Theorem smfliminf 46846

Description: The inferior limit of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (e) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfliminf.n	⊢ Ⅎ𝑚𝐹
smfliminf.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfliminf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfliminf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfliminf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfliminf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfliminf.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
smfliminf.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
smfliminf	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem smfliminf

Dummy variables 𝑦 𝑖 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfliminf.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		smfliminf.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		smfliminf.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		smfliminf.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
5		smfliminf.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
6		nfcv 2905	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
7		nfcv 2905	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘)
8		fveq2 6906	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘𝑖))
9	8	iineq1d 45095	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) = ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚))
10		nfcv 2905	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑚)
11	10	nfdm 5962	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘dom (𝐹‘𝑚)
12		smfliminf.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚𝐹
13		nfcv 2905	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚𝑘
14	12, 13	nffv 6916	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚(𝐹‘𝑘)
15	14	nfdm 5962	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚dom (𝐹‘𝑘)
16		fveq2 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
17	16	dmeqd 5916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → dom (𝐹‘𝑚) = dom (𝐹‘𝑘))
18	11, 15, 17	cbviin 5037	. . . . . . 7 ⊢ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚) = ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘)
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚) = ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘))
20	9, 19	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) = ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘))
21	6, 7, 20	cbviun 5036	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) = ∪ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘)
22	21	rabeqi 3450	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} = {𝑥 ∈ ∪ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
23		nfcv 2905	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
24		nfcv 2905	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(ℤ≥‘𝑖)
25		smfliminf.x	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
26		nfcv 2905	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑘
27	25, 26	nffv 6916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑘)
28	27	nfdm 5962	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝐹‘𝑘)
29	24, 28	nfiin 5024	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘)
30	23, 29	nfiun 5023	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘)
31		nfcv 2905	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦∪ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘)
32		nfv 1914	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ
33		nfcv 2905	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥lim inf
34		nfcv 2905	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
35	27, 34	nffv 6916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑘)‘𝑦)
36	23, 35	nfmpt 5249	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))
37	33, 36	nffv 6916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))
38		nfcv 2905	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ
39	37, 38	nfel 2920	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) ∈ ℝ
40		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑥 = 𝑦
41		fveq2 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑦))
42	41	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑦))
43	40, 42	mpteq2da 5240	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)))
44		nfcv 2905	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑚)‘𝑦)
45		nfcv 2905	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚𝑦
46	14, 45	nffv 6916	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚((𝐹‘𝑘)‘𝑦)
47	16	fveq1d 6908	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑦) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))
48	44, 46, 47	cbvmpt 5253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))
50	43, 49	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))
51	50	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))
52	51	eleq1d 2826	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ ↔ (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) ∈ ℝ))
53	30, 31, 32, 39, 52	cbvrabw 3473	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} = {𝑦 ∈ ∪ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘) ∣ (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) ∈ ℝ}
54	5, 22, 53	3eqtri 2769	. 2 ⊢ 𝐷 = {𝑦 ∈ ∪ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘) ∣ (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) ∈ ℝ}
55		smfliminf.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
56		nfrab1 3457	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
57	5, 56	nfcxfr 2903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
58		nfcv 2905	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
59		nfcv 2905	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))
60	57, 58, 59, 37, 51	cbvmptf 5251	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))
61	55, 60	eqtri 2765	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))
62	1, 2, 3, 4, 54, 61	smfliminflem 46845	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2890  {crab 3436  ∪ ciun 4991  ∩ ciin 4992   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5685  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  ℝcr 11154  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  lim infclsi 45766  SAlgcsalg 46323  SMblFncsmblfn 46710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-ceil 13833  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888  df-s4 14889  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-top 22900  df-bases 22953  df-liminf 45767  df-salg 46324  df-salgen 46328  df-smblfn 46711

This theorem is referenced by:  smfliminfmpt  46847