Theorem selvply1rhmlem5 33711

Description: Lemma for selvply1rhm 33712. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvply1rhmlem5.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
selvply1rhmlem5.m	⊢ 𝑀 = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩})))

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhmlem5	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = (𝑀‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹,𝑛   𝐹,𝑞,𝑛   𝑓,𝐼,𝑛   𝐼,𝑞   𝑅,𝑓,𝑛   𝑅,𝑞   𝑈,𝑓   𝑈,𝑞   𝑓,𝑋,𝑛   𝑋,𝑠,𝑛,𝑞   𝑓,𝑛,𝜑   𝜑,𝑞

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝐵(𝑛,𝑠,𝑞)   𝑃(𝑓,𝑛,𝑠,𝑞)   𝑄(𝑓,𝑛,𝑠,𝑞)   𝑅(𝑠)   𝑈(𝑛,𝑠)   𝐹(𝑠)   𝐻(𝑓,𝑛,𝑠,𝑞)   𝐼(𝑠)   𝑀(𝑓,𝑛,𝑠,𝑞)   𝑉(𝑓,𝑛,𝑠,𝑞)

Proof of Theorem selvply1rhmlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvply1rhm.5	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
2		fveq2 6830	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹))
3	2	fveq1d 6832	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
4	3	mpteq2dv 5169	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
5		selvply1rhmlem5.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
6		ovexd 7394	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 1o) ∈ V)
7	6	mptexd 7171	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ V)
8	1, 4, 5, 7	fvmptd3 6962	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
9		selvply1rhmlem5.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩})))
10		fveq1 6829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑛 → (𝑠‘∅) = (𝑛‘∅))
11	10	opeq2d 4814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑛 → ⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩)
12	11	sneqd 4570	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑛 → {⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})
13	12	fveq2d 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑛 → (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩}) = (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
14	13	cbvmptv 5179	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
15	14	mpteq2i 5171	. . . 4 ⊢ (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩}))) = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
16	9, 15	eqtri 2759	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
17		fveq1 6829	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) → (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
18	17	mpteq2dv 5169	. . 3 ⊢ (𝑞 = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
19		selvply1rhm.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
20		selvply1rhm.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
21		selvply1rhm.3	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
22		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ({𝑋} mPoly 𝑈) = ({𝑋} mPoly 𝑈)
23		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈))
24		selvply1rhm.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
25		selvply1rhm.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
26	25	snssd 4721	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
27	19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 5	selvcl 22119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)))
28	16, 18, 27, 7	fvmptd3 6962	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
29	8, 28	eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = (𝑀‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2115  Vcvv 3428   ∖ cdif 3883  ∅c0 4264  {csn 4558  ⟨cop 4564   ↦ cmpt 5156  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  1_oc1o 8391   ↑_m cmap 8766  ℕ₀cn0 12431  Basecbs 17173  CRingccrg 20209   mPoly cmpl 21884   selectVars cslv 22095  Poly₁cpl1 22165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1970  ax-7 2011  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2148  ax-11 2164  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7681  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 850  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2070  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3061  df-rmo 3341  df-reu 3342  df-rab 3389  df-v 3430  df-sbc 3727  df-csb 3835  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3906  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-of 7623  df-ofr 7624  df-om 7810  df-1st 7934  df-2nd 7935  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-sup 9348  df-oi 9418  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-hash 14287  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-hom 17238  df-cco 17239  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-prds 17404  df-pws 17406  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-ghm 19182  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-srg 20162  df-ring 20210  df-cring 20211  df-rhm 20446  df-subrng 20521  df-subrg 20545  df-lmod 20855  df-lss 20925  df-lsp 20965  df-assa 21831  df-asp 21832  df-ascl 21833  df-psr 21887  df-mvr 21888  df-mpl 21889  df-evls 22053  df-selv 22096

This theorem is referenced by:  selvply1rhm  33712