Theorem hdmapval3N 42098

Description: Value of map from vectors to functionals at arguments not colinear with the reference vector 𝐸. (Contributed by NM, 17-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapval3.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapval3.e	⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapval3.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapval3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmapval3.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmapval3.j	⊢ 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.i	⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapval3.te	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
hdmapval3.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmapval3N	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩))

Proof of Theorem hdmapval3N

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6834	. . 3 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → (𝑆‘𝑇) = (𝑆‘(0g‘𝑈)))
2		oteq3 4840	. . . 4 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → ⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩ = ⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), (0g‘𝑈)⟩)
3	2	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), (0g‘𝑈)⟩))
4	1, 3	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → ((𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩) ↔ (𝑆‘(0g‘𝑈)) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), (0g‘𝑈)⟩)))
5		hdmapval3.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		hdmapval3.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		hdmapval3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
8		hdmapval3.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
9		hdmapval3.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
11		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
12		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
13		hdmapval3.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
14	5, 10, 11, 6, 7, 12, 13, 9	dvheveccl 41372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
15	14	eldifad 3913	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
16		hdmapval3.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
17	5, 6, 7, 8, 9, 15, 16	dvh3dim 41706	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
19		hdmapval3.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
20		hdmapval3.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
21		hdmapval3.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
22		hdmapval3.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
23		hdmapval3.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
24		simp1l 1198	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝜑)
25	24, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
26		hdmapval3.te	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
27	24, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
28	24, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝑇 ∈ 𝑉)
29		simp1r 1199	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝑇 ≠ (0g‘𝑈))
30		eldifsn 4742	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝑇 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)))
31	28, 29, 30	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
32		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝑥 ∈ 𝑉)
33		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
34	5, 13, 6, 7, 8, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 27, 31, 32, 33	hdmapval3lemN 42097	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩))
35	34	rexlimdv3a 3141	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → (∃𝑥 ∈ 𝑉 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}) → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩)))
36	18, 35	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩))
37		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
38	5, 6, 12, 19, 37, 23, 9	hdmapval0 42093	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(0g‘𝑈)) = (0g‘𝐶))
39	5, 6, 7, 12, 19, 20, 37, 21, 9, 14	hvmapcl2 42026	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝐸) ∈ (𝐷 ∖ {(0g‘𝐶)}))
40	39	eldifad 3913	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝐸) ∈ 𝐷)
41	5, 6, 7, 12, 19, 20, 37, 22, 9, 40, 15	hdmap1val0 42059	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), (0g‘𝑈)⟩) = (0g‘𝐶))
42	38, 41	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(0g‘𝑈)) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), (0g‘𝑈)⟩))
43	4, 36, 42	pm2.61ne 3017	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060   ∖ cdif 3898  {csn 4580  {cpr 4582  ⟨cop 4586  ⟨cotp 4588   I cid 5518   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  0_gc0g 17359  LSpanclspn 20922  HLchlt 39610  LHypclh 40244  LTrncltrn 40361  DVecHcdvh 41338  LCDualclcd 41846  HVMapchvm 42016  HDMap1chdma1 42051  HDMapchdma 42052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-riotaBAD 39213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-ot 4589  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-undef 8215  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-0g 17361  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-p0 18346  df-p1 18347  df-lat 18355  df-clat 18422  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-cntz 19246  df-oppg 19275  df-lsm 19565  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-dvr 20337  df-nzr 20446  df-rlreg 20627  df-domn 20628  df-drng 20664  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-lvec 21055  df-lsatoms 39236  df-lshyp 39237  df-lcv 39279  df-lfl 39318  df-lkr 39346  df-ldual 39384  df-oposet 39436  df-ol 39438  df-oml 39439  df-covers 39526  df-ats 39527  df-atl 39558  df-cvlat 39582  df-hlat 39611  df-llines 39758  df-lplanes 39759  df-lvols 39760  df-lines 39761  df-psubsp 39763  df-pmap 39764  df-padd 40056  df-lhyp 40248  df-laut 40249  df-ldil 40364  df-ltrn 40365  df-trl 40419  df-tgrp 41003  df-tendo 41015  df-edring 41017  df-dveca 41263  df-disoa 41289  df-dvech 41339  df-dib 41399  df-dic 41433  df-dih 41489  df-doch 41608  df-djh 41655  df-lcdual 41847  df-mapd 41885  df-hvmap 42017  df-hdmap1 42053  df-hdmap 42054

This theorem is referenced by: (None)