HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shs00i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shs00i 30278
Description: Two subspaces are zero iff their join is zero. (Contributed by NM, 7-Aug-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shne0.1 𝐴S
shs00.2 𝐵S
Assertion
Ref Expression
shs00i ((𝐴 = 0𝐵 = 0) ↔ (𝐴 + 𝐵) = 0)

Proof of Theorem shs00i
StepHypRef Expression
1 oveq12 7362 . . 3 ((𝐴 = 0𝐵 = 0) → (𝐴 + 𝐵) = (0 + 0))
2 h0elsh 30084 . . . 4 0S
32shs0i 30277 . . 3 (0 + 0) = 0
41, 3eqtrdi 2792 . 2 ((𝐴 = 0𝐵 = 0) → (𝐴 + 𝐵) = 0)
5 shne0.1 . . . . . 6 𝐴S
6 shs00.2 . . . . . 6 𝐵S
75, 6shsub1i 30200 . . . . 5 𝐴 ⊆ (𝐴 + 𝐵)
8 sseq2 3968 . . . . 5 ((𝐴 + 𝐵) = 0 → (𝐴 ⊆ (𝐴 + 𝐵) ↔ 𝐴 ⊆ 0))
97, 8mpbii 232 . . . 4 ((𝐴 + 𝐵) = 0𝐴 ⊆ 0)
10 shle0 30270 . . . . 5 (𝐴S → (𝐴 ⊆ 0𝐴 = 0))
115, 10ax-mp 5 . . . 4 (𝐴 ⊆ 0𝐴 = 0)
129, 11sylib 217 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) = 0𝐴 = 0)
136, 5shsub2i 30201 . . . . 5 𝐵 ⊆ (𝐴 + 𝐵)
14 sseq2 3968 . . . . 5 ((𝐴 + 𝐵) = 0 → (𝐵 ⊆ (𝐴 + 𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ 0))
1513, 14mpbii 232 . . . 4 ((𝐴 + 𝐵) = 0𝐵 ⊆ 0)
16 shle0 30270 . . . . 5 (𝐵S → (𝐵 ⊆ 0𝐵 = 0))
176, 16ax-mp 5 . . . 4 (𝐵 ⊆ 0𝐵 = 0)
1815, 17sylib 217 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) = 0𝐵 = 0)
1912, 18jca 512 . 2 ((𝐴 + 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0𝐵 = 0))
204, 19impbii 208 1 ((𝐴 = 0𝐵 = 0) ↔ (𝐴 + 𝐵) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3908  (class class class)co 7353   S csh 29756   + cph 29759  0c0h 29763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125  ax-addf 11126  ax-mulf 11127  ax-hilex 29827  ax-hfvadd 29828  ax-hvcom 29829  ax-hvass 29830  ax-hv0cl 29831  ax-hvaddid 29832  ax-hfvmul 29833  ax-hvmulid 29834  ax-hvmulass 29835  ax-hvdistr1 29836  ax-hvdistr2 29837  ax-hvmul0 29838  ax-hfi 29907  ax-his1 29910  ax-his2 29911  ax-his3 29912  ax-his4 29913
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-er 8644  df-map 8763  df-pm 8764  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9374  df-inf 9375  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-q 12866  df-rp 12908  df-xneg 13025  df-xadd 13026  df-xmul 13027  df-icc 13263  df-seq 13899  df-exp 13960  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-topgen 17317  df-psmet 20773  df-xmet 20774  df-met 20775  df-bl 20776  df-mopn 20777  df-top 22227  df-topon 22244  df-bases 22280  df-lm 22564  df-haus 22650  df-grpo 29321  df-gid 29322  df-ginv 29323  df-gdiv 29324  df-ablo 29373  df-vc 29387  df-nv 29420  df-va 29423  df-ba 29424  df-sm 29425  df-0v 29426  df-vs 29427  df-nmcv 29428  df-ims 29429  df-hnorm 29796  df-hvsub 29799  df-hlim 29800  df-sh 30035  df-ch 30049  df-ch0 30081  df-shs 30136  df-span 30137
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator