Theorem shs00i 31655

Description: Two subspaces are zero iff their join is zero. (Contributed by NM, 7-Aug-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shne0.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shs00.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shs00i	⊢ ((𝐴 = 0ℋ ∧ 𝐵 = 0ℋ) ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ)

Proof of Theorem shs00i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq12 7407	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 0ℋ ∧ 𝐵 = 0ℋ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (0ℋ +ℋ 0ℋ))
2		h0elsh 31461	. . . 4 ⊢ 0ℋ ∈ Sℋ
3	2	shs0i 31654	. . 3 ⊢ (0ℋ +ℋ 0ℋ) = 0ℋ
4	1, 3	eqtrdi 2815	. 2 ⊢ ((𝐴 = 0ℋ ∧ 𝐵 = 0ℋ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ)
5		shne0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
6		shs00.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
7	5, 6	shsub1i 31577	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
8		sseq2 3964	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ → (𝐴 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ 𝐴 ⊆ 0ℋ))
9	7, 8	mpbii 235	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ → 𝐴 ⊆ 0ℋ)
10		shle0 31647	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐴 ⊆ 0ℋ ↔ 𝐴 = 0ℋ))
11	5, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 0ℋ ↔ 𝐴 = 0ℋ)
12	9, 11	sylib 220	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ → 𝐴 = 0ℋ)
13	6, 5	shsub2i 31578	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
14		sseq2 3964	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ → (𝐵 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ 0ℋ))
15	13, 14	mpbii 235	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ → 𝐵 ⊆ 0ℋ)
16		shle0 31647	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → (𝐵 ⊆ 0ℋ ↔ 𝐵 = 0ℋ))
17	6, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 0ℋ ↔ 𝐵 = 0ℋ)
18	15, 17	sylib 220	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ → 𝐵 = 0ℋ)
19	12, 18	jca 519	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ → (𝐴 = 0ℋ ∧ 𝐵 = 0ℋ))
20	4, 19	impbii 211	1 ⊢ ((𝐴 = 0ℋ ∧ 𝐵 = 0ℋ) ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3906  (class class class)co 7398   S_ℋ csh 31133   +_ℋ cph 31136  0_ℋc0h 31140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155  ax-hilex 31204  ax-hfvadd 31205  ax-hvcom 31206  ax-hvass 31207  ax-hv0cl 31208  ax-hvaddid 31209  ax-hfvmul 31210  ax-hvmulid 31211  ax-hvmulass 31212  ax-hvdistr1 31213  ax-hvdistr2 31214  ax-hvmul0 31215  ax-hfi 31284  ax-his1 31287  ax-his2 31288  ax-his3 31289  ax-his4 31290

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-map 8812  df-pm 8813  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-q 12952  df-rp 12996  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-icc 13358  df-seq 14017  df-exp 14077  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-topgen 17474  df-psmet 21418  df-xmet 21419  df-met 21420  df-bl 21421  df-mopn 21422  df-top 22956  df-topon 22973  df-bases 23008  df-lm 23291  df-haus 23377  df-grpo 30698  df-gid 30699  df-ginv 30700  df-gdiv 30701  df-ablo 30750  df-vc 30764  df-nv 30797  df-va 30800  df-ba 30801  df-sm 30802  df-0v 30803  df-vs 30804  df-nmcv 30805  df-ims 30806  df-hnorm 31173  df-hvsub 31176  df-hlim 31177  df-sh 31412  df-ch 31426  df-ch0 31458  df-shs 31513  df-span 31514

This theorem is referenced by: (None)