Theorem sylow3lem5 19662

Description: Lemma for sylow3 19664, second part. Reduce the group action of sylow3lem1 19658 to a given Sylow subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow3.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
sylow3lem5.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
sylow3lem5.d	⊢ − = (-g‘𝐺)
sylow3lem5.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow3lem5.m	⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
sylow3lem5	⊢ (𝜑 → ⊕ ∈ ((𝐺 ↾s 𝐾) GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧, −   𝑥, ⊕ ,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥,𝑃,𝑦,𝑧

Proof of Theorem sylow3lem5

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow3lem5.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
2		slwsubg 19641	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		sylow3.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5	4	subgss 19160	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 ⊆ 𝑋)
6	3, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ 𝑋)
7		ssid 3956	. . . 4 ⊢ (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺)
8		resmpo 7511	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))))
9	6, 7, 8	sylancl 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))))
10		sylow3lem5.m	. . 3 ⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)))
11	9, 10	eqtr4di 2814	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) = ⊕ )
12		sylow3.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
13		sylow3.xf	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
14		sylow3.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
15		sylow3lem5.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
16		sylow3lem5.d	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
17		oveq2 7399	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑐 → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑐))
18	17	oveq1d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑐 → ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥) = ((𝑥 + 𝑐) − 𝑥))
19	18	cbvmptv 5201	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = (𝑐 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑐) − 𝑥))
20		oveq1 7398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑐))
21		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → 𝑥 = 𝑎)
22	20, 21	oveq12d 7409	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥 + 𝑐) − 𝑥) = ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎))
23	22	mpteq2dv 5191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑐 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑐) − 𝑥)) = (𝑐 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎)))
24	19, 23	eqtrid 2808	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = (𝑐 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎)))
25	24	rneqd 5910	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = ran (𝑐 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎)))
26		mpteq1 5186	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑐 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎)) = (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎)))
27	26	rneqd 5910	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ran (𝑐 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎)) = ran (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎)))
28	25, 27	cbvmpov 7486	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) = (𝑎 ∈ 𝑋, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎)))
29	4, 12, 13, 14, 15, 16, 28	sylow3lem1 19658	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
30		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐾) = (𝐺 ↾s 𝐾)
31	30	gasubg 19333	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) ∈ ((𝐺 ↾s 𝐾) GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
32	29, 3, 31	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) ∈ ((𝐺 ↾s 𝐾) GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
33	11, 32	eqeltrrd 2862	1 ⊢ (𝜑 → ⊕ ∈ ((𝐺 ↾s 𝐾) GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3902   ↦ cmpt 5178   × cxp 5641  ran crn 5644   ↾ cres 5645  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391   ∈ cmpo 7393  Fincfn 8921  ℙcprime 16696  Basecbs 17236   ↾_s cress 17257  +_gcplusg 17277  Grpcgrp 18966  -_gcsg 18968  SubGrpcsubg 19153   GrpAct cga 19320   pSyl cslw 19558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-inf2 9590  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-disj 5065  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-oadd 8435  df-omul 8436  df-er 8672  df-ec 8674  df-qs 8678  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9382  df-inf 9383  df-oi 9452  df-dju 9853  df-card 9891  df-acn 9894  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12476  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12834  df-q 12944  df-rp 12988  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-fl 13796  df-mod 13874  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14281  df-bc 14310  df-hash 14338  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-clim 15506  df-sum 15705  df-dvds 16278  df-gcd 16520  df-prm 16697  df-pc 16864  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-0g 17461  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-sbg 18971  df-mulg 19101  df-subg 19156  df-eqg 19158  df-ghm 19245  df-ga 19321  df-od 19559  df-pgp 19561  df-slw 19562

This theorem is referenced by:  sylow3lem6  19663