Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfliminf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfliminf 45547
Description: The inferior limit of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (e) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
smfliminf.n β„²π‘šπΉ
smfliminf.x β„²π‘₯𝐹
smfliminf.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
smfliminf.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
smfliminf.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfliminf.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
smfliminf.d 𝐷 = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ}
smfliminf.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
Assertion
Ref Expression
smfliminf (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   π‘š,𝑍,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝐷(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝑆(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝐹(π‘₯,π‘š)   𝐺(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝑀(π‘₯,π‘š,𝑛)

Proof of Theorem smfliminf
Dummy variables 𝑦 𝑖 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfliminf.m . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2 smfliminf.z . 2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
3 smfliminf.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
4 smfliminf.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
5 smfliminf.d . . 3 𝐷 = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ}
6 nfcv 2904 . . . . 5 β„²π‘–βˆ© π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)
7 nfcv 2904 . . . . 5 β„²π‘›βˆ© π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜)
8 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑖 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘›) = (β„€β‰₯β€˜π‘–))
98iineq1d 43779 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑖 β†’ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) = ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘š))
10 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜(πΉβ€˜π‘š)
1110nfdm 5951 . . . . . . . 8 β„²π‘˜dom (πΉβ€˜π‘š)
12 smfliminf.n . . . . . . . . . 10 β„²π‘šπΉ
13 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 β„²π‘šπ‘˜
1412, 13nffv 6902 . . . . . . . . 9 β„²π‘š(πΉβ€˜π‘˜)
1514nfdm 5951 . . . . . . . 8 β„²π‘šdom (πΉβ€˜π‘˜)
16 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (π‘š = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘˜))
1716dmeqd 5906 . . . . . . . 8 (π‘š = π‘˜ β†’ dom (πΉβ€˜π‘š) = dom (πΉβ€˜π‘˜))
1811, 15, 17cbviin 5041 . . . . . . 7 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘š) = ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜)
1918a1i 11 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑖 β†’ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘š) = ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜))
209, 19eqtrd 2773 . . . . 5 (𝑛 = 𝑖 β†’ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) = ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜))
216, 7, 20cbviun 5040 . . . 4 βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) = βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜)
2221rabeqi 3446 . . 3 {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ} = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ}
23 nfcv 2904 . . . . 5 β„²π‘₯𝑍
24 nfcv 2904 . . . . . 6 β„²π‘₯(β„€β‰₯β€˜π‘–)
25 smfliminf.x . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝐹
26 nfcv 2904 . . . . . . . 8 β„²π‘₯π‘˜
2725, 26nffv 6902 . . . . . . 7 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘˜)
2827nfdm 5951 . . . . . 6 β„²π‘₯dom (πΉβ€˜π‘˜)
2924, 28nfiin 5029 . . . . 5 β„²π‘₯∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜)
3023, 29nfiun 5028 . . . 4 β„²π‘₯βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜)
31 nfcv 2904 . . . 4 Ⅎ𝑦βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜)
32 nfv 1918 . . . 4 Ⅎ𝑦(lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ
33 nfcv 2904 . . . . . 6 β„²π‘₯lim inf
34 nfcv 2904 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝑦
3527, 34nffv 6902 . . . . . . 7 β„²π‘₯((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦)
3623, 35nfmpt 5256 . . . . . 6 β„²π‘₯(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))
3733, 36nffv 6902 . . . . 5 β„²π‘₯(lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦)))
38 nfcv 2904 . . . . 5 β„²π‘₯ℝ
3937, 38nfel 2918 . . . 4 β„²π‘₯(lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))) ∈ ℝ
40 nfv 1918 . . . . . . . 8 β„²π‘š π‘₯ = 𝑦
41 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦))
4241adantr 482 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 𝑦 ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦))
4340, 42mpteq2da 5247 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦)))
44 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦)
45 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 β„²π‘šπ‘¦
4614, 45nffv 6902 . . . . . . . . 9 β„²π‘š((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦)
4716fveq1d 6894 . . . . . . . . 9 (π‘š = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))
4844, 46, 47cbvmpt 5260 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))
4948a1i 11 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦)))
5043, 49eqtrd 2773 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦)))
5150fveq2d 6896 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = (lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))))
5251eleq1d 2819 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ ↔ (lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))) ∈ ℝ))
5330, 31, 32, 39, 52cbvrabw 3468 . . 3 {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ} = {𝑦 ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜) ∣ (lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))) ∈ ℝ}
545, 22, 533eqtri 2765 . 2 𝐷 = {𝑦 ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜) ∣ (lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))) ∈ ℝ}
55 smfliminf.g . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
56 nfrab1 3452 . . . . 5 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ}
575, 56nfcxfr 2902 . . . 4 β„²π‘₯𝐷
58 nfcv 2904 . . . 4 Ⅎ𝑦𝐷
59 nfcv 2904 . . . 4 Ⅎ𝑦(lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))
6057, 58, 59, 37, 51cbvmptf 5258 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))))
6155, 60eqtri 2761 . 2 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))))
621, 2, 3, 4, 54, 61smfliminflem 45546 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884  {crab 3433  βˆͺ ciun 4998  βˆ© ciin 4999   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  β„cr 11109  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  lim infclsi 44467  SAlgcsalg 45024  SMblFncsmblfn 45411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-ac2 10458  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-ac 10111  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-ceil 13758  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-s2 14799  df-s3 14800  df-s4 14801  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-top 22396  df-bases 22449  df-liminf 44468  df-salg 45025  df-salgen 45029  df-smblfn 45412
This theorem is referenced by:  smfliminfmpt  45548
  Copyright terms: Public domain W3C validator