Theorem smfliminf 46868

Description: The inferior limit of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (e) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfliminf.n	⊢ Ⅎ𝑚𝐹
smfliminf.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfliminf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfliminf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfliminf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfliminf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfliminf.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
smfliminf.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
smfliminf	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem smfliminf

Dummy variables 𝑦 𝑖 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfliminf.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		smfliminf.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		smfliminf.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		smfliminf.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
5		smfliminf.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
6		nfcv 2894	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
7		nfcv 2894	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘)
8		fveq2 6822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘𝑖))
9	8	iineq1d 45126	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) = ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚))
10		nfcv 2894	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑚)
11	10	nfdm 5891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘dom (𝐹‘𝑚)
12		smfliminf.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚𝐹
13		nfcv 2894	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚𝑘
14	12, 13	nffv 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚(𝐹‘𝑘)
15	14	nfdm 5891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚dom (𝐹‘𝑘)
16		fveq2 6822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
17	16	dmeqd 5845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → dom (𝐹‘𝑚) = dom (𝐹‘𝑘))
18	11, 15, 17	cbviin 4986	. . . . . . 7 ⊢ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚) = ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘)
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚) = ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘))
20	9, 19	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) = ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘))
21	6, 7, 20	cbviun 4985	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) = ∪ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘)
22	21	rabeqi 3408	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} = {𝑥 ∈ ∪ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
23		nfcv 2894	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
24		nfcv 2894	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(ℤ≥‘𝑖)
25		smfliminf.x	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
26		nfcv 2894	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑘
27	25, 26	nffv 6832	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑘)
28	27	nfdm 5891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝐹‘𝑘)
29	24, 28	nfiin 4974	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘)
30	23, 29	nfiun 4973	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘)
31		nfcv 2894	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦∪ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘)
32		nfv 1915	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ
33		nfcv 2894	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥lim inf
34		nfcv 2894	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
35	27, 34	nffv 6832	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑘)‘𝑦)
36	23, 35	nfmpt 5189	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))
37	33, 36	nffv 6832	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))
38		nfcv 2894	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ
39	37, 38	nfel 2909	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) ∈ ℝ
40		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑥 = 𝑦
41		fveq2 6822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑦))
42	41	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑦))
43	40, 42	mpteq2da 5183	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)))
44		nfcv 2894	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑚)‘𝑦)
45		nfcv 2894	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚𝑦
46	14, 45	nffv 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚((𝐹‘𝑘)‘𝑦)
47	16	fveq1d 6824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑦) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))
48	44, 46, 47	cbvmpt 5193	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))
50	43, 49	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))
51	50	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))
52	51	eleq1d 2816	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ ↔ (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) ∈ ℝ))
53	30, 31, 32, 39, 52	cbvrabw 3430	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} = {𝑦 ∈ ∪ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘) ∣ (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) ∈ ℝ}
54	5, 22, 53	3eqtri 2758	. 2 ⊢ 𝐷 = {𝑦 ∈ ∪ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘) ∣ (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) ∈ ℝ}
55		smfliminf.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
56		nfrab1 3415	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
57	5, 56	nfcxfr 2892	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
58		nfcv 2894	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
59		nfcv 2894	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))
60	57, 58, 59, 37, 51	cbvmptf 5191	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))
61	55, 60	eqtri 2754	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))
62	1, 2, 3, 4, 54, 61	smfliminflem 46867	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2879  {crab 3395  ∪ ciun 4941  ∩ ciin 4942   ↦ cmpt 5172  dom cdm 5616  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  ℝcr 11002  ℤcz 12465  ℤ_≥cuz 12729  lim infclsi 45788  SAlgcsalg 46345  SMblFncsmblfn 46732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cc 10323  ax-ac2 10351  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-omul 8390  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9829  df-acn 9832  df-ac 10004  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-ioo 13246  df-ioc 13247  df-ico 13248  df-icc 13249  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-fl 13693  df-ceil 13694  df-seq 13906  df-exp 13966  df-hash 14235  df-word 14418  df-concat 14475  df-s1 14501  df-s2 14752  df-s3 14753  df-s4 14754  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-limsup 15375  df-clim 15392  df-rlim 15393  df-rest 17323  df-topgen 17344  df-top 22807  df-bases 22859  df-liminf 45789  df-salg 46346  df-salgen 46350  df-smblfn 46733

This theorem is referenced by:  smfliminfmpt  46869