Theorem selvply1rhmlem5 33823

Description: Lemma for selvply1rhm 33824. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvply1rhmlem5.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
selvply1rhmlem5.m	⊢ 𝑀 = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩})))

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhmlem5	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = (𝑀‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹,𝑛   𝐹,𝑞,𝑛   𝑓,𝐼,𝑛   𝐼,𝑞   𝑅,𝑓,𝑛   𝑅,𝑞   𝑈,𝑓   𝑈,𝑞   𝑓,𝑋,𝑛   𝑋,𝑠,𝑛,𝑞   𝑓,𝑛,𝜑   𝜑,𝑞

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝐵(𝑛,𝑠,𝑞)   𝑃(𝑓,𝑛,𝑠,𝑞)   𝑄(𝑓,𝑛,𝑠,𝑞)   𝑅(𝑠)   𝑈(𝑛,𝑠)   𝐹(𝑠)   𝐻(𝑓,𝑛,𝑠,𝑞)   𝐼(𝑠)   𝑀(𝑓,𝑛,𝑠,𝑞)   𝑉(𝑓,𝑛,𝑠,𝑞)

Proof of Theorem selvply1rhmlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvply1rhm.5	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
2		fveq2 6867	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹))
3	2	fveq1d 6869	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
4	3	mpteq2dv 5195	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
5		selvply1rhmlem5.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
6		ovexd 7431	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 1o) ∈ V)
7	6	mptexd 7208	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ V)
8	1, 4, 5, 7	fvmptd3 6999	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
9		selvply1rhmlem5.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩})))
10		fveq1 6866	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑛 → (𝑠‘∅) = (𝑛‘∅))
11	10	opeq2d 4839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑛 → ⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩)
12	11	sneqd 4595	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑛 → {⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})
13	12	fveq2d 6871	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑛 → (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩}) = (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
14	13	cbvmptv 5205	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
15	14	mpteq2i 5197	. . . 4 ⊢ (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩}))) = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
16	9, 15	eqtri 2786	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
17		fveq1 6866	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) → (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
18	17	mpteq2dv 5195	. . 3 ⊢ (𝑞 = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
19		selvply1rhm.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
20		selvply1rhm.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
21		selvply1rhm.3	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
22		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ({𝑋} mPoly 𝑈) = ({𝑋} mPoly 𝑈)
23		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈))
24		selvply1rhm.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
25		selvply1rhm.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
26	25	snssd 4746	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
27	19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 5	selvcl 22200	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)))
28	16, 18, 27, 7	fvmptd3 6999	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
29	8, 28	eqtr4d 2801	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = (𝑀‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902  ∅c0 4286  {csn 4583  ⟨cop 4589   ↦ cmpt 5182  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  1_oc1o 8430   ↑_m cmap 8808  ℕ₀cn0 12491  Basecbs 17255  CRingccrg 20294   mPoly cmpl 21965   selectVars cslv 22176  Poly₁cpl1 22246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-ofr 7661  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9306  df-sup 9386  df-oi 9456  df-card 9909  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-7 12295  df-8 12296  df-9 12297  df-n0 12492  df-z 12579  df-dec 12699  df-uz 12850  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14025  df-hash 14354  df-struct 17193  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-ress 17277  df-plusg 17309  df-mulr 17310  df-sca 17312  df-vsca 17313  df-ip 17314  df-tset 17315  df-ple 17316  df-ds 17318  df-hom 17320  df-cco 17321  df-0g 17480  df-gsum 17481  df-prds 17486  df-pws 17488  df-mre 17624  df-mrc 17625  df-acs 17627  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-mhm 18827  df-submnd 18828  df-grp 18988  df-minusg 18989  df-sbg 18990  df-mulg 19120  df-subg 19175  df-ghm 19264  df-cntz 19367  df-cmn 19832  df-abl 19833  df-mgp 20197  df-rng 20209  df-ur 20242  df-srg 20247  df-ring 20295  df-cring 20296  df-rhm 20531  df-subrng 20606  df-subrg 20630  df-lmod 20936  df-lss 21006  df-lsp 21046  df-assa 21912  df-asp 21913  df-ascl 21914  df-psr 21968  df-mvr 21969  df-mpl 21970  df-evls 22134  df-selv 22177

This theorem is referenced by:  selvply1rhm  33824