MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pf1const Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pf1const 22364
Description: Constants are polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pf1const.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
pf1const.q 𝑄 = ran (eval1𝑅)
Assertion
Ref Expression
pf1const ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝐵 × {𝑋}) ∈ 𝑄)

Proof of Theorem pf1const
StepHypRef Expression
1 eqid 2734 . . . 4 (eval1𝑅) = (eval1𝑅)
2 eqid 2734 . . . 4 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
3 pf1const.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 eqid 2734 . . . 4 (algSc‘(Poly1𝑅)) = (algSc‘(Poly1𝑅))
51, 2, 3, 4evl1sca 22352 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ((eval1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
6 eqid 2734 . . . . . . 7 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
71, 2, 6, 3evl1rhm 22350 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → (eval1𝑅) ∈ ((Poly1𝑅) RingHom (𝑅s 𝐵)))
87adantr 480 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (eval1𝑅) ∈ ((Poly1𝑅) RingHom (𝑅s 𝐵)))
9 eqid 2734 . . . . . 6 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
10 eqid 2734 . . . . . 6 (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘(𝑅s 𝐵))
119, 10rhmf 20506 . . . . 5 ((eval1𝑅) ∈ ((Poly1𝑅) RingHom (𝑅s 𝐵)) → (eval1𝑅):(Base‘(Poly1𝑅))⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
12 ffn 6746 . . . . 5 ((eval1𝑅):(Base‘(Poly1𝑅))⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)) → (eval1𝑅) Fn (Base‘(Poly1𝑅)))
138, 11, 123syl 18 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (eval1𝑅) Fn (Base‘(Poly1𝑅)))
14 crngring 20267 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
1514adantr 480 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
162, 4, 3, 9ply1sclf 22302 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘(Poly1𝑅)):𝐵⟶(Base‘(Poly1𝑅)))
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (algSc‘(Poly1𝑅)):𝐵⟶(Base‘(Poly1𝑅)))
18 ffvelcdm 7113 . . . . 5 (((algSc‘(Poly1𝑅)):𝐵⟶(Base‘(Poly1𝑅)) ∧ 𝑋𝐵) → ((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
1917, 18sylancom 587 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
20 fnfvelrn 7112 . . . 4 (((eval1𝑅) Fn (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ ((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → ((eval1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ ran (eval1𝑅))
2113, 19, 20syl2anc 583 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ((eval1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ ran (eval1𝑅))
225, 21eqeltrrd 2839 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝐵 × {𝑋}) ∈ ran (eval1𝑅))
23 pf1const.q . 2 𝑄 = ran (eval1𝑅)
2422, 23eleqtrrdi 2849 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝐵 × {𝑋}) ∈ 𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2103  {csn 4648   × cxp 5697  ran crn 5700   Fn wfn 6567  wf 6568  cfv 6572  (class class class)co 7445  Basecbs 17253  s cpws 17501  Ringcrg 20255  CRingccrg 20256   RingHom crh 20490  algSccascl 21890  Poly1cpl1 22192  eval1ce1 22332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-iin 5022  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-se 5655  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-isom 6581  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-of 7710  df-ofr 7711  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-supp 8198  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-er 8759  df-map 8882  df-pm 8883  df-ixp 8952  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-fsupp 9428  df-sup 9507  df-oi 9575  df-card 10004  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12550  df-z 12636  df-dec 12755  df-uz 12900  df-fz 13564  df-fzo 13708  df-seq 14049  df-hash 14376  df-struct 17189  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-ress 17283  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-hom 17330  df-cco 17331  df-0g 17496  df-gsum 17497  df-prds 17502  df-pws 17504  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-mhm 18813  df-submnd 18814  df-grp 18971  df-minusg 18972  df-sbg 18973  df-mulg 19103  df-subg 19158  df-ghm 19248  df-cntz 19352  df-cmn 19819  df-abl 19820  df-mgp 20157  df-rng 20175  df-ur 20204  df-srg 20209  df-ring 20257  df-cring 20258  df-rhm 20493  df-subrng 20567  df-subrg 20592  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-assa 21891  df-asp 21892  df-ascl 21893  df-psr 21946  df-mvr 21947  df-mpl 21948  df-opsr 21950  df-evls 22115  df-evl 22116  df-psr1 22195  df-ply1 22197  df-evl1 22334
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator