MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow3lem5 19649
Description: Lemma for sylow3 19651, second part. Reduce the group action of sylow3lem1 19645 to a given Sylow subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow3lem5.a + = (+g𝐺)
sylow3lem5.d = (-g𝐺)
sylow3lem5.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow3lem5.m = (𝑥𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
Assertion
Ref Expression
sylow3lem5 (𝜑 ∈ ((𝐺s 𝐾) GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,   𝑥, ,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥,𝑃,𝑦,𝑧

Proof of Theorem sylow3lem5
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3lem5.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
2 slwsubg 19628 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4 sylow3.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
54subgss 19145 . . . . 5 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾𝑋)
63, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾𝑋)
7 ssid 4006 . . . 4 (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺)
8 resmpo 7553 . . . 4 ((𝐾𝑋 ∧ (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) = (𝑥𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))))
96, 7, 8sylancl 586 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) = (𝑥𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))))
10 sylow3lem5.m . . 3 = (𝑥𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
119, 10eqtr4di 2795 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) = )
12 sylow3.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
13 sylow3.xf . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
14 sylow3.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
15 sylow3lem5.a . . . 4 + = (+g𝐺)
16 sylow3lem5.d . . . 4 = (-g𝐺)
17 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑐 → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑐))
1817oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑐 → ((𝑥 + 𝑧) 𝑥) = ((𝑥 + 𝑐) 𝑥))
1918cbvmptv 5255 . . . . . . 7 (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑐𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑐) 𝑥))
20 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑐))
21 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑎𝑥 = 𝑎)
2220, 21oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥 + 𝑐) 𝑥) = ((𝑎 + 𝑐) 𝑎))
2322mpteq2dv 5244 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑎 → (𝑐𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑐) 𝑥)) = (𝑐𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) 𝑎)))
2419, 23eqtrid 2789 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑎 → (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑐𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) 𝑎)))
2524rneqd 5949 . . . . 5 (𝑥 = 𝑎 → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = ran (𝑐𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) 𝑎)))
26 mpteq1 5235 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑏 → (𝑐𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) 𝑎)) = (𝑐𝑏 ↦ ((𝑎 + 𝑐) 𝑎)))
2726rneqd 5949 . . . . 5 (𝑦 = 𝑏 → ran (𝑐𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) 𝑎)) = ran (𝑐𝑏 ↦ ((𝑎 + 𝑐) 𝑎)))
2825, 27cbvmpov 7528 . . . 4 (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) = (𝑎𝑋, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐𝑏 ↦ ((𝑎 + 𝑐) 𝑎)))
294, 12, 13, 14, 15, 16, 28sylow3lem1 19645 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
30 eqid 2737 . . . 4 (𝐺s 𝐾) = (𝐺s 𝐾)
3130gasubg 19320 . . 3 (((𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) ∈ ((𝐺s 𝐾) GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
3229, 3, 31syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) ∈ ((𝐺s 𝐾) GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
3311, 32eqeltrrd 2842 1 (𝜑 ∈ ((𝐺s 𝐾) GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  cmpt 5225   × cxp 5683  ran crn 5686  cres 5687  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  Fincfn 8985  cprime 16708  Basecbs 17247  s cress 17274  +gcplusg 17297  Grpcgrp 18951  -gcsg 18953  SubGrpcsubg 19138   GrpAct cga 19307   pSyl cslw 19545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-pc 16875  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-eqg 19143  df-ghm 19231  df-ga 19308  df-od 19546  df-pgp 19548  df-slw 19549
This theorem is referenced by:  sylow3lem6  19650
  Copyright terms: Public domain W3C validator