Theorem ressasclcl 33767

Description: Closure of the univariate polynomial evaluation for scalars. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressasclcl.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
ressasclcl.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
ressasclcl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
ressasclcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
ressasclcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
ressasclcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
ressasclcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressasclcl	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ressasclcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressasclcl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
2		ressasclcl.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
3		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4	3	subrgss 20622	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆))
5		ressasclcl.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
6	5, 3	ressbas2 17274	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ⊆ (Base‘𝑆) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
7	2, 4, 6	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
8		ressasclcl.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
9	5	subrgcrng 20625	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑈 ∈ CRing)
10	8, 2, 9	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CRing)
11		ressasclcl.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
12	11	ply1sca 22314	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ CRing → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
13	10, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
14	13	fveq2d 6871	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
15	7, 14	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
16	1, 15	eleqtrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17		ressasclcl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
18		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
19		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
20		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
21		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
22	17, 18, 19, 20, 21	asclval 21931	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
23	16, 22	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
24		ressasclcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
25	10	crngringd 20296	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
26	11	ply1lmod 22313	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
27	25, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
28	11	ply1ring 22309	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
29	24, 21	ringidcl 20315	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
30	25, 28, 29	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
31	24, 18, 20, 19, 27, 16, 30	lmodvscld 20946	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ 𝐵)
32	23, 31	eqeltrd 2862	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245   ↾_s cress 17266  Scalarcsca 17289   ·_𝑠 cvsca 17290  1_rcur 20231  Ringcrg 20283  CRingccrg 20284  SubRingcsubrg 20619  LModclmod 20927  algSccascl 21904  Poly₁cpl1 22239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-ofr 7661  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-sup 9388  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-hash 14344  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-hom 17310  df-cco 17311  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-prds 17476  df-pws 17478  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-mhm 18817  df-submnd 18818  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-mulg 19110  df-subg 19165  df-ghm 19254  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-ring 20285  df-cring 20286  df-subrng 20596  df-subrg 20620  df-lmod 20929  df-lss 20999  df-ascl 21907  df-psr 21961  df-mpl 21963  df-opsr 21965  df-psr1 22242  df-ply1 22244

This theorem is referenced by:  rtelextdg2lem  34023