Theorem shs00i 31963

Description: Two subspaces are zero iff their join is zero. (Contributed by NM, 7-Aug-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shne0.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shs00.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shs00i	⊢ ((𝐴 = 0ℋ ∧ 𝐵 = 0ℋ) ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ)

Proof of Theorem shs00i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq12 7425	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 0ℋ ∧ 𝐵 = 0ℋ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (0ℋ +ℋ 0ℋ))
2		h0elsh 31769	. . . 4 ⊢ 0ℋ ∈ Sℋ
3	2	shs0i 31962	. . 3 ⊢ (0ℋ +ℋ 0ℋ) = 0ℋ
4	1, 3	eqtrdi 2811	. 2 ⊢ ((𝐴 = 0ℋ ∧ 𝐵 = 0ℋ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ)
5		shne0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
6		shs00.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
7	5, 6	shsub1i 31885	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
8		sseq2 3957	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ → (𝐴 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ 𝐴 ⊆ 0ℋ))
9	7, 8	mpbii 236	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ → 𝐴 ⊆ 0ℋ)
10		shle0 31955	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐴 ⊆ 0ℋ ↔ 𝐴 = 0ℋ))
11	5, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 0ℋ ↔ 𝐴 = 0ℋ)
12	9, 11	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ → 𝐴 = 0ℋ)
13	6, 5	shsub2i 31886	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
14		sseq2 3957	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ → (𝐵 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ 0ℋ))
15	13, 14	mpbii 236	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ → 𝐵 ⊆ 0ℋ)
16		shle0 31955	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → (𝐵 ⊆ 0ℋ ↔ 𝐵 = 0ℋ))
17	6, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 0ℋ ↔ 𝐵 = 0ℋ)
18	15, 17	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ → 𝐵 = 0ℋ)
19	12, 18	jca 521	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ → (𝐴 = 0ℋ ∧ 𝐵 = 0ℋ))
20	4, 19	impbii 212	1 ⊢ ((𝐴 = 0ℋ ∧ 𝐵 = 0ℋ) ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) = 0ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  (class class class)co 7416   S_ℋ csh 31441   +_ℋ cph 31444  0_ℋc0h 31448

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228  ax-mulf 11229  ax-hilex 31512  ax-hfvadd 31513  ax-hvcom 31514  ax-hvass 31515  ax-hv0cl 31516  ax-hvaddid 31517  ax-hfvmul 31518  ax-hvmulid 31519  ax-hvmulass 31520  ax-hvdistr1 31521  ax-hvdistr2 31522  ax-hvmul0 31523  ax-hfi 31592  ax-his1 31595  ax-his2 31596  ax-his3 31597  ax-his4 31598

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9419  df-inf 9420  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-n0 12554  df-z 12641  df-uz 12913  df-q 13023  df-rp 13068  df-xneg 13188  df-xadd 13189  df-xmul 13190  df-icc 13430  df-seq 14091  df-exp 14151  df-cj 15211  df-re 15212  df-im 15213  df-sqrt 15347  df-abs 15348  df-topgen 17553  df-psmet 21609  df-xmet 21610  df-met 21611  df-bl 21612  df-mopn 21613  df-top 23151  df-topon 23168  df-bases 23203  df-lm 23486  df-haus 23572  df-grpo 31006  df-gid 31007  df-ginv 31008  df-gdiv 31009  df-ablo 31058  df-vc 31072  df-nv 31105  df-va 31108  df-ba 31109  df-sm 31110  df-0v 31111  df-vs 31112  df-nmcv 31113  df-ims 31114  df-hnorm 31481  df-hvsub 31484  df-hlim 31485  df-sh 31720  df-ch 31734  df-ch0 31766  df-shs 31821  df-span 31822

This theorem is used by: (None)