Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfliminf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfliminf 42990
Description: The inferior limit of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (e) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
smfliminf.n 𝑚𝐹
smfliminf.x 𝑥𝐹
smfliminf.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smfliminf.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smfliminf.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfliminf.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfliminf.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
smfliminf.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
Assertion
Ref Expression
smfliminf (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem smfliminf
Dummy variables 𝑦 𝑖 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfliminf.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 smfliminf.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 smfliminf.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 smfliminf.f . 2 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
5 smfliminf.d . . 3 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
6 nfcv 2982 . . . . 5 𝑖 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
7 nfcv 2982 . . . . 5 𝑛 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘)
8 fveq2 6669 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑖 → (ℤ𝑛) = (ℤ𝑖))
98iineq1d 41240 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑖 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚))
10 nfcv 2982 . . . . . . . . 9 𝑘(𝐹𝑚)
1110nfdm 5822 . . . . . . . 8 𝑘dom (𝐹𝑚)
12 smfliminf.n . . . . . . . . . 10 𝑚𝐹
13 nfcv 2982 . . . . . . . . . 10 𝑚𝑘
1412, 13nffv 6679 . . . . . . . . 9 𝑚(𝐹𝑘)
1514nfdm 5822 . . . . . . . 8 𝑚dom (𝐹𝑘)
16 fveq2 6669 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
1716dmeqd 5773 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → dom (𝐹𝑚) = dom (𝐹𝑘))
1811, 15, 17cbviin 4959 . . . . . . 7 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚) = 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘)
1918a1i 11 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑖 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚) = 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘))
209, 19eqtrd 2861 . . . . 5 (𝑛 = 𝑖 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘))
216, 7, 20cbviun 4958 . . . 4 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑖𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘)
2221rabeqi 3488 . . 3 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} = {𝑥 𝑖𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘) ∣ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
23 nfcv 2982 . . . . 5 𝑥𝑍
24 nfcv 2982 . . . . . 6 𝑥(ℤ𝑖)
25 smfliminf.x . . . . . . . 8 𝑥𝐹
26 nfcv 2982 . . . . . . . 8 𝑥𝑘
2725, 26nffv 6679 . . . . . . 7 𝑥(𝐹𝑘)
2827nfdm 5822 . . . . . 6 𝑥dom (𝐹𝑘)
2924, 28nfiin 4947 . . . . 5 𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘)
3023, 29nfiun 4946 . . . 4 𝑥 𝑖𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘)
31 nfcv 2982 . . . 4 𝑦 𝑖𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘)
32 nfv 1908 . . . 4 𝑦(lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ
33 nfcv 2982 . . . . . 6 𝑥lim inf
34 nfcv 2982 . . . . . . . 8 𝑥𝑦
3527, 34nffv 6679 . . . . . . 7 𝑥((𝐹𝑘)‘𝑦)
3623, 35nfmpt 5160 . . . . . 6 𝑥(𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦))
3733, 36nffv 6679 . . . . 5 𝑥(lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦)))
38 nfcv 2982 . . . . 5 𝑥
3937, 38nfel 2997 . . . 4 𝑥(lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦))) ∈ ℝ
40 nfv 1908 . . . . . . . 8 𝑚 𝑥 = 𝑦
41 fveq2 6669 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝐹𝑚)‘𝑦))
4241adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑦𝑚𝑍) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝐹𝑚)‘𝑦))
4340, 42mpteq2da 5157 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)))
44 nfcv 2982 . . . . . . . . 9 𝑘((𝐹𝑚)‘𝑦)
45 nfcv 2982 . . . . . . . . . 10 𝑚𝑦
4614, 45nffv 6679 . . . . . . . . 9 𝑚((𝐹𝑘)‘𝑦)
4716fveq1d 6671 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹𝑚)‘𝑦) = ((𝐹𝑘)‘𝑦))
4844, 46, 47cbvmpt 5164 . . . . . . . 8 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) = (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦))
4948a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) = (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦)))
5043, 49eqtrd 2861 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦)))
5150fveq2d 6673 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦))))
5251eleq1d 2902 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ ↔ (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦))) ∈ ℝ))
5330, 31, 32, 39, 52cbvrab 3496 . . 3 {𝑥 𝑖𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘) ∣ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} = {𝑦 𝑖𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘) ∣ (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦))) ∈ ℝ}
545, 22, 533eqtri 2853 . 2 𝐷 = {𝑦 𝑖𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘) ∣ (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦))) ∈ ℝ}
55 smfliminf.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
56 nfrab1 3390 . . . . 5 𝑥{𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
575, 56nfcxfr 2980 . . . 4 𝑥𝐷
58 nfcv 2982 . . . 4 𝑦𝐷
59 nfcv 2982 . . . 4 𝑦(lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))
6057, 58, 59, 37, 51cbvmptf 5162 . . 3 (𝑥𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))) = (𝑦𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦))))
6155, 60eqtri 2849 . 2 𝐺 = (𝑦𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦))))
621, 2, 3, 4, 54, 61smfliminflem 42989 1 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  wnfc 2966  {crab 3147   ciun 4917   ciin 4918  cmpt 5143  dom cdm 5554  wf 6350  cfv 6354  cr 10530  cz 11975  cuz 12237  lim infclsi 41916  SAlgcsalg 42478  SMblFncsmblfn 42862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cc 9851  ax-ac2 9879  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-acn 9365  df-ac 9536  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-ioo 12737  df-ioc 12738  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-ceil 13158  df-seq 13365  df-exp 13425  df-hash 13686  df-word 13857  df-concat 13918  df-s1 13945  df-s2 14205  df-s3 14206  df-s4 14207  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-rest 16691  df-topgen 16712  df-top 21437  df-bases 21489  df-liminf 41917  df-salg 42479  df-salgen 42483  df-smblfn 42863
This theorem is referenced by:  smfliminfmpt  42991
  Copyright terms: Public domain W3C validator