Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfliminf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfliminf 46787
Description: The inferior limit of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (e) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
smfliminf.n 𝑚𝐹
smfliminf.x 𝑥𝐹
smfliminf.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smfliminf.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smfliminf.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfliminf.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfliminf.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
smfliminf.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
Assertion
Ref Expression
smfliminf (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem smfliminf
Dummy variables 𝑦 𝑖 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfliminf.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 smfliminf.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 smfliminf.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 smfliminf.f . 2 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
5 smfliminf.d . . 3 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
6 nfcv 2903 . . . . 5 𝑖 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
7 nfcv 2903 . . . . 5 𝑛 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘)
8 fveq2 6907 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑖 → (ℤ𝑛) = (ℤ𝑖))
98iineq1d 45030 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑖 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚))
10 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 𝑘(𝐹𝑚)
1110nfdm 5965 . . . . . . . 8 𝑘dom (𝐹𝑚)
12 smfliminf.n . . . . . . . . . 10 𝑚𝐹
13 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 𝑚𝑘
1412, 13nffv 6917 . . . . . . . . 9 𝑚(𝐹𝑘)
1514nfdm 5965 . . . . . . . 8 𝑚dom (𝐹𝑘)
16 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
1716dmeqd 5919 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → dom (𝐹𝑚) = dom (𝐹𝑘))
1811, 15, 17cbviin 5042 . . . . . . 7 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚) = 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘)
1918a1i 11 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑖 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚) = 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘))
209, 19eqtrd 2775 . . . . 5 (𝑛 = 𝑖 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘))
216, 7, 20cbviun 5041 . . . 4 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑖𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘)
2221rabeqi 3447 . . 3 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} = {𝑥 𝑖𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘) ∣ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
23 nfcv 2903 . . . . 5 𝑥𝑍
24 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑥(ℤ𝑖)
25 smfliminf.x . . . . . . . 8 𝑥𝐹
26 nfcv 2903 . . . . . . . 8 𝑥𝑘
2725, 26nffv 6917 . . . . . . 7 𝑥(𝐹𝑘)
2827nfdm 5965 . . . . . 6 𝑥dom (𝐹𝑘)
2924, 28nfiin 5029 . . . . 5 𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘)
3023, 29nfiun 5028 . . . 4 𝑥 𝑖𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘)
31 nfcv 2903 . . . 4 𝑦 𝑖𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘)
32 nfv 1912 . . . 4 𝑦(lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ
33 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑥lim inf
34 nfcv 2903 . . . . . . . 8 𝑥𝑦
3527, 34nffv 6917 . . . . . . 7 𝑥((𝐹𝑘)‘𝑦)
3623, 35nfmpt 5255 . . . . . 6 𝑥(𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦))
3733, 36nffv 6917 . . . . 5 𝑥(lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦)))
38 nfcv 2903 . . . . 5 𝑥
3937, 38nfel 2918 . . . 4 𝑥(lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦))) ∈ ℝ
40 nfv 1912 . . . . . . . 8 𝑚 𝑥 = 𝑦
41 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝐹𝑚)‘𝑦))
4241adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑦𝑚𝑍) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝐹𝑚)‘𝑦))
4340, 42mpteq2da 5246 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)))
44 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 𝑘((𝐹𝑚)‘𝑦)
45 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 𝑚𝑦
4614, 45nffv 6917 . . . . . . . . 9 𝑚((𝐹𝑘)‘𝑦)
4716fveq1d 6909 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹𝑚)‘𝑦) = ((𝐹𝑘)‘𝑦))
4844, 46, 47cbvmpt 5259 . . . . . . . 8 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) = (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦))
4948a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) = (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦)))
5043, 49eqtrd 2775 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦)))
5150fveq2d 6911 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦))))
5251eleq1d 2824 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ ↔ (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦))) ∈ ℝ))
5330, 31, 32, 39, 52cbvrabw 3471 . . 3 {𝑥 𝑖𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘) ∣ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} = {𝑦 𝑖𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘) ∣ (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦))) ∈ ℝ}
545, 22, 533eqtri 2767 . 2 𝐷 = {𝑦 𝑖𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘) ∣ (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦))) ∈ ℝ}
55 smfliminf.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
56 nfrab1 3454 . . . . 5 𝑥{𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
575, 56nfcxfr 2901 . . . 4 𝑥𝐷
58 nfcv 2903 . . . 4 𝑦𝐷
59 nfcv 2903 . . . 4 𝑦(lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))
6057, 58, 59, 37, 51cbvmptf 5257 . . 3 (𝑥𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))) = (𝑦𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦))))
6155, 60eqtri 2763 . 2 𝐺 = (𝑦𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦))))
621, 2, 3, 4, 54, 61smfliminflem 46786 1 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  wnfc 2888  {crab 3433   ciun 4996   ciin 4997  cmpt 5231  dom cdm 5689  wf 6559  cfv 6563  cr 11152  cz 12611  cuz 12876  lim infclsi 45707  SAlgcsalg 46264  SMblFncsmblfn 46651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-ceil 13830  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-s4 14886  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-top 22916  df-bases 22969  df-liminf 45708  df-salg 46265  df-salgen 46269  df-smblfn 46652
This theorem is referenced by:  smfliminfmpt  46788
  Copyright terms: Public domain W3C validator