Theorem ressasclcl 33536

Description: Closure of the univariate polynomial evaluation for scalars. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressasclcl.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
ressasclcl.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
ressasclcl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
ressasclcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
ressasclcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
ressasclcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
ressasclcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressasclcl	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ressasclcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressasclcl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
2		ressasclcl.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
3		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4	3	subrgss 20541	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆))
5		ressasclcl.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
6	5, 3	ressbas2 17262	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ⊆ (Base‘𝑆) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
7	2, 4, 6	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
8		ressasclcl.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
9	5	subrgcrng 20544	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑈 ∈ CRing)
10	8, 2, 9	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CRing)
11		ressasclcl.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
12	11	ply1sca 22203	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ CRing → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
13	10, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
14	13	fveq2d 6890	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
15	7, 14	eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
16	1, 15	eleqtrd 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17		ressasclcl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
18		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
19		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
20		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
21		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
22	17, 18, 19, 20, 21	asclval 21855	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
23	16, 22	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
24		ressasclcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
25	10	crngringd 20212	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
26	11	ply1lmod 22202	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
27	25, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
28	11	ply1ring 22198	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
29	24, 21	ringidcl 20231	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
30	25, 28, 29	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
31	24, 18, 20, 19, 27, 16, 30	lmodvscld 20846	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ 𝐵)
32	23, 31	eqeltrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3931  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  Basecbs 17230   ↾_s cress 17253  Scalarcsca 17277   ·_𝑠 cvsca 17278  1_rcur 20147  Ringcrg 20199  CRingccrg 20200  SubRingcsubrg 20538  LModclmod 20827  algSccascl 21827  Poly₁cpl1 22127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-supp 8168  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8727  df-map 8850  df-pm 8851  df-ixp 8920  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-fsupp 9384  df-sup 9464  df-oi 9532  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14353  df-struct 17167  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17254  df-plusg 17287  df-mulr 17288  df-sca 17290  df-vsca 17291  df-ip 17292  df-tset 17293  df-ple 17294  df-ds 17296  df-hom 17298  df-cco 17299  df-0g 17458  df-gsum 17459  df-prds 17464  df-pws 17466  df-mre 17601  df-mrc 17602  df-acs 17604  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-ghm 19201  df-cntz 19305  df-cmn 19769  df-abl 19770  df-mgp 20107  df-rng 20119  df-ur 20148  df-ring 20201  df-cring 20202  df-subrng 20515  df-subrg 20539  df-lmod 20829  df-lss 20899  df-ascl 21830  df-psr 21884  df-mpl 21886  df-opsr 21888  df-psr1 22130  df-ply1 22132

This theorem is referenced by:  rtelextdg2lem  33711