Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfliminf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfliminf 45158
Description: The inferior limit of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (e) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
smfliminf.n β„²π‘šπΉ
smfliminf.x β„²π‘₯𝐹
smfliminf.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
smfliminf.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
smfliminf.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfliminf.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
smfliminf.d 𝐷 = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ}
smfliminf.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
Assertion
Ref Expression
smfliminf (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   π‘š,𝑍,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝐷(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝑆(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝐹(π‘₯,π‘š)   𝐺(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝑀(π‘₯,π‘š,𝑛)

Proof of Theorem smfliminf
Dummy variables 𝑦 𝑖 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfliminf.m . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2 smfliminf.z . 2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
3 smfliminf.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
4 smfliminf.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
5 smfliminf.d . . 3 𝐷 = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ}
6 nfcv 2904 . . . . 5 β„²π‘–βˆ© π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)
7 nfcv 2904 . . . . 5 β„²π‘›βˆ© π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜)
8 fveq2 6843 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑖 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘›) = (β„€β‰₯β€˜π‘–))
98iineq1d 43388 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑖 β†’ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) = ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘š))
10 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜(πΉβ€˜π‘š)
1110nfdm 5907 . . . . . . . 8 β„²π‘˜dom (πΉβ€˜π‘š)
12 smfliminf.n . . . . . . . . . 10 β„²π‘šπΉ
13 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 β„²π‘šπ‘˜
1412, 13nffv 6853 . . . . . . . . 9 β„²π‘š(πΉβ€˜π‘˜)
1514nfdm 5907 . . . . . . . 8 β„²π‘šdom (πΉβ€˜π‘˜)
16 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (π‘š = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘˜))
1716dmeqd 5862 . . . . . . . 8 (π‘š = π‘˜ β†’ dom (πΉβ€˜π‘š) = dom (πΉβ€˜π‘˜))
1811, 15, 17cbviin 4998 . . . . . . 7 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘š) = ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜)
1918a1i 11 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑖 β†’ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘š) = ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜))
209, 19eqtrd 2773 . . . . 5 (𝑛 = 𝑖 β†’ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) = ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜))
216, 7, 20cbviun 4997 . . . 4 βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) = βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜)
2221rabeqi 3419 . . 3 {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ} = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ}
23 nfcv 2904 . . . . 5 β„²π‘₯𝑍
24 nfcv 2904 . . . . . 6 β„²π‘₯(β„€β‰₯β€˜π‘–)
25 smfliminf.x . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝐹
26 nfcv 2904 . . . . . . . 8 β„²π‘₯π‘˜
2725, 26nffv 6853 . . . . . . 7 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘˜)
2827nfdm 5907 . . . . . 6 β„²π‘₯dom (πΉβ€˜π‘˜)
2924, 28nfiin 4986 . . . . 5 β„²π‘₯∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜)
3023, 29nfiun 4985 . . . 4 β„²π‘₯βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜)
31 nfcv 2904 . . . 4 Ⅎ𝑦βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜)
32 nfv 1918 . . . 4 Ⅎ𝑦(lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ
33 nfcv 2904 . . . . . 6 β„²π‘₯lim inf
34 nfcv 2904 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝑦
3527, 34nffv 6853 . . . . . . 7 β„²π‘₯((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦)
3623, 35nfmpt 5213 . . . . . 6 β„²π‘₯(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))
3733, 36nffv 6853 . . . . 5 β„²π‘₯(lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦)))
38 nfcv 2904 . . . . 5 β„²π‘₯ℝ
3937, 38nfel 2918 . . . 4 β„²π‘₯(lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))) ∈ ℝ
40 nfv 1918 . . . . . . . 8 β„²π‘š π‘₯ = 𝑦
41 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦))
4241adantr 482 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 𝑦 ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦))
4340, 42mpteq2da 5204 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦)))
44 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦)
45 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 β„²π‘šπ‘¦
4614, 45nffv 6853 . . . . . . . . 9 β„²π‘š((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦)
4716fveq1d 6845 . . . . . . . . 9 (π‘š = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))
4844, 46, 47cbvmpt 5217 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))
4948a1i 11 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦)))
5043, 49eqtrd 2773 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦)))
5150fveq2d 6847 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = (lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))))
5251eleq1d 2819 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ ↔ (lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))) ∈ ℝ))
5330, 31, 32, 39, 52cbvrabw 3438 . . 3 {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ} = {𝑦 ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜) ∣ (lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))) ∈ ℝ}
545, 22, 533eqtri 2765 . 2 𝐷 = {𝑦 ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘˜) ∣ (lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))) ∈ ℝ}
55 smfliminf.g . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
56 nfrab1 3425 . . . . 5 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ}
575, 56nfcxfr 2902 . . . 4 β„²π‘₯𝐷
58 nfcv 2904 . . . 4 Ⅎ𝑦𝐷
59 nfcv 2904 . . . 4 Ⅎ𝑦(lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))
6057, 58, 59, 37, 51cbvmptf 5215 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))))
6155, 60eqtri 2761 . 2 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))))
621, 2, 3, 4, 54, 61smfliminflem 45157 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884  {crab 3406  βˆͺ ciun 4955  βˆ© ciin 4956   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5634  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  β„cr 11055  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  lim infclsi 44078  SAlgcsalg 44635  SMblFncsmblfn 45022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cc 10376  ax-ac2 10404  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-acn 9883  df-ac 10057  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-ceil 13704  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-word 14409  df-concat 14465  df-s1 14490  df-s2 14743  df-s3 14744  df-s4 14745  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-rest 17309  df-topgen 17330  df-top 22259  df-bases 22312  df-liminf 44079  df-salg 44636  df-salgen 44640  df-smblfn 45023
This theorem is referenced by:  smfliminfmpt  45159
  Copyright terms: Public domain W3C validator