Theorem dih0vbN 40759

Description: A vector is zero iff its span is the isomorphism of lattice zero. (Contributed by NM, 16-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih0vb.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih0vb.o	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
dih0vb.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih0vb.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih0vb.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dih0vb.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑈)
dih0vb.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dih0vb.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dih0vb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dih0vbN	⊢ (𝜑 → (𝑋 = 𝑍 ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝐼‘ 0 )))

Proof of Theorem dih0vbN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dih0vb.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dih0vb.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
3		dih0vb.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dih0vb.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
5		dih0vb.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		dih0vb.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑈)
7	2, 3, 4, 5, 6	dih0 40757	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = {𝑍})
8	1, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘ 0 ) = {𝑍})
9	8	eqeq2d 2738	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝐼‘ 0 ) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = {𝑍}))
10	3, 5, 1	dvhlmod 40587	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
11		dih0vb.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		dih0vb.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
13		dih0vb.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
14	12, 6, 13	lspsneq0 20901	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = {𝑍} ↔ 𝑋 = 𝑍))
15	10, 11, 14	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = {𝑍} ↔ 𝑋 = 𝑍))
16	9, 15	bitr2d 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 𝑍 ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝐼‘ 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4630  ‘cfv 6551  Basecbs 17185  0_gc0g 17426  0.cp0 18420  LModclmod 20748  LSpanclspn 20860  HLchlt 38826  LHypclh 39461  DVecHcdvh 40555  DIsoHcdih 40705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-riotaBAD 38429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-tpos 8236  df-undef 8283  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-fz 13523  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-0g 17428  df-proset 18292  df-poset 18310  df-plt 18327  df-lub 18343  df-glb 18344  df-join 18345  df-meet 18346  df-p0 18422  df-p1 18423  df-lat 18429  df-clat 18496  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-oppr 20278  df-dvdsr 20301  df-unit 20302  df-invr 20332  df-dvr 20345  df-drng 20631  df-lmod 20750  df-lss 20821  df-lsp 20861  df-lvec 20993  df-oposet 38652  df-ol 38654  df-oml 38655  df-covers 38742  df-ats 38743  df-atl 38774  df-cvlat 38798  df-hlat 38827  df-llines 38975  df-lplanes 38976  df-lvols 38977  df-lines 38978  df-psubsp 38980  df-pmap 38981  df-padd 39273  df-lhyp 39465  df-laut 39466  df-ldil 39581  df-ltrn 39582  df-trl 39636  df-tendo 40232  df-edring 40234  df-disoa 40506  df-dvech 40556  df-dib 40616  df-dih 40706

This theorem is referenced by: (None)