Theorem selvply1rhmlem5 33708

Description: Lemma for selvply1rhm 33709. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvply1rhmlem5.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
selvply1rhmlem5.m	⊢ 𝑀 = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩})))

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhmlem5	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = (𝑀‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹,𝑛   𝐹,𝑞,𝑛   𝑓,𝐼,𝑛   𝐼,𝑞   𝑅,𝑓,𝑛   𝑅,𝑞   𝑈,𝑓   𝑈,𝑞   𝑓,𝑋,𝑛   𝑋,𝑠,𝑛,𝑞   𝑓,𝑛,𝜑   𝜑,𝑞

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝐵(𝑛,𝑠,𝑞)   𝑃(𝑓,𝑛,𝑠,𝑞)   𝑄(𝑓,𝑛,𝑠,𝑞)   𝑅(𝑠)   𝑈(𝑛,𝑠)   𝐹(𝑠)   𝐻(𝑓,𝑛,𝑠,𝑞)   𝐼(𝑠)   𝑀(𝑓,𝑛,𝑠,𝑞)   𝑉(𝑓,𝑛,𝑠,𝑞)

Proof of Theorem selvply1rhmlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvply1rhm.5	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
2		fveq2 6827	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹))
3	2	fveq1d 6829	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
4	3	mpteq2dv 5166	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
5		selvply1rhmlem5.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
6		ovexd 7391	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 1o) ∈ V)
7	6	mptexd 7168	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ V)
8	1, 4, 5, 7	fvmptd3 6959	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
9		selvply1rhmlem5.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩})))
10		fveq1 6826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑛 → (𝑠‘∅) = (𝑛‘∅))
11	10	opeq2d 4811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑛 → ⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩)
12	11	sneqd 4567	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑛 → {⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})
13	12	fveq2d 6831	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑛 → (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩}) = (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
14	13	cbvmptv 5176	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
15	14	mpteq2i 5168	. . . 4 ⊢ (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩}))) = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
16	9, 15	eqtri 2762	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
17		fveq1 6826	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) → (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
18	17	mpteq2dv 5166	. . 3 ⊢ (𝑞 = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
19		selvply1rhm.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
20		selvply1rhm.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
21		selvply1rhm.3	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
22		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ({𝑋} mPoly 𝑈) = ({𝑋} mPoly 𝑈)
23		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈))
24		selvply1rhm.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
25		selvply1rhm.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
26	25	snssd 4718	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
27	19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 5	selvcl 22116	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)))
28	16, 18, 27, 7	fvmptd3 6959	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
29	8, 28	eqtr4d 2777	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = (𝑀‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880  ∅c0 4261  {csn 4555  ⟨cop 4561   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  1_oc1o 8388   ↑_m cmap 8763  ℕ₀cn0 12428  Basecbs 17170  CRingccrg 20206   mPoly cmpl 21881   selectVars cslv 22092  Poly₁cpl1 22162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-srg 20159  df-ring 20207  df-cring 20208  df-rhm 20443  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-assa 21828  df-asp 21829  df-ascl 21830  df-psr 21884  df-mvr 21885  df-mpl 21886  df-evls 22050  df-selv 22093

This theorem is referenced by:  selvply1rhm  33709