Theorem ressasclcl 33654

Description: Closure of the univariate polynomial evaluation for scalars. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressasclcl.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
ressasclcl.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
ressasclcl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
ressasclcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
ressasclcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
ressasclcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
ressasclcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressasclcl	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ressasclcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressasclcl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
2		ressasclcl.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
3		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4	3	subrgss 20507	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆))
5		ressasclcl.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
6	5, 3	ressbas2 17167	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ⊆ (Base‘𝑆) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
7	2, 4, 6	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
8		ressasclcl.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
9	5	subrgcrng 20510	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑈 ∈ CRing)
10	8, 2, 9	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CRing)
11		ressasclcl.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
12	11	ply1sca 22195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ CRing → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
13	10, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
14	13	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
15	7, 14	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
16	1, 15	eleqtrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17		ressasclcl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
18		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
19		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
20		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
21		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
22	17, 18, 19, 20, 21	asclval 21837	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
23	16, 22	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
24		ressasclcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
25	10	crngringd 20183	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
26	11	ply1lmod 22194	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
27	25, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
28	11	ply1ring 22190	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
29	24, 21	ringidcl 20202	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
30	25, 28, 29	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
31	24, 18, 20, 19, 27, 16, 30	lmodvscld 20832	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ 𝐵)
32	23, 31	eqeltrd 2836	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17138   ↾_s cress 17159  Scalarcsca 17182   ·_𝑠 cvsca 17183  1_rcur 20118  Ringcrg 20170  CRingccrg 20171  SubRingcsubrg 20504  LModclmod 20813  algSccascl 21809  Poly₁cpl1 22119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-sup 9347  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-seq 13927  df-hash 14256  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-prds 17369  df-pws 17371  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19144  df-cntz 19248  df-cmn 19713  df-abl 19714  df-mgp 20078  df-rng 20090  df-ur 20119  df-ring 20172  df-cring 20173  df-subrng 20481  df-subrg 20505  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-ascl 21812  df-psr 21867  df-mpl 21869  df-opsr 21871  df-psr1 22122  df-ply1 22124

This theorem is referenced by:  rtelextdg2lem  33885