Theorem ressasclcl 34156

Description: Closure of the univariate polynomial evaluation for scalars. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressasclcl.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
ressasclcl.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
ressasclcl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
ressasclcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
ressasclcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
ressasclcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
ressasclcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressasclcl	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ressasclcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressasclcl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
2		ressasclcl.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
3		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4	3	subrgss 20836	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆))
5		ressasclcl.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
6	5, 3	ressbas2 17428	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ⊆ (Base‘𝑆) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
7	2, 4, 6	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
8		ressasclcl.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
9	5	subrgcrng 20839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑈 ∈ CRing)
10	8, 2, 9	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CRing)
11		ressasclcl.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
12	11	ply1sca 22582	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ CRing → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
13	10, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
14	13	fveq2d 6897	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
15	7, 14	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
16	1, 15	eleqtrd 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17		ressasclcl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
18		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
19		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
20		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
21		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
22	17, 18, 19, 20, 21	asclval 22199	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
23	16, 22	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
24		ressasclcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
25	10	crngringd 20485	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
26	11	ply1lmod 22581	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
27	25, 26	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
28	11	ply1ring 22577	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
29	24, 21	ringidcl 20506	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
30	25, 28, 29	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
31	24, 18, 20, 19, 27, 16, 30	lmodvscld 21166	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ 𝐵)
32	23, 31	eqeltrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  Basecbs 17399   ↾_s cress 17420  Scalarcsca 17443   ·_𝑠 cvsca 17444  1_rcur 20419  Ringcrg 20471  CRingccrg 20472  SubRingcsubrg 20833  LModclmod 21147  algSccascl 22172  Poly₁cpl1 22507

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7700  df-ofr 7701  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8728  df-map 8860  df-pm 8861  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9365  df-sup 9444  df-oi 9514  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-seq 14155  df-hash 14485  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-ip 17458  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ds 17462  df-hom 17464  df-cco 17465  df-0g 17624  df-gsum 17625  df-prds 17630  df-pws 17632  df-mre 17768  df-mrc 17769  df-acs 17771  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-mhm 18990  df-submnd 18991  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-sbg 19161  df-mulg 19290  df-subg 19345  df-ghm 19440  df-cntz 19543  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-mgp 20373  df-rng 20387  df-ur 20420  df-ring 20473  df-cring 20474  df-subrng 20810  df-subrg 20834  df-lmod 21149  df-lss 21219  df-ascl 22175  df-psr 22229  df-mpl 22231  df-opsr 22233  df-psr1 22510  df-ply1 22512

This theorem is used by:  rtelextdg2lem  34411