Theorem shs00i 30734

Description: Two subspaces are zero iff their join is zero. (Contributed by NM, 7-Aug-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shne0.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shs00.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shs00i	⊢ ((𝐴 = 0ℋ ∧ 𝐵 = 0ℋ) ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ)

Proof of Theorem shs00i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq12 7418	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 0ℋ ∧ 𝐵 = 0ℋ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (0ℋ +ℋ 0ℋ))
2		h0elsh 30540	. . . 4 ⊢ 0ℋ ∈ Sℋ
3	2	shs0i 30733	. . 3 ⊢ (0ℋ +ℋ 0ℋ) = 0ℋ
4	1, 3	eqtrdi 2789	. 2 ⊢ ((𝐴 = 0ℋ ∧ 𝐵 = 0ℋ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ)
5		shne0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
6		shs00.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
7	5, 6	shsub1i 30656	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
8		sseq2 4009	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ → (𝐴 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ 𝐴 ⊆ 0ℋ))
9	7, 8	mpbii 232	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ → 𝐴 ⊆ 0ℋ)
10		shle0 30726	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐴 ⊆ 0ℋ ↔ 𝐴 = 0ℋ))
11	5, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 0ℋ ↔ 𝐴 = 0ℋ)
12	9, 11	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ → 𝐴 = 0ℋ)
13	6, 5	shsub2i 30657	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
14		sseq2 4009	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ → (𝐵 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ 0ℋ))
15	13, 14	mpbii 232	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ → 𝐵 ⊆ 0ℋ)
16		shle0 30726	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → (𝐵 ⊆ 0ℋ ↔ 𝐵 = 0ℋ))
17	6, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 0ℋ ↔ 𝐵 = 0ℋ)
18	15, 17	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ → 𝐵 = 0ℋ)
19	12, 18	jca 513	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ → (𝐴 = 0ℋ ∧ 𝐵 = 0ℋ))
20	4, 19	impbii 208	1 ⊢ ((𝐴 = 0ℋ ∧ 𝐵 = 0ℋ) ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3949  (class class class)co 7409   S_ℋ csh 30212   +_ℋ cph 30215  0_ℋc0h 30219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190  ax-hilex 30283  ax-hfvadd 30284  ax-hvcom 30285  ax-hvass 30286  ax-hv0cl 30287  ax-hvaddid 30288  ax-hfvmul 30289  ax-hvmulid 30290  ax-hvmulass 30291  ax-hvdistr1 30292  ax-hvdistr2 30293  ax-hvmul0 30294  ax-hfi 30363  ax-his1 30366  ax-his2 30367  ax-his3 30368  ax-his4 30369

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-icc 13331  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-lm 22733  df-haus 22819  df-grpo 29777  df-gid 29778  df-ginv 29779  df-gdiv 29780  df-ablo 29829  df-vc 29843  df-nv 29876  df-va 29879  df-ba 29880  df-sm 29881  df-0v 29882  df-vs 29883  df-nmcv 29884  df-ims 29885  df-hnorm 30252  df-hvsub 30255  df-hlim 30256  df-sh 30491  df-ch 30505  df-ch0 30537  df-shs 30592  df-span 30593

This theorem is referenced by: (None)