Theorem smfliminf 47369

Description: The inferior limit of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (e) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfliminf.n	⊢ Ⅎ𝑚𝐹
smfliminf.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfliminf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfliminf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfliminf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfliminf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfliminf.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
smfliminf.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
smfliminf	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem smfliminf

Dummy variables 𝑦 𝑖 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfliminf.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		smfliminf.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		smfliminf.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		smfliminf.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
5		smfliminf.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
6		nfcv 2923	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
7		nfcv 2923	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘)
8		fveq2 6863	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘𝑖))
9	8	iineq1d 45632	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) = ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚))
10		nfcv 2923	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑚)
11	10	nfdm 5925	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘dom (𝐹‘𝑚)
12		smfliminf.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚𝐹
13		nfcv 2923	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚𝑘
14	12, 13	nffv 6873	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚(𝐹‘𝑘)
15	14	nfdm 5925	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚dom (𝐹‘𝑘)
16		fveq2 6863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
17	16	dmeqd 5879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → dom (𝐹‘𝑚) = dom (𝐹‘𝑘))
18	11, 15, 17	cbviin 4992	. . . . . . 7 ⊢ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚) = ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘)
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚) = ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘))
20	9, 19	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) = ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘))
21	6, 7, 20	cbviun 4991	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) = ∪ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘)
22	21	rabeqi 3426	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} = {𝑥 ∈ ∪ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
23		nfcv 2923	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
24		nfcv 2923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(ℤ≥‘𝑖)
25		smfliminf.x	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
26		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑘
27	25, 26	nffv 6873	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑘)
28	27	nfdm 5925	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝐹‘𝑘)
29	24, 28	nfiin 4981	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘)
30	23, 29	nfiun 4980	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘)
31		nfcv 2923	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦∪ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘)
32		nfv 1933	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ
33		nfcv 2923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥lim inf
34		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
35	27, 34	nffv 6873	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑘)‘𝑦)
36	23, 35	nfmpt 5197	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))
37	33, 36	nffv 6873	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))
38		nfcv 2923	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ
39	37, 38	nfel 2937	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) ∈ ℝ
40		nfv 1933	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑥 = 𝑦
41		fveq2 6863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑦))
42	41	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑦))
43	40, 42	mpteq2da 5191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)))
44		nfcv 2923	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑚)‘𝑦)
45		nfcv 2923	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚𝑦
46	14, 45	nffv 6873	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚((𝐹‘𝑘)‘𝑦)
47	16	fveq1d 6865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑦) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))
48	44, 46, 47	cbvmpt 5201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))
50	43, 49	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))
51	50	fveq2d 6867	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))
52	51	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ ↔ (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) ∈ ℝ))
53	30, 31, 32, 39, 52	cbvrabw 3448	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} = {𝑦 ∈ ∪ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘) ∣ (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) ∈ ℝ}
54	5, 22, 53	3eqtri 2788	. 2 ⊢ 𝐷 = {𝑦 ∈ ∪ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑘) ∣ (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) ∈ ℝ}
55		smfliminf.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
56		nfrab1 3433	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
57	5, 56	nfcxfr 2921	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
58		nfcv 2923	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
59		nfcv 2923	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))
60	57, 58, 59, 37, 51	cbvmptf 5199	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))
61	55, 60	eqtri 2784	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))
62	1, 2, 3, 4, 54, 61	smfliminflem 47368	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Ⅎwnfc 2908  {crab 3413  ∪ ciun 4948  ∩ ciin 4949   ↦ cmpt 5180  dom cdm 5645  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  ℝcr 11069  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12836  lim infclsi 46289  SAlgcsalg 46846  SMblFncsmblfn 47233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cc 10389  ax-ac2 10417  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-omul 8437  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-card 9894  df-acn 9897  df-ac 10069  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-ioo 13350  df-ioc 13351  df-ico 13352  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-ceil 13800  df-seq 14012  df-exp 14072  df-hash 14341  df-word 14524  df-concat 14581  df-s1 14607  df-s2 14858  df-s3 14859  df-s4 14860  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-limsup 15481  df-clim 15498  df-rlim 15499  df-rest 17434  df-topgen 17455  df-top 22934  df-bases 22986  df-liminf 46290  df-salg 46847  df-salgen 46851  df-smblfn 47234

This theorem is referenced by:  smfliminfmpt  47370