Theorem lcd0 40184

Description: The zero scalar of the closed kernel dual of a vector space. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcd0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcd0.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcd0.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
lcd0.z	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
lcd0.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcd0.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐶)
lcd0.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑆)
lcd0.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcd0	⊢ (𝜑 → 𝑂 = 0 )

Proof of Theorem lcd0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcd0.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcd0.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcd0.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
4		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝐹) = (oppr‘𝐹)
5		lcd0.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		lcd0.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐶)
7		lcd0.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	lcdsca 40175	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (oppr‘𝐹))
9	8	fveq2d 6873	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (0g‘(oppr‘𝐹)))
10		lcd0.o	. 2 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑆)
11		lcd0.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
12	4, 11	oppr0 20098	. 2 ⊢ 0 = (0g‘(oppr‘𝐹))
13	9, 10, 12	3eqtr4g 2796	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6523  Scalarcsca 17172  0_gc0g 17357  opp_rcoppr 20084  HLchlt 37925  LHypclh 38560  DVecHcdvh 39654  LCDualclcd 40162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5269  ax-sep 5283  ax-nul 5290  ax-pow 5347  ax-pr 5411  ax-un 7699  ax-cnex 11138  ax-resscn 11139  ax-1cn 11140  ax-icn 11141  ax-addcl 11142  ax-addrcl 11143  ax-mulcl 11144  ax-mulrcl 11145  ax-mulcom 11146  ax-addass 11147  ax-mulass 11148  ax-distr 11149  ax-i2m1 11150  ax-1ne0 11151  ax-1rid 11152  ax-rnegex 11153  ax-rrecex 11154  ax-cnre 11155  ax-pre-lttri 11156  ax-pre-lttrn 11157  ax-pre-ltadd 11158  ax-pre-mulgt0 11159  ax-riotaBAD 37528

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3426  df-v 3468  df-sbc 3765  df-csb 3881  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4310  df-if 4514  df-pw 4589  df-sn 4614  df-pr 4616  df-tp 4618  df-op 4620  df-uni 4893  df-iun 4983  df-iin 4984  df-br 5133  df-opab 5195  df-mpt 5216  df-tr 5250  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6280  df-ord 6347  df-on 6348  df-lim 6349  df-suc 6350  df-iota 6475  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7340  df-ov 7387  df-oprab 7388  df-mpo 7389  df-of 7644  df-om 7830  df-1st 7948  df-2nd 7949  df-tpos 8184  df-undef 8231  df-frecs 8239  df-wrecs 8270  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8677  df-map 8796  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-pnf 11222  df-mnf 11223  df-xr 11224  df-ltxr 11225  df-le 11226  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12185  df-2 12247  df-3 12248  df-4 12249  df-5 12250  df-6 12251  df-n0 12445  df-z 12531  df-uz 12795  df-fz 13457  df-struct 17052  df-sets 17069  df-slot 17087  df-ndx 17099  df-base 17117  df-ress 17146  df-plusg 17182  df-mulr 17183  df-sca 17185  df-vsca 17186  df-0g 17359  df-proset 18220  df-poset 18238  df-plt 18255  df-lub 18271  df-glb 18272  df-join 18273  df-meet 18274  df-p0 18350  df-p1 18351  df-lat 18357  df-clat 18424  df-mgm 18533  df-sgrp 18582  df-mnd 18593  df-grp 18787  df-minusg 18788  df-mgp 19933  df-ur 19950  df-ring 20002  df-oppr 20085  df-dvdsr 20106  df-unit 20107  df-invr 20137  df-dvr 20148  df-drng 20249  df-lmod 20402  df-lvec 20643  df-ldual 37699  df-oposet 37751  df-ol 37753  df-oml 37754  df-covers 37841  df-ats 37842  df-atl 37873  df-cvlat 37897  df-hlat 37926  df-llines 38074  df-lplanes 38075  df-lvols 38076  df-lines 38077  df-psubsp 38079  df-pmap 38080  df-padd 38372  df-lhyp 38564  df-laut 38565  df-ldil 38680  df-ltrn 38681  df-trl 38735  df-tendo 39331  df-edring 39333  df-dvech 39655  df-lcdual 40163

This theorem is referenced by:  lcd0vs  40191  mapdpglem18  40265  mapdpglem22  40269  mapdpglem26  40274  mapdpglem27  40275  hgmapval0  40468