝜑 → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1537  wcel 2114  wral 3125  csb 3860   class class class wbr 5042  cmpt 5122  cfv 6331  (class class class)co 7133   finSupp cfsupp 8811  0cn0 11876  Basecbs 16462   ·𝑠 cvsca 16548  0gc0g 16692   Σg cgsu 16693  .gcmg 18203  mulGrpcmgp 19218  Ringcrg 19276  var1cv1 20320  Poly1cpl1 20321  coe1cco1 20322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-iin 4898  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-of 7387  df-ofr 7388  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-supp 7809  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-2o 8081  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-pm 8387  df-ixp 8440  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-fsupp 8812  df-oi 8952  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-seq 13354  df-hash 13676  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-tset 16563  df-ple 16564  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-mhm 17935  df-submnd 17936  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-mulg 18204  df-subg 18255  df-ghm 18335  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-abl 18888  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-srg 19235  df-ring 19278  df-subrg 19509  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-psr 20112  df-mvr 20113  df-mpl 20114  df-opsr 20116  df-psr1 20324  df-vr1 20325  df-ply1 20326  df-coe1 20327
This theorem is referenced by:  chcoeffeqlem  21469
  Copyright terms: Public domain W3C validator