Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dih0vbN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dih0vbN 38410
Description: A vector is zero iff its span is the isomorphism of lattice zero. (Contributed by NM, 16-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dih0vb.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih0vb.o 0 = (0.‘𝐾)
dih0vb.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih0vb.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih0vb.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dih0vb.z 𝑍 = (0g𝑈)
dih0vb.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dih0vb.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dih0vb.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
dih0vbN (𝜑 → (𝑋 = 𝑍 ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝐼0 )))

Proof of Theorem dih0vbN
StepHypRef Expression
1 dih0vb.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dih0vb.o . . . . 5 0 = (0.‘𝐾)
3 dih0vb.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dih0vb.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
5 dih0vb.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 dih0vb.z . . . . 5 𝑍 = (0g𝑈)
72, 3, 4, 5, 6dih0 38408 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐼0 ) = {𝑍})
81, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐼0 ) = {𝑍})
98eqeq2d 2830 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝐼0 ) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = {𝑍}))
103, 5, 1dvhlmod 38238 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
11 dih0vb.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
12 dih0vb.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
13 dih0vb.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
1412, 6, 13lspsneq0 19776 . . 3 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = {𝑍} ↔ 𝑋 = 𝑍))
1510, 11, 14syl2anc 586 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = {𝑍} ↔ 𝑋 = 𝑍))
169, 15bitr2d 282 1 (𝜑 → (𝑋 = 𝑍 ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝐼0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1530  wcel 2107  {csn 4559  cfv 6348  Basecbs 16475  0gc0g 16705  0.cp0 17639  LModclmod 19626  LSpanclspn 19735  HLchlt 36478  LHypclh 37112  DVecHcdvh 38206  DIsoHcdih 38356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-riotaBAD 36081
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-undef 7931  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-0g 16707  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-dvr 19425  df-drng 19496  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-lsp 19736  df-lvec 19867  df-oposet 36304  df-ol 36306  df-oml 36307  df-covers 36394  df-ats 36395  df-atl 36426  df-cvlat 36450  df-hlat 36479  df-llines 36626  df-lplanes 36627  df-lvols 36628  df-lines 36629  df-psubsp 36631  df-pmap 36632  df-padd 36924  df-lhyp 37116  df-laut 37117  df-ldil 37232  df-ltrn 37233  df-trl 37287  df-tendo 37883  df-edring 37885  df-disoa 38157  df-dvech 38207  df-dib 38267  df-dih 38357
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator