Theorem dih0vbN 41306

Description: A vector is zero iff its span is the isomorphism of lattice zero. (Contributed by NM, 16-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih0vb.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih0vb.o	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
dih0vb.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih0vb.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih0vb.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dih0vb.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑈)
dih0vb.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dih0vb.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dih0vb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dih0vbN	⊢ (𝜑 → (𝑋 = 𝑍 ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝐼‘ 0 )))

Proof of Theorem dih0vbN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dih0vb.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dih0vb.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
3		dih0vb.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dih0vb.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
5		dih0vb.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		dih0vb.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑈)
7	2, 3, 4, 5, 6	dih0 41304	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = {𝑍})
8	1, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘ 0 ) = {𝑍})
9	8	eqeq2d 2747	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝐼‘ 0 ) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = {𝑍}))
10	3, 5, 1	dvhlmod 41134	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
11		dih0vb.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		dih0vb.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
13		dih0vb.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
14	12, 6, 13	lspsneq0 20974	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = {𝑍} ↔ 𝑋 = 𝑍))
15	10, 11, 14	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = {𝑍} ↔ 𝑋 = 𝑍))
16	9, 15	bitr2d 280	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 𝑍 ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝐼‘ 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4606  ‘cfv 6536  Basecbs 17233  0_gc0g 17458  0.cp0 18438  LModclmod 20822  LSpanclspn 20933  HLchlt 39373  LHypclh 40008  DVecHcdvh 41102  DIsoHcdih 41252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-riotaBAD 38976

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8230  df-undef 8277  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-0g 17460  df-proset 18311  df-poset 18330  df-plt 18345  df-lub 18361  df-glb 18362  df-join 18363  df-meet 18364  df-p0 18440  df-p1 18441  df-lat 18447  df-clat 18514  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-oppr 20302  df-dvdsr 20322  df-unit 20323  df-invr 20353  df-dvr 20366  df-drng 20696  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-lsp 20934  df-lvec 21066  df-oposet 39199  df-ol 39201  df-oml 39202  df-covers 39289  df-ats 39290  df-atl 39321  df-cvlat 39345  df-hlat 39374  df-llines 39522  df-lplanes 39523  df-lvols 39524  df-lines 39525  df-psubsp 39527  df-pmap 39528  df-padd 39820  df-lhyp 40012  df-laut 40013  df-ldil 40128  df-ltrn 40129  df-trl 40183  df-tendo 40779  df-edring 40781  df-disoa 41053  df-dvech 41103  df-dib 41163  df-dih 41253

This theorem is referenced by: (None)