Theorem pf1const 22375

Description: Constants are polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pf1const.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pf1const.q	⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pf1const	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐵 × {𝑋}) ∈ 𝑄)

Proof of Theorem pf1const

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (eval1‘𝑅) = (eval1‘𝑅)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
3		pf1const.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (algSc‘(Poly1‘𝑅)) = (algSc‘(Poly1‘𝑅))
5	1, 2, 3, 4	evl1sca 22363	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((eval1‘𝑅)‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
6		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
7	1, 2, 6, 3	evl1rhm 22361	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
9		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
10		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
11	9, 10	rhmf 20511	. . . . 5 ⊢ ((eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → (eval1‘𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
12		ffn 6744	. . . . 5 ⊢ ((eval1‘𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) → (eval1‘𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)))
13	8, 11, 12	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (eval1‘𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)))
14		crngring 20272	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
16	2, 4, 3, 9	ply1sclf 22313	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘(Poly1‘𝑅)):𝐵⟶(Base‘(Poly1‘𝑅)))
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (algSc‘(Poly1‘𝑅)):𝐵⟶(Base‘(Poly1‘𝑅)))
18		ffvelcdm 7108	. . . . 5 ⊢ (((algSc‘(Poly1‘𝑅)):𝐵⟶(Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
19	17, 18	sylancom 588	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
20		fnfvelrn 7107	. . . 4 ⊢ (((eval1‘𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((eval1‘𝑅)‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ∈ ran (eval1‘𝑅))
21	13, 19, 20	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((eval1‘𝑅)‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ∈ ran (eval1‘𝑅))
22	5, 21	eqeltrrd 2842	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐵 × {𝑋}) ∈ ran (eval1‘𝑅))
23		pf1const.q	. 2 ⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)
24	22, 23	eleqtrrdi 2852	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐵 × {𝑋}) ∈ 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {csn 4634   × cxp 5691  ran crn 5694   Fn wfn 6564  ⟶wf 6565  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438  Basecbs 17254   ↑_s cpws 17502  Ringcrg 20260  CRingccrg 20261   RingHom crh 20495  algSccascl 21899  Poly₁cpl1 22203  eval₁ce1 22343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-tp 4639  df-op 4641  df-uni 4916  df-int 4955  df-iun 5001  df-iin 5002  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-se 5646  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-isom 6578  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-of 7704  df-ofr 7705  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8194  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8753  df-map 8876  df-pm 8877  df-ixp 8946  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-fin 8997  df-fsupp 9409  df-sup 9489  df-oi 9557  df-card 9986  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-4 12338  df-5 12339  df-6 12340  df-7 12341  df-8 12342  df-9 12343  df-n0 12534  df-z 12621  df-dec 12741  df-uz 12886  df-fz 13554  df-fzo 13701  df-seq 14049  df-hash 14376  df-struct 17190  df-sets 17207  df-slot 17225  df-ndx 17237  df-base 17255  df-ress 17284  df-plusg 17320  df-mulr 17321  df-sca 17323  df-vsca 17324  df-ip 17325  df-tset 17326  df-ple 17327  df-ds 17329  df-hom 17331  df-cco 17332  df-0g 17497  df-gsum 17498  df-prds 17503  df-pws 17505  df-mre 17640  df-mrc 17641  df-acs 17643  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-srg 20214  df-ring 20262  df-cring 20263  df-rhm 20498  df-subrng 20572  df-subrg 20596  df-lmod 20886  df-lss 20957  df-lsp 20997  df-assa 21900  df-asp 21901  df-ascl 21902  df-psr 21956  df-mvr 21957  df-mpl 21958  df-opsr 21960  df-evls 22125  df-evl 22126  df-psr1 22206  df-ply1 22208  df-evl1 22345

This theorem is referenced by: (None)