Theorem hdmapval3N 42653

Description: Value of map from vectors to functionals at arguments not colinear with the reference vector 𝐸. (Contributed by NM, 17-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapval3.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapval3.e	⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapval3.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapval3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmapval3.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmapval3.j	⊢ 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.i	⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapval3.te	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
hdmapval3.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmapval3N	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩))

Proof of Theorem hdmapval3N

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6888	. . 3 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → (𝑆‘𝑇) = (𝑆‘(0g‘𝑈)))
2		oteq3 4854	. . . 4 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → ⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩ = ⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), (0g‘𝑈)⟩)
3	2	fveq2d 6892	. . 3 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), (0g‘𝑈)⟩))
4	1, 3	eqeq12d 2782	. 2 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → ((𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩) ↔ (𝑆‘(0g‘𝑈)) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), (0g‘𝑈)⟩)))
5		hdmapval3.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		hdmapval3.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		hdmapval3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
8		hdmapval3.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
9		hdmapval3.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
11		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
12		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
13		hdmapval3.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
14	5, 10, 11, 6, 7, 12, 13, 9	dvheveccl 41927	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
15	14	eldifad 3920	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
16		hdmapval3.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
17	5, 6, 7, 8, 9, 15, 16	dvh3dim 42261	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
18	17	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
19		hdmapval3.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
20		hdmapval3.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
21		hdmapval3.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
22		hdmapval3.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
23		hdmapval3.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
24		simp1l 1216	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝜑)
25	24, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
26		hdmapval3.te	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
27	24, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
28	24, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝑇 ∈ 𝑉)
29		simp1r 1217	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝑇 ≠ (0g‘𝑈))
30		eldifsn 4758	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝑇 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)))
31	28, 29, 30	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
32		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝑥 ∈ 𝑉)
33		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
34	5, 13, 6, 7, 8, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 27, 31, 32, 33	hdmapval3lemN 42652	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩))
35	34	rexlimdv3a 3173	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → (∃𝑥 ∈ 𝑉 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}) → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩)))
36	18, 35	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩))
37		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
38	5, 6, 12, 19, 37, 23, 9	hdmapval0 42648	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(0g‘𝑈)) = (0g‘𝐶))
39	5, 6, 7, 12, 19, 20, 37, 21, 9, 14	hvmapcl2 42581	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝐸) ∈ (𝐷 ∖ {(0g‘𝐶)}))
40	39	eldifad 3920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝐸) ∈ 𝐷)
41	5, 6, 7, 12, 19, 20, 37, 22, 9, 40, 15	hdmap1val0 42614	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), (0g‘𝑈)⟩) = (0g‘𝐶))
42	38, 41	eqtr4d 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(0g‘𝑈)) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), (0g‘𝑈)⟩))
43	4, 36, 42	pm2.61ne 3046	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∃wrex 3092   ∖ cdif 3905  {csn 4594  {cpr 4596  ⟨cop 4600  ⟨cotp 4602   I cid 5560   ↾ cres 5668  ‘cfv 6543  Basecbs 17294  0_gc0g 17517  LSpanclspn 21129  HLchlt 40165  LHypclh 40799  LTrncltrn 40916  DVecHcdvh 41893  LCDualclcd 42401  HVMapchvm 42571  HDMap1chdma1 42606  HDMapchdma 42607

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-riotaBAD 39768

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-undef 8278  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-0g 17519  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-proset 18375  df-poset 18394  df-plt 18409  df-lub 18425  df-glb 18426  df-join 18427  df-meet 18428  df-p0 18504  df-p1 18505  df-lat 18513  df-clat 18580  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-subg 19220  df-cntz 19418  df-oppg 19447  df-lsm 19737  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-oppr 20452  df-dvdsr 20472  df-unit 20473  df-invr 20503  df-dvr 20516  df-nzr 20647  df-rlreg 20830  df-domn 20831  df-drng 20866  df-lmod 21020  df-lss 21090  df-lsp 21130  df-lvec 21261  df-lsatoms 39791  df-lshyp 39792  df-lcv 39834  df-lfl 39873  df-lkr 39901  df-ldual 39939  df-oposet 39991  df-ol 39993  df-oml 39994  df-covers 40081  df-ats 40082  df-atl 40113  df-cvlat 40137  df-hlat 40166  df-llines 40313  df-lplanes 40314  df-lvols 40315  df-lines 40316  df-psubsp 40318  df-pmap 40319  df-padd 40611  df-lhyp 40803  df-laut 40804  df-ldil 40919  df-ltrn 40920  df-trl 40974  df-tgrp 41558  df-tendo 41570  df-edring 41572  df-dveca 41818  df-disoa 41844  df-dvech 41894  df-dib 41954  df-dic 41988  df-dih 42044  df-doch 42163  df-djh 42210  df-lcdual 42402  df-mapd 42440  df-hvmap 42572  df-hdmap1 42608  df-hdmap 42609

This theorem is used by: (None)