MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumply1eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumply1eq 22300
Description: Two univariate polynomials given as (finitely supported) sum of scaled monomials are equal iff the corresponding coefficients are equal. (Contributed by AV, 21-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumply1eq.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
gsumply1eq.x 𝑋 = (var1𝑅)
gsumply1eq.e = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
gsumply1eq.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
gsumply1eq.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
gsumply1eq.m = ( ·𝑠𝑃)
gsumply1eq.0 0 = (0g𝑅)
gsumply1eq.a (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴𝐾)
gsumply1eq.f1 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐴) finSupp 0 )
gsumply1eq.b (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐵𝐾)
gsumply1eq.f2 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐵) finSupp 0 )
gsumply1eq.o (𝜑𝑂 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))
gsumply1eq.q (𝜑𝑄 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 (𝑘 𝑋)))))
Assertion
Ref Expression
gsumply1eq (𝜑 → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑂   𝑃,𝑘   𝑄,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘   0 ,𝑘   ,𝑘   ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumply1eq
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumply1eq.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 gsumply1eq.o . . . 4 (𝜑𝑂 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))
3 gsumply1eq.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 eqid 2726 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5 gsumply1eq.x . . . . 5 𝑋 = (var1𝑅)
6 gsumply1eq.e . . . . 5 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
7 gsumply1eq.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
8 gsumply1eq.m . . . . 5 = ( ·𝑠𝑃)
9 gsumply1eq.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
10 gsumply1eq.a . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴𝐾)
11 gsumply1eq.f1 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐴) finSupp 0 )
123, 4, 5, 6, 1, 7, 8, 9, 10, 11gsumsmonply1 22298 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))) ∈ (Base‘𝑃))
132, 12eqeltrd 2826 . . 3 (𝜑𝑂 ∈ (Base‘𝑃))
14 gsumply1eq.q . . . 4 (𝜑𝑄 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 (𝑘 𝑋)))))
15 gsumply1eq.b . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐵𝐾)
16 gsumply1eq.f2 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐵) finSupp 0 )
173, 4, 5, 6, 1, 7, 8, 9, 15, 16gsumsmonply1 22298 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 (𝑘 𝑋)))) ∈ (Base‘𝑃))
1814, 17eqeltrd 2826 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ (Base‘𝑃))
19 eqid 2726 . . . . 5 (coe1𝑂) = (coe1𝑂)
20 eqid 2726 . . . . 5 (coe1𝑄) = (coe1𝑄)
213, 4, 19, 20ply1coe1eq 22291 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝑃)) → (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1𝑂)‘𝑘) = ((coe1𝑄)‘𝑘) ↔ 𝑂 = 𝑄))
2221bicomd 222 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1𝑂)‘𝑘) = ((coe1𝑄)‘𝑘)))
231, 13, 18, 22syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1𝑂)‘𝑘) = ((coe1𝑄)‘𝑘)))
242adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑂 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))
25 nfcv 2892 . . . . . . . . . 10 𝑙(𝐴 (𝑘 𝑋))
26 nfcsb1v 3917 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑙 / 𝑘𝐴
27 nfcv 2892 . . . . . . . . . . 11 𝑘
28 nfcv 2892 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝑙 𝑋)
2926, 27, 28nfov 7454 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋))
30 csbeq1a 3906 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑙𝐴 = 𝑙 / 𝑘𝐴)
31 oveq1 7431 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 𝑋) = (𝑙 𝑋))
3230, 31oveq12d 7442 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑙 → (𝐴 (𝑘 𝑋)) = (𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋)))
3325, 29, 32cbvmpt 5264 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋))) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋)))
3433oveq2i 7435 . . . . . . . 8 (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋))))
3524, 34eqtrdi 2782 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑂 = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋)))))
3635fveq2d 6905 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (coe1𝑂) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋))))))
3736fveq1d 6903 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋)))))‘𝑘))
381adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
39 nfv 1910 . . . . . . . . . 10 𝑙 𝐴𝐾
4026nfel1 2909 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑙 / 𝑘𝐴𝐾
4130eleq1d 2811 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑙 → (𝐴𝐾𝑙 / 𝑘𝐴𝐾))
4239, 40, 41cbvralw 3294 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴𝐾 ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ0 𝑙 / 𝑘𝐴𝐾)
4310, 42sylib 217 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 𝑙 / 𝑘𝐴𝐾)
4443adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 𝑙 / 𝑘𝐴𝐾)
45 nfcv 2892 . . . . . . . . . 10 𝑙𝐴
4645, 26, 30cbvmpt 5264 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0𝐴) = (𝑙 ∈ ℕ0𝑙 / 𝑘𝐴)
4746, 11eqbrtrrid 5189 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑙 ∈ ℕ0𝑙 / 𝑘𝐴) finSupp 0 )
4847adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑙 ∈ ℕ0𝑙 / 𝑘𝐴) finSupp 0 )
49 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
503, 4, 5, 6, 38, 7, 8, 9, 44, 48, 49gsummoncoe1 22299 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋)))))‘𝑘) = 𝑘 / 𝑙𝑙 / 𝑘𝐴)
51 csbcow 3907 . . . . . . 7 𝑘 / 𝑙𝑙 / 𝑘𝐴 = 𝑘 / 𝑘𝐴
52 csbid 3905 . . . . . . 7 𝑘 / 𝑘𝐴 = 𝐴
5351, 52eqtri 2754 . . . . . 6 𝑘 / 𝑙𝑙 / 𝑘𝐴 = 𝐴
5450, 53eqtrdi 2782 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋)))))‘𝑘) = 𝐴)
5537, 54eqtrd 2766 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑂)‘𝑘) = 𝐴)
5614adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑄 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 (𝑘 𝑋)))))
57 nfcv 2892 . . . . . . . . . . 11 𝑙(𝐵 (𝑘 𝑋))
58 nfcsb1v 3917 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑙 / 𝑘𝐵
5958, 27, 28nfov 7454 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋))
60 csbeq1a 3906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑙𝐵 = 𝑙 / 𝑘𝐵)
6160, 31oveq12d 7442 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑙 → (𝐵 (𝑘 𝑋)) = (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋)))
6257, 59, 61cbvmpt 5264 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 (𝑘 𝑋))) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋)))
6362a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 (𝑘 𝑋))) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋))))
6463oveq2d 7440 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 (𝑘 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋)))))
6556, 64eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑄 = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋)))))
6665fveq2d 6905 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (coe1𝑄) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋))))))
6766fveq1d 6903 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑄)‘𝑘) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋)))))‘𝑘))
68 nfv 1910 . . . . . . . . . 10 𝑙 𝐵𝐾
6958nfel1 2909 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑙 / 𝑘𝐵𝐾
7060eleq1d 2811 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑙 → (𝐵𝐾𝑙 / 𝑘𝐵𝐾))
7168, 69, 70cbvralw 3294 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐵𝐾 ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ0 𝑙 / 𝑘𝐵𝐾)
7215, 71sylib 217 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 𝑙 / 𝑘𝐵𝐾)
7372adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 𝑙 / 𝑘𝐵𝐾)
74 nfcv 2892 . . . . . . . . . 10 𝑙𝐵
7574, 58, 60cbvmpt 5264 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0𝐵) = (𝑙 ∈ ℕ0𝑙 / 𝑘𝐵)
7675, 16eqbrtrrid 5189 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑙 ∈ ℕ0𝑙 / 𝑘𝐵) finSupp 0 )
7776adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑙 ∈ ℕ0𝑙 / 𝑘𝐵) finSupp 0 )
783, 4, 5, 6, 38, 7, 8, 9, 73, 77, 49gsummoncoe1 22299 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋)))))‘𝑘) = 𝑘 / 𝑙𝑙 / 𝑘𝐵)
79 csbcow 3907 . . . . . . 7 𝑘 / 𝑙𝑙 / 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑘𝐵
80 csbid 3905 . . . . . . 7 𝑘 / 𝑘𝐵 = 𝐵
8179, 80eqtri 2754 . . . . . 6 𝑘 / 𝑙𝑙 / 𝑘𝐵 = 𝐵
8278, 81eqtrdi 2782 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋)))))‘𝑘) = 𝐵)
8367, 82eqtrd 2766 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑄)‘𝑘) = 𝐵)
8455, 83eqeq12d 2742 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((coe1𝑂)‘𝑘) = ((coe1𝑄)‘𝑘) ↔ 𝐴 = 𝐵))
8584ralbidva 3166 . 2 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1𝑂)‘𝑘) = ((coe1𝑄)‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = 𝐵))
8623, 85bitrd 278 1 (𝜑 → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  csb 3892   class class class wbr 5153  cmpt 5236  cfv 6554  (class class class)co 7424   finSupp cfsupp 9405  0cn0 12524  Basecbs 17213   ·𝑠 cvsca 17270  0gc0g 17454   Σg cgsu 17455  .gcmg 19061  mulGrpcmgp 20117  Ringcrg 20216  var1cv1 22165  Poly1cpl1 22166  coe1cco1 22167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-ofr 7691  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-sup 9485  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-hash 14348  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-hom 17290  df-cco 17291  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-prds 17462  df-pws 17464  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-mhm 18773  df-submnd 18774  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-mulg 19062  df-subg 19117  df-ghm 19207  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-srg 20170  df-ring 20218  df-subrng 20528  df-subrg 20553  df-lmod 20838  df-lss 20909  df-psr 21906  df-mvr 21907  df-mpl 21908  df-opsr 21910  df-psr1 22169  df-vr1 22170  df-ply1 22171  df-coe1 22172
This theorem is referenced by:  chcoeffeqlem  22878
  Copyright terms: Public domain W3C validator