Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapval3N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmapval3N 39016
 Description: Value of map from vectors to functionals at arguments not colinear with the reference vector 𝐸. (Contributed by NM, 17-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapval3.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapval3.e 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapval3.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapval3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmapval3.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmapval3.j 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.i 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmapval3.te (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
hdmapval3.t (𝜑𝑇𝑉)
Assertion
Ref Expression
hdmapval3N (𝜑 → (𝑆𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑇⟩))

Proof of Theorem hdmapval3N
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6643 . . 3 (𝑇 = (0g𝑈) → (𝑆𝑇) = (𝑆‘(0g𝑈)))
2 oteq3 4787 . . . 4 (𝑇 = (0g𝑈) → ⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑇⟩ = ⟨𝐸, (𝐽𝐸), (0g𝑈)⟩)
32fveq2d 6647 . . 3 (𝑇 = (0g𝑈) → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), (0g𝑈)⟩))
41, 3eqeq12d 2837 . 2 (𝑇 = (0g𝑈) → ((𝑆𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑇⟩) ↔ (𝑆‘(0g𝑈)) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), (0g𝑈)⟩)))
5 hdmapval3.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 hdmapval3.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 hdmapval3.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
8 hdmapval3.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
9 hdmapval3.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 eqid 2821 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
11 eqid 2821 . . . . . . 7 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
12 eqid 2821 . . . . . . 7 (0g𝑈) = (0g𝑈)
13 hdmapval3.e . . . . . . 7 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
145, 10, 11, 6, 7, 12, 13, 9dvheveccl 38290 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
1514eldifad 3922 . . . . 5 (𝜑𝐸𝑉)
16 hdmapval3.t . . . . 5 (𝜑𝑇𝑉)
175, 6, 7, 8, 9, 15, 16dvh3dim 38624 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥𝑉 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
1817adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑇 ≠ (0g𝑈)) → ∃𝑥𝑉 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
19 hdmapval3.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
20 hdmapval3.d . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝐶)
21 hdmapval3.j . . . . 5 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
22 hdmapval3.i . . . . 5 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
23 hdmapval3.s . . . . 5 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
24 simp1l 1194 . . . . . 6 (((𝜑𝑇 ≠ (0g𝑈)) ∧ 𝑥𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝜑)
2524, 9syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑇 ≠ (0g𝑈)) ∧ 𝑥𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
26 hdmapval3.te . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
2724, 26syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑇 ≠ (0g𝑈)) ∧ 𝑥𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
2824, 16syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑇 ≠ (0g𝑈)) ∧ 𝑥𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝑇𝑉)
29 simp1r 1195 . . . . . 6 (((𝜑𝑇 ≠ (0g𝑈)) ∧ 𝑥𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝑇 ≠ (0g𝑈))
30 eldifsn 4692 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}) ↔ (𝑇𝑉𝑇 ≠ (0g𝑈)))
3128, 29, 30sylanbrc 586 . . . . 5 (((𝜑𝑇 ≠ (0g𝑈)) ∧ 𝑥𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
32 simp2 1134 . . . . 5 (((𝜑𝑇 ≠ (0g𝑈)) ∧ 𝑥𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝑥𝑉)
33 simp3 1135 . . . . 5 (((𝜑𝑇 ≠ (0g𝑈)) ∧ 𝑥𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
345, 13, 6, 7, 8, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 27, 31, 32, 33hdmapval3lemN 39015 . . . 4 (((𝜑𝑇 ≠ (0g𝑈)) ∧ 𝑥𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝑆𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑇⟩))
3534rexlimdv3a 3272 . . 3 ((𝜑𝑇 ≠ (0g𝑈)) → (∃𝑥𝑉 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}) → (𝑆𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑇⟩)))
3618, 35mpd 15 . 2 ((𝜑𝑇 ≠ (0g𝑈)) → (𝑆𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑇⟩))
37 eqid 2821 . . . 4 (0g𝐶) = (0g𝐶)
385, 6, 12, 19, 37, 23, 9hdmapval0 39011 . . 3 (𝜑 → (𝑆‘(0g𝑈)) = (0g𝐶))
395, 6, 7, 12, 19, 20, 37, 21, 9, 14hvmapcl2 38944 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽𝐸) ∈ (𝐷 ∖ {(0g𝐶)}))
4039eldifad 3922 . . . 4 (𝜑 → (𝐽𝐸) ∈ 𝐷)
415, 6, 7, 12, 19, 20, 37, 22, 9, 40, 15hdmap1val0 38977 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), (0g𝑈)⟩) = (0g𝐶))
4238, 41eqtr4d 2859 . 2 (𝜑 → (𝑆‘(0g𝑈)) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), (0g𝑈)⟩))
434, 36, 42pm2.61ne 3092 1 (𝜑 → (𝑆𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑇⟩))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3007  ∃wrex 3127   ∖ cdif 3907  {csn 4540  {cpr 4542  ⟨cop 4546  ⟨cotp 4548   I cid 5432   ↾ cres 5530  ‘cfv 6328  Basecbs 16462  0gc0g 16692  LSpanclspn 19719  HLchlt 36528  LHypclh 37162  LTrncltrn 37279  DVecHcdvh 38256  LCDualclcd 38764  HVMapchvm 38934  HDMap1chdma1 38969  HDMapchdma 38970 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-riotaBAD 36131 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-ot 4549  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-tpos 7867  df-undef 7914  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-0g 16694  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-proset 17517  df-poset 17535  df-plt 17547  df-lub 17563  df-glb 17564  df-join 17565  df-meet 17566  df-p0 17628  df-p1 17629  df-lat 17635  df-clat 17697  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-subg 18255  df-cntz 18426  df-oppg 18453  df-lsm 18740  df-cmn 18887  df-abl 18888  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-oppr 19352  df-dvdsr 19370  df-unit 19371  df-invr 19401  df-dvr 19412  df-drng 19480  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-lsp 19720  df-lvec 19851  df-lsatoms 36154  df-lshyp 36155  df-lcv 36197  df-lfl 36236  df-lkr 36264  df-ldual 36302  df-oposet 36354  df-ol 36356  df-oml 36357  df-covers 36444  df-ats 36445  df-atl 36476  df-cvlat 36500  df-hlat 36529  df-llines 36676  df-lplanes 36677  df-lvols 36678  df-lines 36679  df-psubsp 36681  df-pmap 36682  df-padd 36974  df-lhyp 37166  df-laut 37167  df-ldil 37282  df-ltrn 37283  df-trl 37337  df-tgrp 37921  df-tendo 37933  df-edring 37935  df-dveca 38181  df-disoa 38207  df-dvech 38257  df-dib 38317  df-dic 38351  df-dih 38407  df-doch 38526  df-djh 38573  df-lcdual 38765  df-mapd 38803  df-hvmap 38935  df-hdmap1 38971  df-hdmap 38972 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator