MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumply1eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumply1eq 21836
Description: Two univariate polynomials given as (finitely supported) sum of scaled monomials are equal iff the corresponding coefficients are equal. (Contributed by AV, 21-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumply1eq.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
gsumply1eq.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
gsumply1eq.e โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
gsumply1eq.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
gsumply1eq.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
gsumply1eq.m โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
gsumply1eq.0 0 = (0gโ€˜๐‘…)
gsumply1eq.a (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐ด โˆˆ ๐พ)
gsumply1eq.f1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ๐ด) finSupp 0 )
gsumply1eq.b (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐ต โˆˆ ๐พ)
gsumply1eq.f2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ๐ต) finSupp 0 )
gsumply1eq.o (๐œ‘ โ†’ ๐‘‚ = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ด โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))))
gsumply1eq.q (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ต โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))))
Assertion
Ref Expression
gsumply1eq (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚ = ๐‘„ โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐ด = ๐ต))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐พ   ๐‘˜,๐‘‚   ๐‘ƒ,๐‘˜   ๐‘„,๐‘˜   ๐‘…,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘‹   ๐œ‘,๐‘˜   0 ,๐‘˜   โˆ— ,๐‘˜   โ†‘ ,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)

Proof of Theorem gsumply1eq
Dummy variable ๐‘™ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumply1eq.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2 gsumply1eq.o . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‚ = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ด โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))))
3 gsumply1eq.p . . . . 5 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
4 eqid 2732 . . . . 5 (Baseโ€˜๐‘ƒ) = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
5 gsumply1eq.x . . . . 5 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
6 gsumply1eq.e . . . . 5 โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
7 gsumply1eq.k . . . . 5 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
8 gsumply1eq.m . . . . 5 โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
9 gsumply1eq.0 . . . . 5 0 = (0gโ€˜๐‘…)
10 gsumply1eq.a . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐ด โˆˆ ๐พ)
11 gsumply1eq.f1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ๐ด) finSupp 0 )
123, 4, 5, 6, 1, 7, 8, 9, 10, 11gsumsmonply1 21834 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ด โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
132, 12eqeltrd 2833 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‚ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
14 gsumply1eq.q . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ต โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))))
15 gsumply1eq.b . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐ต โˆˆ ๐พ)
16 gsumply1eq.f2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ๐ต) finSupp 0 )
173, 4, 5, 6, 1, 7, 8, 9, 15, 16gsumsmonply1 21834 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ต โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
1814, 17eqeltrd 2833 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
19 eqid 2732 . . . . 5 (coe1โ€˜๐‘‚) = (coe1โ€˜๐‘‚)
20 eqid 2732 . . . . 5 (coe1โ€˜๐‘„) = (coe1โ€˜๐‘„)
213, 4, 19, 20ply1coe1eq 21829 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ) โˆง ๐‘„ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜) = ((coe1โ€˜๐‘„)โ€˜๐‘˜) โ†” ๐‘‚ = ๐‘„))
2221bicomd 222 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ) โˆง ๐‘„ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘‚ = ๐‘„ โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜) = ((coe1โ€˜๐‘„)โ€˜๐‘˜)))
231, 13, 18, 22syl3anc 1371 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚ = ๐‘„ โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜) = ((coe1โ€˜๐‘„)โ€˜๐‘˜)))
242adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘‚ = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ด โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))))
25 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘™(๐ด โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))
26 nfcsb1v 3918 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ด
27 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘˜ โˆ—
28 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘˜(๐‘™ โ†‘ ๐‘‹)
2926, 27, 28nfov 7441 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜(โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆ— (๐‘™ โ†‘ ๐‘‹))
30 csbeq1a 3907 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘™ โ†’ ๐ด = โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
31 oveq1 7418 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘™ โ†’ (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹) = (๐‘™ โ†‘ ๐‘‹))
3230, 31oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘™ โ†’ (๐ด โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)) = (โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆ— (๐‘™ โ†‘ ๐‘‹)))
3325, 29, 32cbvmpt 5259 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ด โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))) = (๐‘™ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆ— (๐‘™ โ†‘ ๐‘‹)))
3433oveq2i 7422 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ด โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘™ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆ— (๐‘™ โ†‘ ๐‘‹))))
3524, 34eqtrdi 2788 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘‚ = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘™ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆ— (๐‘™ โ†‘ ๐‘‹)))))
3635fveq2d 6895 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (coe1โ€˜๐‘‚) = (coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘™ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆ— (๐‘™ โ†‘ ๐‘‹))))))
3736fveq1d 6893 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜) = ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘™ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆ— (๐‘™ โ†‘ ๐‘‹)))))โ€˜๐‘˜))
381adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
39 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘™ ๐ด โˆˆ ๐พ
4026nfel1 2919 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ ๐พ
4130eleq1d 2818 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘™ โ†’ (๐ด โˆˆ ๐พ โ†” โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ ๐พ))
4239, 40, 41cbvralw 3303 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐ด โˆˆ ๐พ โ†” โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„•0 โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ ๐พ)
4310, 42sylib 217 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„•0 โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ ๐พ)
4443adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„•0 โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ ๐พ)
45 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘™๐ด
4645, 26, 30cbvmpt 5259 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ๐ด) = (๐‘™ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
4746, 11eqbrtrrid 5184 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘™ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ด) finSupp 0 )
4847adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘™ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ด) finSupp 0 )
49 simpr 485 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
503, 4, 5, 6, 38, 7, 8, 9, 44, 48, 49gsummoncoe1 21835 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘™ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆ— (๐‘™ โ†‘ ๐‘‹)))))โ€˜๐‘˜) = โฆ‹๐‘˜ / ๐‘™โฆŒโฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
51 csbcow 3908 . . . . . . 7 โฆ‹๐‘˜ / ๐‘™โฆŒโฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ด = โฆ‹๐‘˜ / ๐‘˜โฆŒ๐ด
52 csbid 3906 . . . . . . 7 โฆ‹๐‘˜ / ๐‘˜โฆŒ๐ด = ๐ด
5351, 52eqtri 2760 . . . . . 6 โฆ‹๐‘˜ / ๐‘™โฆŒโฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ด = ๐ด
5450, 53eqtrdi 2788 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘™ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆ— (๐‘™ โ†‘ ๐‘‹)))))โ€˜๐‘˜) = ๐ด)
5537, 54eqtrd 2772 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜) = ๐ด)
5614adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘„ = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ต โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))))
57 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘™(๐ต โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))
58 nfcsb1v 3918 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ต
5958, 27, 28nfov 7441 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘˜(โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆ— (๐‘™ โ†‘ ๐‘‹))
60 csbeq1a 3907 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘™ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
6160, 31oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘™ โ†’ (๐ต โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)) = (โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆ— (๐‘™ โ†‘ ๐‘‹)))
6257, 59, 61cbvmpt 5259 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ต โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))) = (๐‘™ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆ— (๐‘™ โ†‘ ๐‘‹)))
6362a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ต โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))) = (๐‘™ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆ— (๐‘™ โ†‘ ๐‘‹))))
6463oveq2d 7427 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ต โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘™ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆ— (๐‘™ โ†‘ ๐‘‹)))))
6556, 64eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘„ = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘™ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆ— (๐‘™ โ†‘ ๐‘‹)))))
6665fveq2d 6895 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (coe1โ€˜๐‘„) = (coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘™ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆ— (๐‘™ โ†‘ ๐‘‹))))))
6766fveq1d 6893 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜๐‘„)โ€˜๐‘˜) = ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘™ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆ— (๐‘™ โ†‘ ๐‘‹)))))โ€˜๐‘˜))
68 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘™ ๐ต โˆˆ ๐พ
6958nfel1 2919 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ ๐พ
7060eleq1d 2818 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘™ โ†’ (๐ต โˆˆ ๐พ โ†” โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ ๐พ))
7168, 69, 70cbvralw 3303 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐ต โˆˆ ๐พ โ†” โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„•0 โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ ๐พ)
7215, 71sylib 217 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„•0 โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ ๐พ)
7372adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„•0 โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ ๐พ)
74 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘™๐ต
7574, 58, 60cbvmpt 5259 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ๐ต) = (๐‘™ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
7675, 16eqbrtrrid 5184 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘™ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ต) finSupp 0 )
7776adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘™ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ต) finSupp 0 )
783, 4, 5, 6, 38, 7, 8, 9, 73, 77, 49gsummoncoe1 21835 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘™ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆ— (๐‘™ โ†‘ ๐‘‹)))))โ€˜๐‘˜) = โฆ‹๐‘˜ / ๐‘™โฆŒโฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
79 csbcow 3908 . . . . . . 7 โฆ‹๐‘˜ / ๐‘™โฆŒโฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ต = โฆ‹๐‘˜ / ๐‘˜โฆŒ๐ต
80 csbid 3906 . . . . . . 7 โฆ‹๐‘˜ / ๐‘˜โฆŒ๐ต = ๐ต
8179, 80eqtri 2760 . . . . . 6 โฆ‹๐‘˜ / ๐‘™โฆŒโฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ต = ๐ต
8278, 81eqtrdi 2788 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘™ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆ— (๐‘™ โ†‘ ๐‘‹)))))โ€˜๐‘˜) = ๐ต)
8367, 82eqtrd 2772 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜๐‘„)โ€˜๐‘˜) = ๐ต)
8455, 83eqeq12d 2748 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜) = ((coe1โ€˜๐‘„)โ€˜๐‘˜) โ†” ๐ด = ๐ต))
8584ralbidva 3175 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜) = ((coe1โ€˜๐‘„)โ€˜๐‘˜) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐ด = ๐ต))
8623, 85bitrd 278 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚ = ๐‘„ โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐ด = ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  โฆ‹csb 3893   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   finSupp cfsupp 9363  โ„•0cn0 12474  Basecbs 17146   ยท๐‘  cvsca 17203  0gc0g 17387   ฮฃg cgsu 17388  .gcmg 18952  mulGrpcmgp 19989  Ringcrg 20058  var1cv1 21706  Poly1cpl1 21707  coe1cco1 21708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-hash 14293  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-hom 17223  df-cco 17224  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-prds 17395  df-pws 17397  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-ghm 19092  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-srg 20012  df-ring 20060  df-subrg 20321  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-psr 21468  df-mvr 21469  df-mpl 21470  df-opsr 21472  df-psr1 21710  df-vr1 21711  df-ply1 21712  df-coe1 21713
This theorem is referenced by:  chcoeffeqlem  22394
  Copyright terms: Public domain W3C validator