Theorem hdmapval3N 42469

Description: Value of map from vectors to functionals at arguments not colinear with the reference vector 𝐸. (Contributed by NM, 17-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapval3.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapval3.e	⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapval3.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapval3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmapval3.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmapval3.j	⊢ 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.i	⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapval3.te	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
hdmapval3.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmapval3N	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩))

Proof of Theorem hdmapval3N

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6871	. . 3 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → (𝑆‘𝑇) = (𝑆‘(0g‘𝑈)))
2		oteq3 4844	. . . 4 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → ⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩ = ⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), (0g‘𝑈)⟩)
3	2	fveq2d 6875	. . 3 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), (0g‘𝑈)⟩))
4	1, 3	eqeq12d 2781	. 2 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → ((𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩) ↔ (𝑆‘(0g‘𝑈)) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), (0g‘𝑈)⟩)))
5		hdmapval3.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		hdmapval3.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		hdmapval3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
8		hdmapval3.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
9		hdmapval3.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
11		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
12		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
13		hdmapval3.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
14	5, 10, 11, 6, 7, 12, 13, 9	dvheveccl 41743	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
15	14	eldifad 3919	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
16		hdmapval3.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
17	5, 6, 7, 8, 9, 15, 16	dvh3dim 42077	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
18	17	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
19		hdmapval3.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
20		hdmapval3.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
21		hdmapval3.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
22		hdmapval3.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
23		hdmapval3.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
24		simp1l 1214	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝜑)
25	24, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
26		hdmapval3.te	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
27	24, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
28	24, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝑇 ∈ 𝑉)
29		simp1r 1215	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝑇 ≠ (0g‘𝑈))
30		eldifsn 4749	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝑇 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)))
31	28, 29, 30	sylanbrc 594	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
32		simp2 1153	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝑥 ∈ 𝑉)
33		simp3 1154	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
34	5, 13, 6, 7, 8, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 27, 31, 32, 33	hdmapval3lemN 42468	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩))
35	34	rexlimdv3a 3170	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → (∃𝑥 ∈ 𝑉 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}) → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩)))
36	18, 35	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩))
37		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
38	5, 6, 12, 19, 37, 23, 9	hdmapval0 42464	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(0g‘𝑈)) = (0g‘𝐶))
39	5, 6, 7, 12, 19, 20, 37, 21, 9, 14	hvmapcl2 42397	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝐸) ∈ (𝐷 ∖ {(0g‘𝐶)}))
40	39	eldifad 3919	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝐸) ∈ 𝐷)
41	5, 6, 7, 12, 19, 20, 37, 22, 9, 40, 15	hdmap1val0 42430	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), (0g‘𝑈)⟩) = (0g‘𝐶))
42	38, 41	eqtr4d 2803	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(0g‘𝑈)) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), (0g‘𝑈)⟩))
43	4, 36, 42	pm2.61ne 3045	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3904  {csn 4585  {cpr 4587  ⟨cop 4591  ⟨cotp 4593   I cid 5545   ↾ cres 5653  ‘cfv 6525  Basecbs 17257  0_gc0g 17480  LSpanclspn 21058  HLchlt 39981  LHypclh 40615  LTrncltrn 40732  DVecHcdvh 41709  LCDualclcd 42217  HVMapchvm 42387  HDMap1chdma1 42422  HDMapchdma 42423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-riotaBAD 39584

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-undef 8257  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17482  df-mre 17626  df-mrc 17627  df-acs 17629  df-proset 18338  df-poset 18357  df-plt 18372  df-lub 18388  df-glb 18389  df-join 18390  df-meet 18391  df-p0 18467  df-p1 18468  df-lat 18476  df-clat 18543  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-submnd 18830  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-sbg 18993  df-subg 19177  df-cntz 19375  df-oppg 19404  df-lsm 19694  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-ring 20305  df-oppr 20407  df-dvdsr 20427  df-unit 20428  df-invr 20458  df-dvr 20471  df-nzr 20584  df-rlreg 20767  df-domn 20768  df-drng 20803  df-lmod 20949  df-lss 21019  df-lsp 21059  df-lvec 21190  df-lsatoms 39607  df-lshyp 39608  df-lcv 39650  df-lfl 39689  df-lkr 39717  df-ldual 39755  df-oposet 39807  df-ol 39809  df-oml 39810  df-covers 39897  df-ats 39898  df-atl 39929  df-cvlat 39953  df-hlat 39982  df-llines 40129  df-lplanes 40130  df-lvols 40131  df-lines 40132  df-psubsp 40134  df-pmap 40135  df-padd 40427  df-lhyp 40619  df-laut 40620  df-ldil 40735  df-ltrn 40736  df-trl 40790  df-tgrp 41374  df-tendo 41386  df-edring 41388  df-dveca 41634  df-disoa 41660  df-dvech 41710  df-dib 41770  df-dic 41804  df-dih 41860  df-doch 41979  df-djh 42026  df-lcdual 42218  df-mapd 42256  df-hvmap 42388  df-hdmap1 42424  df-hdmap 42425

This theorem is referenced by: (None)