Theorem dih0vbN 40664

Description: A vector is zero iff its span is the isomorphism of lattice zero. (Contributed by NM, 16-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih0vb.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih0vb.o	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
dih0vb.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih0vb.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih0vb.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dih0vb.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑈)
dih0vb.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dih0vb.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dih0vb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dih0vbN	⊢ (𝜑 → (𝑋 = 𝑍 ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝐼‘ 0 )))

Proof of Theorem dih0vbN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dih0vb.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dih0vb.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
3		dih0vb.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dih0vb.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
5		dih0vb.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		dih0vb.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑈)
7	2, 3, 4, 5, 6	dih0 40662	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = {𝑍})
8	1, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘ 0 ) = {𝑍})
9	8	eqeq2d 2737	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝐼‘ 0 ) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = {𝑍}))
10	3, 5, 1	dvhlmod 40492	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
11		dih0vb.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		dih0vb.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
13		dih0vb.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
14	12, 6, 13	lspsneq0 20857	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = {𝑍} ↔ 𝑋 = 𝑍))
15	10, 11, 14	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = {𝑍} ↔ 𝑋 = 𝑍))
16	9, 15	bitr2d 280	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 𝑍 ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝐼‘ 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4623  ‘cfv 6536  Basecbs 17151  0_gc0g 17392  0.cp0 18386  LModclmod 20704  LSpanclspn 20816  HLchlt 38731  LHypclh 39366  DVecHcdvh 40460  DIsoHcdih 40610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 38334

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-undef 8256  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-0g 17394  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-dvr 20301  df-drng 20587  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-lvec 20949  df-oposet 38557  df-ol 38559  df-oml 38560  df-covers 38647  df-ats 38648  df-atl 38679  df-cvlat 38703  df-hlat 38732  df-llines 38880  df-lplanes 38881  df-lvols 38882  df-lines 38883  df-psubsp 38885  df-pmap 38886  df-padd 39178  df-lhyp 39370  df-laut 39371  df-ldil 39486  df-ltrn 39487  df-trl 39541  df-tendo 40137  df-edring 40139  df-disoa 40411  df-dvech 40461  df-dib 40521  df-dih 40611

This theorem is referenced by: (None)