Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfliminf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfliminf 45845
Description: The inferior limit of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (e) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
smfliminf.n β„²π‘šπΉ
smfliminf.x β„²π‘₯𝐹
smfliminf.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
smfliminf.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
smfliminf.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfliminf.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
smfliminf.d 𝐷 = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ}
smfliminf.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
Assertion
Ref Expression
smfliminf (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   π‘š,𝑍,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝐷(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝑆(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝐹(π‘₯,π‘š)   𝐺(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝑀(π‘₯,π‘š,𝑛)

Proof of Theorem smfliminf
Dummy variables 𝑦 𝑖 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfliminf.m . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2 smfliminf.z . 2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
3 smfliminf.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
4 smfliminf.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
5 smfliminf.d . . 3 𝐷 = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ}
6 nfcv 2901 . . . . 5 β„²π‘–βˆ© π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)
7 nfcv 2901 . . . . 5 β„²π‘›βˆ© π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜)
8 fveq2 6890 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑖 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘›) = (β„€β‰₯β€˜π‘–))
98iineq1d 44080 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑖 β†’ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) = ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘š))
10 nfcv 2901 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜(πΉβ€˜π‘š)
1110nfdm 5949 . . . . . . . 8 β„²π‘˜dom (πΉβ€˜π‘š)
12 smfliminf.n . . . . . . . . . 10 β„²π‘šπΉ
13 nfcv 2901 . . . . . . . . . 10 β„²π‘šπ‘˜
1412, 13nffv 6900 . . . . . . . . 9 β„²π‘š(πΉβ€˜π‘˜)
1514nfdm 5949 . . . . . . . 8 β„²π‘šdom (πΉβ€˜π‘˜)
16 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (π‘š = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘˜))
1716dmeqd 5904 . . . . . . . 8 (π‘š = π‘˜ β†’ dom (πΉβ€˜π‘š) = dom (πΉβ€˜π‘˜))
1811, 15, 17cbviin 5039 . . . . . . 7 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘š) = ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜)
1918a1i 11 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑖 β†’ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘š) = ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜))
209, 19eqtrd 2770 . . . . 5 (𝑛 = 𝑖 β†’ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) = ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜))
216, 7, 20cbviun 5038 . . . 4 βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) = βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜)
2221rabeqi 3443 . . 3 {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ} = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ}
23 nfcv 2901 . . . . 5 β„²π‘₯𝑍
24 nfcv 2901 . . . . . 6 β„²π‘₯(β„€β‰₯β€˜π‘–)
25 smfliminf.x . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝐹
26 nfcv 2901 . . . . . . . 8 β„²π‘₯π‘˜
2725, 26nffv 6900 . . . . . . 7 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘˜)
2827nfdm 5949 . . . . . 6 β„²π‘₯dom (πΉβ€˜π‘˜)
2924, 28nfiin 5027 . . . . 5 β„²π‘₯∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜)
3023, 29nfiun 5026 . . . 4 β„²π‘₯βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜)
31 nfcv 2901 . . . 4 Ⅎ𝑦βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜)
32 nfv 1915 . . . 4 Ⅎ𝑦(lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ
33 nfcv 2901 . . . . . 6 β„²π‘₯lim inf
34 nfcv 2901 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝑦
3527, 34nffv 6900 . . . . . . 7 β„²π‘₯((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦)
3623, 35nfmpt 5254 . . . . . 6 β„²π‘₯(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))
3733, 36nffv 6900 . . . . 5 β„²π‘₯(lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦)))
38 nfcv 2901 . . . . 5 β„²π‘₯ℝ
3937, 38nfel 2915 . . . 4 β„²π‘₯(lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))) ∈ ℝ
40 nfv 1915 . . . . . . . 8 β„²π‘š π‘₯ = 𝑦
41 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦))
4241adantr 479 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 𝑦 ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦))
4340, 42mpteq2da 5245 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦)))
44 nfcv 2901 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦)
45 nfcv 2901 . . . . . . . . . 10 β„²π‘šπ‘¦
4614, 45nffv 6900 . . . . . . . . 9 β„²π‘š((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦)
4716fveq1d 6892 . . . . . . . . 9 (π‘š = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))
4844, 46, 47cbvmpt 5258 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))
4948a1i 11 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦)))
5043, 49eqtrd 2770 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦)))
5150fveq2d 6894 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = (lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))))
5251eleq1d 2816 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ ↔ (lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))) ∈ ℝ))
5330, 31, 32, 39, 52cbvrabw 3465 . . 3 {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ} = {𝑦 ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜) ∣ (lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))) ∈ ℝ}
545, 22, 533eqtri 2762 . 2 𝐷 = {𝑦 ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜) ∣ (lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))) ∈ ℝ}
55 smfliminf.g . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
56 nfrab1 3449 . . . . 5 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ}
575, 56nfcxfr 2899 . . . 4 β„²π‘₯𝐷
58 nfcv 2901 . . . 4 Ⅎ𝑦𝐷
59 nfcv 2901 . . . 4 Ⅎ𝑦(lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))
6057, 58, 59, 37, 51cbvmptf 5256 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))))
6155, 60eqtri 2758 . 2 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))))
621, 2, 3, 4, 54, 61smfliminflem 45844 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  β„²wnfc 2881  {crab 3430  βˆͺ ciun 4996  βˆ© ciin 4997   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  β„cr 11111  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  lim infclsi 44765  SAlgcsalg 45322  SMblFncsmblfn 45709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-ceil 13762  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-word 14469  df-concat 14525  df-s1 14550  df-s2 14803  df-s3 14804  df-s4 14805  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-top 22616  df-bases 22669  df-liminf 44766  df-salg 45323  df-salgen 45327  df-smblfn 45710
This theorem is referenced by:  smfliminfmpt  45846
  Copyright terms: Public domain W3C validator