Theorem pf1id 22476

Description: The identity is a polynomial function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pf1const.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pf1const.q	⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pf1id	⊢ (𝑅 ∈ CRing → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑄)

Proof of Theorem pf1id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (eval1‘𝑅) = (eval1‘𝑅)
2		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
3		pf1const.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 2, 3	evl1var 22465	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((eval1‘𝑅)‘(var1‘𝑅)) = ( I ↾ 𝐵))
5		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
6		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
7	1, 5, 6, 3	evl1rhm 22461	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
8		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
9		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
10	8, 9	rhmf 20566	. . . . 5 ⊢ ((eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → (eval1‘𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
11		ffn 6706	. . . . 5 ⊢ ((eval1‘𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) → (eval1‘𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)))
12	7, 10, 11	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (eval1‘𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)))
13		crngring 20327	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
14	2, 5, 8	vr1cl 22346	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
15	13, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
16		fnfvelrn 7076	. . . 4 ⊢ (((eval1‘𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ (var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((eval1‘𝑅)‘(var1‘𝑅)) ∈ ran (eval1‘𝑅))
17	12, 15, 16	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((eval1‘𝑅)‘(var1‘𝑅)) ∈ ran (eval1‘𝑅))
18	4, 17	eqeltrrd 2870	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ( I ↾ 𝐵) ∈ ran (eval1‘𝑅))
19		pf1const.q	. 2 ⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)
20	18, 19	eleqtrrdi 2880	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   I cid 5556  ran crn 5663   ↾ cres 5664   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269   ↑_s cpws 17499  Ringcrg 20315  CRingccrg 20316   RingHom crh 20551  var₁cv1 22305  Poly₁cpl1 22306  eval₁ce1 22443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-ofr 7676  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-sup 9402  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-hash 14367  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-prds 17500  df-pws 17502  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-mulg 19134  df-subg 19189  df-ghm 19284  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-srg 20269  df-ring 20317  df-cring 20318  df-rhm 20554  df-subrng 20631  df-subrg 20655  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-lsp 21071  df-assa 21972  df-asp 21973  df-ascl 21974  df-psr 22028  df-mvr 22029  df-mpl 22030  df-opsr 22032  df-evls 22194  df-evl 22195  df-psr1 22309  df-vr1 22310  df-ply1 22311  df-evl1 22445

This theorem is referenced by: (None)