Theorem sylow3lem5 19528

Description: Lemma for sylow3 19530, second part. Reduce the group action of sylow3lem1 19524 to a given Sylow subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow3.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
sylow3lem5.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
sylow3lem5.d	⊢ − = (-g‘𝐺)
sylow3lem5.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow3lem5.m	⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
sylow3lem5	⊢ (𝜑 → ⊕ ∈ ((𝐺 ↾s 𝐾) GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧, −   𝑥, ⊕ ,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥,𝑃,𝑦,𝑧

Proof of Theorem sylow3lem5

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow3lem5.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
2		slwsubg 19507	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		sylow3.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5	4	subgss 19024	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 ⊆ 𝑋)
6	3, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ 𝑋)
7		ssid 3960	. . . 4 ⊢ (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺)
8		resmpo 7473	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))))
9	6, 7, 8	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))))
10		sylow3lem5.m	. . 3 ⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)))
11	9, 10	eqtr4di 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) = ⊕ )
12		sylow3.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
13		sylow3.xf	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
14		sylow3.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
15		sylow3lem5.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
16		sylow3lem5.d	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
17		oveq2 7361	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑐 → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑐))
18	17	oveq1d 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑐 → ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥) = ((𝑥 + 𝑐) − 𝑥))
19	18	cbvmptv 5199	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = (𝑐 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑐) − 𝑥))
20		oveq1 7360	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑐))
21		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → 𝑥 = 𝑎)
22	20, 21	oveq12d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥 + 𝑐) − 𝑥) = ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎))
23	22	mpteq2dv 5189	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑐 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑐) − 𝑥)) = (𝑐 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎)))
24	19, 23	eqtrid 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = (𝑐 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎)))
25	24	rneqd 5884	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = ran (𝑐 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎)))
26		mpteq1 5184	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑐 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎)) = (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎)))
27	26	rneqd 5884	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ran (𝑐 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎)) = ran (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎)))
28	25, 27	cbvmpov 7448	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) = (𝑎 ∈ 𝑋, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎)))
29	4, 12, 13, 14, 15, 16, 28	sylow3lem1 19524	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
30		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐾) = (𝐺 ↾s 𝐾)
31	30	gasubg 19199	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) ∈ ((𝐺 ↾s 𝐾) GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
32	29, 3, 31	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) ∈ ((𝐺 ↾s 𝐾) GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
33	11, 32	eqeltrrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → ⊕ ∈ ((𝐺 ↾s 𝐾) GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905   ↦ cmpt 5176   × cxp 5621  ran crn 5624   ↾ cres 5625  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∈ cmpo 7355  Fincfn 8879  ℙcprime 16600  Basecbs 17138   ↾_s cress 17159  +_gcplusg 17179  Grpcgrp 18830  -_gcsg 18832  SubGrpcsubg 19017   GrpAct cga 19186   pSyl cslw 19424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-disj 5063  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8632  df-ec 8634  df-qs 8638  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612  df-dvds 16182  df-gcd 16424  df-prm 16601  df-pc 16767  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-mulg 18965  df-subg 19020  df-eqg 19022  df-ghm 19110  df-ga 19187  df-od 19425  df-pgp 19427  df-slw 19428

This theorem is referenced by:  sylow3lem6  19529