Theorem smfliminf 45533

Description: The inferior limit of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (e) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfliminf.n	⊢ Ⅎ𝑚𝐹
smfliminf.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfliminf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfliminf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfliminf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfliminf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfliminf.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
smfliminf.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
smfliminf	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem smfliminf

Dummy variables 𝑦 𝑖 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfliminf.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		smfliminf.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		smfliminf.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		smfliminf.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
5		smfliminf.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
6		nfcv 2903	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
7		nfcv 2903	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘)
8		fveq2 6888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘𝑖))
9	8	iineq1d 43764	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) = ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚))
10		nfcv 2903	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑚)
11	10	nfdm 5948	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘dom (𝐹‘𝑚)
12		smfliminf.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚𝐹
13		nfcv 2903	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚𝑘
14	12, 13	nffv 6898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚(𝐹‘𝑘)
15	14	nfdm 5948	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚dom (𝐹‘𝑘)
16		fveq2 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
17	16	dmeqd 5903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → dom (𝐹‘𝑚) = dom (𝐹‘𝑘))
18	11, 15, 17	cbviin 5039	. . . . . . 7 ⊢ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚) = ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘)
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚) = ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘))
20	9, 19	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) = ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘))
21	6, 7, 20	cbviun 5038	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) = ∪ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘)
22	21	rabeqi 3445	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} = {𝑥 ∈ ∪ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
23		nfcv 2903	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
24		nfcv 2903	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(ℤ≥‘𝑖)
25		smfliminf.x	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
26		nfcv 2903	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑘
27	25, 26	nffv 6898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑘)
28	27	nfdm 5948	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝐹‘𝑘)
29	24, 28	nfiin 5027	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘)
30	23, 29	nfiun 5026	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘)
31		nfcv 2903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦∪ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘)
32		nfv 1917	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ
33		nfcv 2903	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥lim inf
34		nfcv 2903	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
35	27, 34	nffv 6898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑘)‘𝑦)
36	23, 35	nfmpt 5254	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))
37	33, 36	nffv 6898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))
38		nfcv 2903	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ
39	37, 38	nfel 2917	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) ∈ ℝ
40		nfv 1917	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑥 = 𝑦
41		fveq2 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑦))
42	41	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑦))
43	40, 42	mpteq2da 5245	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)))
44		nfcv 2903	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑚)‘𝑦)
45		nfcv 2903	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚𝑦
46	14, 45	nffv 6898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚((𝐹‘𝑘)‘𝑦)
47	16	fveq1d 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑦) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))
48	44, 46, 47	cbvmpt 5258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))
50	43, 49	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))
51	50	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))
52	51	eleq1d 2818	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ ↔ (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) ∈ ℝ))
53	30, 31, 32, 39, 52	cbvrabw 3467	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} = {𝑦 ∈ ∪ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘) ∣ (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) ∈ ℝ}
54	5, 22, 53	3eqtri 2764	. 2 ⊢ 𝐷 = {𝑦 ∈ ∪ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘) ∣ (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) ∈ ℝ}
55		smfliminf.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
56		nfrab1 3451	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
57	5, 56	nfcxfr 2901	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
58		nfcv 2903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
59		nfcv 2903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))
60	57, 58, 59, 37, 51	cbvmptf 5256	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))
61	55, 60	eqtri 2760	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))
62	1, 2, 3, 4, 54, 61	smfliminflem 45532	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2883  {crab 3432  ∪ ciun 4996  ∩ ciin 4997   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  ℝcr 11105  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12818  lim infclsi 44453  SAlgcsalg 45010  SMblFncsmblfn 45397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-ceil 13754  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-s2 14795  df-s3 14796  df-s4 14797  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-top 22387  df-bases 22440  df-liminf 44454  df-salg 45011  df-salgen 45015  df-smblfn 45398

This theorem is referenced by:  smfliminfmpt  45534