Theorem selvply1rhmlem5 33880

Description: Lemma for selvply1rhm 33881. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvply1rhmlem5.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
selvply1rhmlem5.m	⊢ 𝑀 = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩})))

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhmlem5	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = (𝑀‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹,𝑛   𝐹,𝑞,𝑛   𝑓,𝐼,𝑛   𝐼,𝑞   𝑅,𝑓,𝑛   𝑅,𝑞   𝑈,𝑓   𝑈,𝑞   𝑓,𝑋,𝑛   𝑋,𝑠,𝑛,𝑞   𝑓,𝑛,𝜑   𝜑,𝑞

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝐵(𝑛,𝑠,𝑞)   𝑃(𝑓,𝑛,𝑠,𝑞)   𝑄(𝑓,𝑛,𝑠,𝑞)   𝑅(𝑠)   𝑈(𝑛,𝑠)   𝐹(𝑠)   𝐻(𝑓,𝑛,𝑠,𝑞)   𝐼(𝑠)   𝑀(𝑓,𝑛,𝑠,𝑞)   𝑉(𝑓,𝑛,𝑠,𝑞)

Proof of Theorem selvply1rhmlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvply1rhm.5	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
2		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹))
3	2	fveq1d 6883	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
4	3	mpteq2dv 5204	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
5		selvply1rhmlem5.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
6		ovexd 7445	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 1o) ∈ V)
7	6	mptexd 7222	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ V)
8	1, 4, 5, 7	fvmptd3 7013	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
9		selvply1rhmlem5.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩})))
10		fveq1 6880	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑛 → (𝑠‘∅) = (𝑛‘∅))
11	10	opeq2d 4844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑛 → ⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩)
12	11	sneqd 4600	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑛 → {⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})
13	12	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑛 → (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩}) = (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
14	13	cbvmptv 5214	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
15	14	mpteq2i 5206	. . . 4 ⊢ (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩}))) = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
16	9, 15	eqtri 2784	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
17		fveq1 6880	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) → (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
18	17	mpteq2dv 5204	. . 3 ⊢ (𝑞 = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
19		selvply1rhm.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
20		selvply1rhm.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
21		selvply1rhm.3	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
22		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ({𝑋} mPoly 𝑈) = ({𝑋} mPoly 𝑈)
23		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈))
24		selvply1rhm.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
25		selvply1rhm.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
26	25	snssd 4751	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
27	19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 5	selvcl 22270	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)))
28	16, 18, 27, 7	fvmptd3 7013	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
29	8, 28	eqtr4d 2799	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = (𝑀‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ∖ cdif 3901  ∅c0 4285  {csn 4588  ⟨cop 4594   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1_oc1o 8445   ↑_m cmap 8823  ℕ₀cn0 12503  Basecbs 17268  CRingccrg 20315   mPoly cmpl 22035   selectVars cslv 22246  Poly₁cpl1 22316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-hash 14367  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-hom 17333  df-cco 17334  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-prds 17499  df-pws 17501  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-ghm 19283  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-srg 20268  df-ring 20316  df-cring 20317  df-rhm 20553  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-lmod 20962  df-lss 21032  df-lsp 21072  df-assa 21982  df-asp 21983  df-ascl 21984  df-psr 22038  df-mvr 22039  df-mpl 22040  df-evls 22204  df-selv 22247

This theorem is referenced by:  selvply1rhm  33881