MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pf1id Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pf1id 22266
Description: The identity is a polynomial function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pf1const.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
pf1const.q 𝑄 = ran (eval1𝑅)
Assertion
Ref Expression
pf1id (𝑅 ∈ CRing → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑄)

Proof of Theorem pf1id
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . 4 (eval1𝑅) = (eval1𝑅)
2 eqid 2728 . . . 4 (var1𝑅) = (var1𝑅)
3 pf1const.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
41, 2, 3evl1var 22255 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → ((eval1𝑅)‘(var1𝑅)) = ( I ↾ 𝐵))
5 eqid 2728 . . . . . 6 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
6 eqid 2728 . . . . . 6 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
71, 5, 6, 3evl1rhm 22251 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → (eval1𝑅) ∈ ((Poly1𝑅) RingHom (𝑅s 𝐵)))
8 eqid 2728 . . . . . 6 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
9 eqid 2728 . . . . . 6 (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘(𝑅s 𝐵))
108, 9rhmf 20424 . . . . 5 ((eval1𝑅) ∈ ((Poly1𝑅) RingHom (𝑅s 𝐵)) → (eval1𝑅):(Base‘(Poly1𝑅))⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
11 ffn 6722 . . . . 5 ((eval1𝑅):(Base‘(Poly1𝑅))⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)) → (eval1𝑅) Fn (Base‘(Poly1𝑅)))
127, 10, 113syl 18 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → (eval1𝑅) Fn (Base‘(Poly1𝑅)))
13 crngring 20185 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
142, 5, 8vr1cl 22136 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (var1𝑅) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → (var1𝑅) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
16 fnfvelrn 7090 . . . 4 (((eval1𝑅) Fn (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ (var1𝑅) ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → ((eval1𝑅)‘(var1𝑅)) ∈ ran (eval1𝑅))
1712, 15, 16syl2anc 583 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → ((eval1𝑅)‘(var1𝑅)) ∈ ran (eval1𝑅))
184, 17eqeltrrd 2830 . 2 (𝑅 ∈ CRing → ( I ↾ 𝐵) ∈ ran (eval1𝑅))
19 pf1const.q . 2 𝑄 = ran (eval1𝑅)
2018, 19eleqtrrdi 2840 1 (𝑅 ∈ CRing → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099   I cid 5575  ran crn 5679  cres 5680   Fn wfn 6543  wf 6544  cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  s cpws 17428  Ringcrg 20173  CRingccrg 20174   RingHom crh 20408  var1cv1 22095  Poly1cpl1 22096  eval1ce1 22233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-hom 17257  df-cco 17258  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-prds 17429  df-pws 17431  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-ghm 19168  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-srg 20127  df-ring 20175  df-cring 20176  df-rhm 20411  df-subrng 20483  df-subrg 20508  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lsp 20856  df-assa 21787  df-asp 21788  df-ascl 21789  df-psr 21842  df-mvr 21843  df-mpl 21844  df-opsr 21846  df-evls 22018  df-evl 22019  df-psr1 22099  df-vr1 22100  df-ply1 22101  df-evl1 22235
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator