Theorem ressasclcl 34206

Description: Closure of the univariate polynomial evaluation for scalars. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressasclcl.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
ressasclcl.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
ressasclcl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
ressasclcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
ressasclcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
ressasclcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
ressasclcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressasclcl	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ressasclcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressasclcl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
2		ressasclcl.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
3		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4	3	subrgss 20875	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆))
5		ressasclcl.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
6	5, 3	ressbas2 17460	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ⊆ (Base‘𝑆) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
7	2, 4, 6	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
8		ressasclcl.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
9	5	subrgcrng 20878	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑈 ∈ CRing)
10	8, 2, 9	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CRing)
11		ressasclcl.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
12	11	ply1sca 22625	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ CRing → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
13	10, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
14	13	fveq2d 6920	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
15	7, 14	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
16	1, 15	eleqtrd 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17		ressasclcl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
18		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
19		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
20		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
21		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
22	17, 18, 19, 20, 21	asclval 22242	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
23	16, 22	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
24		ressasclcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
25	10	crngringd 20524	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
26	11	ply1lmod 22624	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
27	25, 26	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
28	11	ply1ring 22620	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
29	24, 21	ringidcl 20545	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
30	25, 28, 29	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
31	24, 18, 20, 19, 27, 16, 30	lmodvscld 21205	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ 𝐵)
32	23, 31	eqeltrd 2864	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431   ↾_s cress 17452  Scalarcsca 17475   ·_𝑠 cvsca 17476  1_rcur 20458  Ringcrg 20510  CRingccrg 20511  SubRingcsubrg 20872  LModclmod 21186  algSccascl 22215  Poly₁cpl1 22550

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-ofr 7726  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-hash 14516  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-hom 17497  df-cco 17498  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-prds 17668  df-pws 17670  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-ghm 19478  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-cring 20513  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-ascl 22218  df-psr 22272  df-mpl 22274  df-opsr 22276  df-psr1 22553  df-ply1 22555

This theorem is used by:  rngunsnply1chr2lem1  34250  rngunsnply1chr2lem2  34251  rngunsnply1chr2lem3  34252  rtelextdg2lem  34469