Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfliminf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfliminf 45537
Description: The inferior limit of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (e) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
smfliminf.n β„²π‘šπΉ
smfliminf.x β„²π‘₯𝐹
smfliminf.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
smfliminf.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
smfliminf.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfliminf.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
smfliminf.d 𝐷 = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ}
smfliminf.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
Assertion
Ref Expression
smfliminf (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   π‘š,𝑍,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝐷(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝑆(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝐹(π‘₯,π‘š)   𝐺(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝑀(π‘₯,π‘š,𝑛)

Proof of Theorem smfliminf
Dummy variables 𝑦 𝑖 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfliminf.m . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2 smfliminf.z . 2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
3 smfliminf.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
4 smfliminf.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
5 smfliminf.d . . 3 𝐷 = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ}
6 nfcv 2903 . . . . 5 β„²π‘–βˆ© π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)
7 nfcv 2903 . . . . 5 β„²π‘›βˆ© π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜)
8 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑖 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘›) = (β„€β‰₯β€˜π‘–))
98iineq1d 43769 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑖 β†’ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) = ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘š))
10 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜(πΉβ€˜π‘š)
1110nfdm 5950 . . . . . . . 8 β„²π‘˜dom (πΉβ€˜π‘š)
12 smfliminf.n . . . . . . . . . 10 β„²π‘šπΉ
13 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 β„²π‘šπ‘˜
1412, 13nffv 6901 . . . . . . . . 9 β„²π‘š(πΉβ€˜π‘˜)
1514nfdm 5950 . . . . . . . 8 β„²π‘šdom (πΉβ€˜π‘˜)
16 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (π‘š = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘˜))
1716dmeqd 5905 . . . . . . . 8 (π‘š = π‘˜ β†’ dom (πΉβ€˜π‘š) = dom (πΉβ€˜π‘˜))
1811, 15, 17cbviin 5040 . . . . . . 7 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘š) = ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜)
1918a1i 11 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑖 β†’ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘š) = ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜))
209, 19eqtrd 2772 . . . . 5 (𝑛 = 𝑖 β†’ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) = ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜))
216, 7, 20cbviun 5039 . . . 4 βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) = βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜)
2221rabeqi 3445 . . 3 {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ} = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ}
23 nfcv 2903 . . . . 5 β„²π‘₯𝑍
24 nfcv 2903 . . . . . 6 β„²π‘₯(β„€β‰₯β€˜π‘–)
25 smfliminf.x . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝐹
26 nfcv 2903 . . . . . . . 8 β„²π‘₯π‘˜
2725, 26nffv 6901 . . . . . . 7 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘˜)
2827nfdm 5950 . . . . . 6 β„²π‘₯dom (πΉβ€˜π‘˜)
2924, 28nfiin 5028 . . . . 5 β„²π‘₯∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜)
3023, 29nfiun 5027 . . . 4 β„²π‘₯βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜)
31 nfcv 2903 . . . 4 Ⅎ𝑦βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜)
32 nfv 1917 . . . 4 Ⅎ𝑦(lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ
33 nfcv 2903 . . . . . 6 β„²π‘₯lim inf
34 nfcv 2903 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝑦
3527, 34nffv 6901 . . . . . . 7 β„²π‘₯((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦)
3623, 35nfmpt 5255 . . . . . 6 β„²π‘₯(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))
3733, 36nffv 6901 . . . . 5 β„²π‘₯(lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦)))
38 nfcv 2903 . . . . 5 β„²π‘₯ℝ
3937, 38nfel 2917 . . . 4 β„²π‘₯(lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))) ∈ ℝ
40 nfv 1917 . . . . . . . 8 β„²π‘š π‘₯ = 𝑦
41 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦))
4241adantr 481 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 𝑦 ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦))
4340, 42mpteq2da 5246 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦)))
44 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦)
45 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 β„²π‘šπ‘¦
4614, 45nffv 6901 . . . . . . . . 9 β„²π‘š((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦)
4716fveq1d 6893 . . . . . . . . 9 (π‘š = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))
4844, 46, 47cbvmpt 5259 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))
4948a1i 11 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦)))
5043, 49eqtrd 2772 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦)))
5150fveq2d 6895 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = (lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))))
5251eleq1d 2818 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ ↔ (lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))) ∈ ℝ))
5330, 31, 32, 39, 52cbvrabw 3467 . . 3 {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ} = {𝑦 ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜) ∣ (lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))) ∈ ℝ}
545, 22, 533eqtri 2764 . 2 𝐷 = {𝑦 ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜) ∣ (lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))) ∈ ℝ}
55 smfliminf.g . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
56 nfrab1 3451 . . . . 5 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ}
575, 56nfcxfr 2901 . . . 4 β„²π‘₯𝐷
58 nfcv 2903 . . . 4 Ⅎ𝑦𝐷
59 nfcv 2903 . . . 4 Ⅎ𝑦(lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))
6057, 58, 59, 37, 51cbvmptf 5257 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))))
6155, 60eqtri 2760 . 2 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))))
621, 2, 3, 4, 54, 61smfliminflem 45536 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β„²wnfc 2883  {crab 3432  βˆͺ ciun 4997  βˆ© ciin 4998   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  β„cr 11108  β„€cz 12557  β„€β‰₯cuz 12821  lim infclsi 44457  SAlgcsalg 45014  SMblFncsmblfn 45401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-ac2 10457  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-ac 10110  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-ceil 13757  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-word 14464  df-concat 14520  df-s1 14545  df-s2 14798  df-s3 14799  df-s4 14800  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-rest 17367  df-topgen 17388  df-top 22395  df-bases 22448  df-liminf 44458  df-salg 45015  df-salgen 45019  df-smblfn 45402
This theorem is referenced by:  smfliminfmpt  45538
  Copyright terms: Public domain W3C validator