Theorem gsumply1eq 19948

Description: Two univariate polynomials given as (finitely supported) sum of scaled monomials are equal iff the corresponding coefficients are equal. (Contributed by AV, 21-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumply1eq.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
gsumply1eq.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
gsumply1eq.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
gsumply1eq.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsumply1eq.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
gsumply1eq.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
gsumply1eq.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsumply1eq.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 ∈ 𝐾)
gsumply1eq.f1	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐴) finSupp 0 )
gsumply1eq.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 ∈ 𝐾)
gsumply1eq.f2	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐵) finSupp 0 )
gsumply1eq.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
gsumply1eq.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))

Assertion

Ref	Expression
gsumply1eq	⊢ (𝜑 → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑂   𝑃,𝑘   𝑄,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘   0 ,𝑘   ∗ ,𝑘   ↑ ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumply1eq

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumply1eq.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		gsumply1eq.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
3		gsumply1eq.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5		gsumply1eq.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
6		gsumply1eq.e	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
7		gsumply1eq.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8		gsumply1eq.m	. . . . 5 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
9		gsumply1eq.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
10		gsumply1eq.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 ∈ 𝐾)
11		gsumply1eq.f1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐴) finSupp 0 )
12	3, 4, 5, 6, 1, 7, 8, 9, 10, 11	gsumsmonply1 19946	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ (Base‘𝑃))
13	2, 12	eqeltrd 2844	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (Base‘𝑃))
14		gsumply1eq.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
15		gsumply1eq.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 ∈ 𝐾)
16		gsumply1eq.f2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐵) finSupp 0 )
17	3, 4, 5, 6, 1, 7, 8, 9, 15, 16	gsumsmonply1 19946	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ (Base‘𝑃))
18	14, 17	eqeltrd 2844	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (Base‘𝑃))
19		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝑂) = (coe1‘𝑂)
20		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝑄) = (coe1‘𝑄)
21	3, 4, 19, 20	ply1coe1eq 19941	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝑃)) → (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘𝑄)‘𝑘) ↔ 𝑂 = 𝑄))
22	21	bicomd 214	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘𝑄)‘𝑘)))
23	1, 13, 18, 22	syl3anc 1490	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘𝑄)‘𝑘)))
24	2	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑂 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
25		nfcv 2907	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙(𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))
26		nfcsb1v 3707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴
27		nfcv 2907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 ∗
28		nfcv 2907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑙 ↑ 𝑋)
29	26, 27, 28	nfov 6872	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋))
30		csbeq1a 3700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → 𝐴 = ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴)
31		oveq1 6849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 ↑ 𝑋) = (𝑙 ↑ 𝑋))
32	30, 31	oveq12d 6860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))
33	25, 29, 32	cbvmpt 4908	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))
34	33	oveq2i 6853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋))))
35	24, 34	syl6eq 2815	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑂 = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))
36	35	fveq2d 6379	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (coe1‘𝑂) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋))))))
37	36	fveq1d 6377	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))‘𝑘))
38	1	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
39		nfv 2009	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙 𝐴 ∈ 𝐾
40	26	nfel1 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∈ 𝐾
41	30	eleq1d 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐴 ∈ 𝐾 ↔ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∈ 𝐾))
42	39, 40, 41	cbvral 3315	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 ∈ 𝐾 ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∈ 𝐾)
43	10, 42	sylib 209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∈ 𝐾)
44	43	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∈ 𝐾)
45		nfcv 2907	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙𝐴
46	45, 26, 30	cbvmpt 4908	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐴) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴)
47	46, 11	syl5eqbrr 4845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴) finSupp 0 )
48	47	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴) finSupp 0 )
49		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
50	3, 4, 5, 6, 38, 7, 8, 9, 44, 48, 49	gsummoncoe1 19947	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))‘𝑘) = ⦋𝑘 / 𝑙⦌⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴)
51		csbco 3701	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑙⦌⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 = ⦋𝑘 / 𝑘⦌𝐴
52		csbid 3699	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐴
53	51, 52	eqtri 2787	. . . . . 6 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑙⦌⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐴
54	50, 53	syl6eq 2815	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐴 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))‘𝑘) = 𝐴)
55	37, 54	eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑂)‘𝑘) = 𝐴)
56	14	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑄 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
57		nfcv 2907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑙(𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))
58		nfcsb1v 3707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵
59	58, 27, 28	nfov 6872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋))
60		csbeq1a 3700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → 𝐵 = ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)
61	60, 31	oveq12d 6860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))
62	57, 59, 61	cbvmpt 4908	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))
63	62	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋))))
64	63	oveq2d 6858	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))
65	56, 64	eqtrd 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑄 = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))
66	65	fveq2d 6379	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (coe1‘𝑄) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋))))))
67	66	fveq1d 6377	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑄)‘𝑘) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))‘𝑘))
68		nfv 2009	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙 𝐵 ∈ 𝐾
69	58	nfel1 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝐾
70	60	eleq1d 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐵 ∈ 𝐾 ↔ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝐾))
71	68, 69, 70	cbvral 3315	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 ∈ 𝐾 ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝐾)
72	15, 71	sylib 209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝐾)
73	72	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝐾)
74		nfcv 2907	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙𝐵
75	74, 58, 60	cbvmpt 4908	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐵) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)
76	75, 16	syl5eqbrr 4845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵) finSupp 0 )
77	76	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵) finSupp 0 )
78	3, 4, 5, 6, 38, 7, 8, 9, 73, 77, 49	gsummoncoe1 19947	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))‘𝑘) = ⦋𝑘 / 𝑙⦌⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)
79		csbco 3701	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑙⦌⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑘⦌𝐵
80		csbid 3699	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐵
81	79, 80	eqtri 2787	. . . . . 6 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑙⦌⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐵
82	78, 81	syl6eq 2815	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ∗ (𝑙 ↑ 𝑋)))))‘𝑘) = 𝐵)
83	67, 82	eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑄)‘𝑘) = 𝐵)
84	55, 83	eqeq12d 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘𝑄)‘𝑘) ↔ 𝐴 = 𝐵))
85	84	ralbidva 3132	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘𝑄)‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = 𝐵))
86	23, 85	bitrd 270	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   ∧ w3a 1107   = wceq 1652   ∈ wcel 2155  ∀wral 3055  ⦋csb 3691   class class class wbr 4809   ↦ cmpt 4888  ‘cfv 6068  (class class class)co 6842   finSupp cfsupp 8482  ℕ₀cn0 11538  Basecbs 16132   ·_𝑠 cvsca 16220  0_gc0g 16368   Σ_g cgsu 16369  ._gcmg 17809  mulGrpcmgp 18756  Ringcrg 18814  var₁cv1 19819  Poly₁cpl1 19820  coe₁cco1 19821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-ofr 7096  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-tset 16235  df-ple 16236  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-mhm 17603  df-submnd 17604  df-grp 17694  df-minusg 17695  df-sbg 17696  df-mulg 17810  df-subg 17857  df-ghm 17924  df-cntz 18015  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-srg 18773  df-ring 18816  df-subrg 19047  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-psr 19630  df-mvr 19631  df-mpl 19632  df-opsr 19634  df-psr1 19823  df-vr1 19824  df-ply1 19825  df-coe1 19826

This theorem is referenced by:  chcoeffeqlem  20969