Theorem hdmapval3N 40697

Description: Value of map from vectors to functionals at arguments not colinear with the reference vector 𝐸. (Contributed by NM, 17-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapval3.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapval3.e	⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapval3.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapval3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmapval3.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmapval3.j	⊢ 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.i	⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapval3.te	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
hdmapval3.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmapval3N	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩))

Proof of Theorem hdmapval3N

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6888	. . 3 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → (𝑆‘𝑇) = (𝑆‘(0g‘𝑈)))
2		oteq3 4883	. . . 4 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → ⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩ = ⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), (0g‘𝑈)⟩)
3	2	fveq2d 6892	. . 3 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), (0g‘𝑈)⟩))
4	1, 3	eqeq12d 2748	. 2 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → ((𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩) ↔ (𝑆‘(0g‘𝑈)) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), (0g‘𝑈)⟩)))
5		hdmapval3.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		hdmapval3.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		hdmapval3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
8		hdmapval3.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
9		hdmapval3.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
11		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
12		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
13		hdmapval3.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
14	5, 10, 11, 6, 7, 12, 13, 9	dvheveccl 39971	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
15	14	eldifad 3959	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
16		hdmapval3.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
17	5, 6, 7, 8, 9, 15, 16	dvh3dim 40305	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
18	17	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
19		hdmapval3.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
20		hdmapval3.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
21		hdmapval3.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
22		hdmapval3.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
23		hdmapval3.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
24		simp1l 1197	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝜑)
25	24, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
26		hdmapval3.te	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
27	24, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
28	24, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝑇 ∈ 𝑉)
29		simp1r 1198	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝑇 ≠ (0g‘𝑈))
30		eldifsn 4789	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝑇 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)))
31	28, 29, 30	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
32		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝑥 ∈ 𝑉)
33		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
34	5, 13, 6, 7, 8, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 27, 31, 32, 33	hdmapval3lemN 40696	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩))
35	34	rexlimdv3a 3159	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → (∃𝑥 ∈ 𝑉 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}) → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩)))
36	18, 35	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩))
37		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
38	5, 6, 12, 19, 37, 23, 9	hdmapval0 40692	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(0g‘𝑈)) = (0g‘𝐶))
39	5, 6, 7, 12, 19, 20, 37, 21, 9, 14	hvmapcl2 40625	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝐸) ∈ (𝐷 ∖ {(0g‘𝐶)}))
40	39	eldifad 3959	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝐸) ∈ 𝐷)
41	5, 6, 7, 12, 19, 20, 37, 22, 9, 40, 15	hdmap1val0 40658	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), (0g‘𝑈)⟩) = (0g‘𝐶))
42	38, 41	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(0g‘𝑈)) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), (0g‘𝑈)⟩))
43	4, 36, 42	pm2.61ne 3027	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   ∖ cdif 3944  {csn 4627  {cpr 4629  ⟨cop 4633  ⟨cotp 4635   I cid 5572   ↾ cres 5677  ‘cfv 6540  Basecbs 17140  0_gc0g 17381  LSpanclspn 20574  HLchlt 38208  LHypclh 38843  LTrncltrn 38960  DVecHcdvh 39937  LCDualclcd 40445  HVMapchvm 40615  HDMap1chdma1 40650  HDMapchdma 40651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 37811

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-oppg 19204  df-lsm 19498  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lvec 20706  df-lsatoms 37834  df-lshyp 37835  df-lcv 37877  df-lfl 37916  df-lkr 37944  df-ldual 37982  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-lplanes 38358  df-lvols 38359  df-lines 38360  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655  df-lhyp 38847  df-laut 38848  df-ldil 38963  df-ltrn 38964  df-trl 39018  df-tgrp 39602  df-tendo 39614  df-edring 39616  df-dveca 39862  df-disoa 39888  df-dvech 39938  df-dib 39998  df-dic 40032  df-dih 40088  df-doch 40207  df-djh 40254  df-lcdual 40446  df-mapd 40484  df-hvmap 40616  df-hdmap1 40652  df-hdmap 40653

This theorem is referenced by: (None)