Theorem sylow3lem5 19560

Description: Lemma for sylow3 19562, second part. Reduce the group action of sylow3lem1 19556 to a given Sylow subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow3.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
sylow3lem5.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
sylow3lem5.d	⊢ − = (-g‘𝐺)
sylow3lem5.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow3lem5.m	⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
sylow3lem5	⊢ (𝜑 → ⊕ ∈ ((𝐺 ↾s 𝐾) GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧, −   𝑥, ⊕ ,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥,𝑃,𝑦,𝑧

Proof of Theorem sylow3lem5

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow3lem5.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
2		slwsubg 19539	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		sylow3.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5	4	subgss 19057	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 ⊆ 𝑋)
6	3, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ 𝑋)
7		ssid 3956	. . . 4 ⊢ (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺)
8		resmpo 7478	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))))
9	6, 7, 8	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))))
10		sylow3lem5.m	. . 3 ⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)))
11	9, 10	eqtr4di 2789	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) = ⊕ )
12		sylow3.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
13		sylow3.xf	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
14		sylow3.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
15		sylow3lem5.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
16		sylow3lem5.d	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
17		oveq2 7366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑐 → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑐))
18	17	oveq1d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑐 → ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥) = ((𝑥 + 𝑐) − 𝑥))
19	18	cbvmptv 5202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = (𝑐 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑐) − 𝑥))
20		oveq1 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑐))
21		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → 𝑥 = 𝑎)
22	20, 21	oveq12d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥 + 𝑐) − 𝑥) = ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎))
23	22	mpteq2dv 5192	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑐 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑐) − 𝑥)) = (𝑐 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎)))
24	19, 23	eqtrid 2783	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = (𝑐 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎)))
25	24	rneqd 5887	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = ran (𝑐 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎)))
26		mpteq1 5187	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑐 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎)) = (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎)))
27	26	rneqd 5887	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ran (𝑐 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎)) = ran (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎)))
28	25, 27	cbvmpov 7453	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) = (𝑎 ∈ 𝑋, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎)))
29	4, 12, 13, 14, 15, 16, 28	sylow3lem1 19556	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
30		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐾) = (𝐺 ↾s 𝐾)
31	30	gasubg 19231	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) ∈ ((𝐺 ↾s 𝐾) GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
32	29, 3, 31	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) ∈ ((𝐺 ↾s 𝐾) GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
33	11, 32	eqeltrrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → ⊕ ∈ ((𝐺 ↾s 𝐾) GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901   ↦ cmpt 5179   × cxp 5622  ran crn 5625   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  Fincfn 8883  ℙcprime 16598  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157  +_gcplusg 17177  Grpcgrp 18863  -_gcsg 18865  SubGrpcsubg 19050   GrpAct cga 19218   pSyl cslw 19456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-disj 5066  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-er 8635  df-ec 8637  df-qs 8641  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9813  df-card 9851  df-acn 9854  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-bc 14226  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-sum 15610  df-dvds 16180  df-gcd 16422  df-prm 16599  df-pc 16765  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-eqg 19055  df-ghm 19142  df-ga 19219  df-od 19457  df-pgp 19459  df-slw 19460

This theorem is referenced by:  sylow3lem6  19561