Theorem dih0vbN 41787

Description: A vector is zero iff its span is the isomorphism of lattice zero. (Contributed by NM, 16-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih0vb.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih0vb.o	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
dih0vb.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih0vb.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih0vb.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dih0vb.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑈)
dih0vb.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dih0vb.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dih0vb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dih0vbN	⊢ (𝜑 → (𝑋 = 𝑍 ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝐼‘ 0 )))

Proof of Theorem dih0vbN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dih0vb.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dih0vb.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
3		dih0vb.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dih0vb.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
5		dih0vb.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		dih0vb.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑈)
7	2, 3, 4, 5, 6	dih0 41785	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = {𝑍})
8	1, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘ 0 ) = {𝑍})
9	8	eqeq2d 2752	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝐼‘ 0 ) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = {𝑍}))
10	3, 5, 1	dvhlmod 41615	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
11		dih0vb.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		dih0vb.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
13		dih0vb.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
14	12, 6, 13	lspsneq0 21005	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = {𝑍} ↔ 𝑋 = 𝑍))
15	10, 11, 14	syl2anc 591	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = {𝑍} ↔ 𝑋 = 𝑍))
16	9, 15	bitr2d 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 𝑍 ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝐼‘ 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {csn 4557  ‘cfv 6488  Basecbs 17174  0_gc0g 17397  0.cp0 18382  LModclmod 20853  LSpanclspn 20964  HLchlt 39855  LHypclh 40489  DVecHcdvh 41583  DIsoHcdih 41733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-riotaBAD 39458

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-undef 8215  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-0g 17399  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-p1 18385  df-lat 18393  df-clat 18460  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-dvr 20375  df-drng 20706  df-lmod 20855  df-lss 20925  df-lsp 20965  df-lvec 21096  df-oposet 39681  df-ol 39683  df-oml 39684  df-covers 39771  df-ats 39772  df-atl 39803  df-cvlat 39827  df-hlat 39856  df-llines 40003  df-lplanes 40004  df-lvols 40005  df-lines 40006  df-psubsp 40008  df-pmap 40009  df-padd 40301  df-lhyp 40493  df-laut 40494  df-ldil 40609  df-ltrn 40610  df-trl 40664  df-tendo 41260  df-edring 41262  df-disoa 41534  df-dvech 41584  df-dib 41644  df-dih 41734

This theorem is referenced by: (None)