Theorem selvply1rhmlem5 34138

Description: Lemma for selvply1rhm 34139. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvply1rhmlem5.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
selvply1rhmlem5.m	⊢ 𝑀 = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩})))

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhmlem5	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = (𝑀‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹,𝑛   𝐹,𝑞,𝑛   𝑓,𝐼,𝑛   𝐼,𝑞   𝑅,𝑓,𝑛   𝑅,𝑞   𝑈,𝑓   𝑈,𝑞   𝑓,𝑋,𝑛   𝑋,𝑠,𝑛,𝑞   𝑓,𝑛,𝜑   𝜑,𝑞

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝐵(𝑛, 𝑠, 𝑞)   𝑃(𝑓, 𝑛, 𝑠, 𝑞)   𝑄(𝑓, 𝑛, 𝑠, 𝑞)   𝑅(𝑠)   𝑈(𝑛, 𝑠)   𝐹(𝑠)   𝐻(𝑓, 𝑛, 𝑠, 𝑞)   𝐼(𝑠)   𝑀(𝑓, 𝑛, 𝑠, 𝑞)   𝑉(𝑓, 𝑛, 𝑠, 𝑞)

Proof of Theorem selvply1rhmlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvply1rhm.5	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
2		fveq2 6877	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹))
3	2	fveq1d 6879	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
4	3	mpteq2dv 5199	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
5		selvply1rhmlem5.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
6		ovexd 7447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 1o) ∈ V)
7	6	mptexd 7222	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ V)
8	1, 4, 5, 7	fvmptd3 7009	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
9		selvply1rhmlem5.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩})))
10		fveq1 6876	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑛 → (𝑠‘∅) = (𝑛‘∅))
11	10	opeq2d 4840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑛 → ⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩)
12	11	sneqd 4596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑛 → {⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})
13	12	fveq2d 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑛 → (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩}) = (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
14	13	cbvmptv 5209	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
15	14	mpteq2i 5201	. . . 4 ⊢ (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩}))) = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
16	9, 15	eqtri 2784	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
17		fveq1 6876	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) → (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
18	17	mpteq2dv 5199	. . 3 ⊢ (𝑞 = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
19		selvply1rhm.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
20		selvply1rhm.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
21		selvply1rhm.3	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
22		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ({𝑋} mPoly 𝑈) = ({𝑋} mPoly 𝑈)
23		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈))
24		selvply1rhm.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
25		selvply1rhm.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
26	25	snssd 4747	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
27	19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 5	selvcl 22429	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)))
28	16, 18, 27, 7	fvmptd3 7009	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
29	8, 28	eqtr4d 2799	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = (𝑀‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896  ∅c0 4279  {csn 4584  ⟨cop 4590   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  1_oc1o 8453   ↑_m cmap 8831  ℕ₀cn0 12587  Basecbs 17367  CRingccrg 20440   mPoly cmpl 22194   selectVars cslv 22405  Poly₁cpl1 22475

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-sup 9418  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-hash 14455  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-hom 17432  df-cco 17433  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-prds 17598  df-pws 17600  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-mhm 18958  df-submnd 18959  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-mulg 19258  df-subg 19313  df-ghm 19408  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-srg 20393  df-ring 20441  df-cring 20442  df-rhm 20682  df-subrng 20778  df-subrg 20802  df-lmod 21117  df-lss 21187  df-lsp 21227  df-assa 22141  df-asp 22142  df-ascl 22143  df-psr 22197  df-mvr 22198  df-mpl 22199  df-evls 22363  df-selv 22406

This theorem is used by:  selvply1rhm  34139