Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcd0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcd0 39630
Description: The zero scalar of the closed kernel dual of a vector space. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcd0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcd0.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcd0.f 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
lcd0.z 0 = (0g𝐹)
lcd0.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcd0.s 𝑆 = (Scalar‘𝐶)
lcd0.o 𝑂 = (0g𝑆)
lcd0.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
lcd0 (𝜑𝑂 = 0 )

Proof of Theorem lcd0
StepHypRef Expression
1 lcd0.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcd0.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 lcd0.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
4 eqid 2738 . . . 4 (oppr𝐹) = (oppr𝐹)
5 lcd0.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6 lcd0.s . . . 4 𝑆 = (Scalar‘𝐶)
7 lcd0.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7lcdsca 39621 . . 3 (𝜑𝑆 = (oppr𝐹))
98fveq2d 6770 . 2 (𝜑 → (0g𝑆) = (0g‘(oppr𝐹)))
10 lcd0.o . 2 𝑂 = (0g𝑆)
11 lcd0.z . . 3 0 = (0g𝐹)
124, 11oppr0 19885 . 2 0 = (0g‘(oppr𝐹))
139, 10, 123eqtr4g 2803 1 (𝜑𝑂 = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  cfv 6426  Scalarcsca 16975  0gc0g 17160  opprcoppr 19871  HLchlt 37372  LHypclh 38006  DVecHcdvh 39100  LCDualclcd 39608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-riotaBAD 36975
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-of 7523  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-tpos 8029  df-undef 8076  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-map 8604  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-n0 12244  df-z 12330  df-uz 12593  df-fz 13250  df-struct 16858  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-sca 16988  df-vsca 16989  df-0g 17162  df-proset 18023  df-poset 18041  df-plt 18058  df-lub 18074  df-glb 18075  df-join 18076  df-meet 18077  df-p0 18153  df-p1 18154  df-lat 18160  df-clat 18227  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-grp 18590  df-minusg 18591  df-mgp 19731  df-ur 19748  df-ring 19795  df-oppr 19872  df-dvdsr 19893  df-unit 19894  df-invr 19924  df-dvr 19935  df-drng 20003  df-lmod 20135  df-lvec 20375  df-ldual 37146  df-oposet 37198  df-ol 37200  df-oml 37201  df-covers 37288  df-ats 37289  df-atl 37320  df-cvlat 37344  df-hlat 37373  df-llines 37520  df-lplanes 37521  df-lvols 37522  df-lines 37523  df-psubsp 37525  df-pmap 37526  df-padd 37818  df-lhyp 38010  df-laut 38011  df-ldil 38126  df-ltrn 38127  df-trl 38181  df-tendo 38777  df-edring 38779  df-dvech 39101  df-lcdual 39609
This theorem is referenced by:  lcd0vs  39637  mapdpglem18  39711  mapdpglem22  39715  mapdpglem26  39720  mapdpglem27  39721  hgmapval0  39914
  Copyright terms: Public domain W3C validator