Theorem shs00i 32052

Description: Two subspaces are zero iff their join is zero. (Contributed by NM, 7-Aug-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shne0.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shs00.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shs00i	⊢ ((𝐴 = 0ℋ ∧ 𝐵 = 0ℋ) ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ)

Proof of Theorem shs00i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq12 7429	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 0ℋ ∧ 𝐵 = 0ℋ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (0ℋ +ℋ 0ℋ))
2		h0elsh 31858	. . . 4 ⊢ 0ℋ ∈ Sℋ
3	2	shs0i 32051	. . 3 ⊢ (0ℋ +ℋ 0ℋ) = 0ℋ
4	1, 3	eqtrdi 2811	. 2 ⊢ ((𝐴 = 0ℋ ∧ 𝐵 = 0ℋ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ)
5		shne0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
6		shs00.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
7	5, 6	shsub1i 31974	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
8		sseq2 3934	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ → (𝐴 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ 𝐴 ⊆ 0ℋ))
9	7, 8	mpbii 236	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ → 𝐴 ⊆ 0ℋ)
10		shle0 32044	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐴 ⊆ 0ℋ ↔ 𝐴 = 0ℋ))
11	5, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 0ℋ ↔ 𝐴 = 0ℋ)
12	9, 11	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ → 𝐴 = 0ℋ)
13	6, 5	shsub2i 31975	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
14		sseq2 3934	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ → (𝐵 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ 0ℋ))
15	13, 14	mpbii 236	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ → 𝐵 ⊆ 0ℋ)
16		shle0 32044	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → (𝐵 ⊆ 0ℋ ↔ 𝐵 = 0ℋ))
17	6, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 0ℋ ↔ 𝐵 = 0ℋ)
18	15, 17	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ → 𝐵 = 0ℋ)
19	12, 18	jca 521	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ → (𝐴 = 0ℋ ∧ 𝐵 = 0ℋ))
20	4, 19	impbii 212	1 ⊢ ((𝐴 = 0ℋ ∧ 𝐵 = 0ℋ) ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  (class class class)co 7420   S_ℋ csh 31530   +_ℋ cph 31533  0_ℋc0h 31537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279  ax-mulf 11280  ax-hilex 31601  ax-hfvadd 31602  ax-hvcom 31603  ax-hvass 31604  ax-hv0cl 31605  ax-hvaddid 31606  ax-hfvmul 31607  ax-hvmulid 31608  ax-hvmulass 31609  ax-hvdistr1 31610  ax-hvdistr2 31611  ax-hvmul0 31612  ax-hfi 31681  ax-his1 31684  ax-his2 31685  ax-his3 31686  ax-his4 31687

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-icc 13483  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-topgen 17614  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-top 23212  df-topon 23229  df-bases 23264  df-lm 23547  df-haus 23633  df-grpo 31095  df-gid 31096  df-ginv 31097  df-gdiv 31098  df-ablo 31147  df-vc 31161  df-nv 31194  df-va 31197  df-ba 31198  df-sm 31199  df-0v 31200  df-vs 31201  df-nmcv 31202  df-ims 31203  df-hnorm 31570  df-hvsub 31573  df-hlim 31574  df-sh 31809  df-ch 31823  df-ch0 31855  df-shs 31910  df-span 31911

This theorem is used by: (None)