MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow3lem5 18441
Description: Lemma for sylow3 18443, second part. Reduce the group action of sylow3lem1 18437 to a given Sylow subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow3lem5.a + = (+g𝐺)
sylow3lem5.d = (-g𝐺)
sylow3lem5.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow3lem5.m = (𝑥𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
Assertion
Ref Expression
sylow3lem5 (𝜑 ∈ ((𝐺s 𝐾) GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,   𝑥, ,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥,𝑃,𝑦,𝑧

Proof of Theorem sylow3lem5
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3lem5.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
2 slwsubg 18420 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4 sylow3.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
54subgss 17990 . . . . 5 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾𝑋)
63, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾𝑋)
7 ssid 3842 . . . 4 (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺)
8 resmpt2 7037 . . . 4 ((𝐾𝑋 ∧ (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) = (𝑥𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))))
96, 7, 8sylancl 580 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) = (𝑥𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))))
10 sylow3lem5.m . . 3 = (𝑥𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
119, 10syl6eqr 2832 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) = )
12 sylow3.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
13 sylow3.xf . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
14 sylow3.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
15 sylow3lem5.a . . . 4 + = (+g𝐺)
16 sylow3lem5.d . . . 4 = (-g𝐺)
17 oveq2 6932 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑐 → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑐))
1817oveq1d 6939 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑐 → ((𝑥 + 𝑧) 𝑥) = ((𝑥 + 𝑐) 𝑥))
1918cbvmptv 4987 . . . . . . 7 (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑐𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑐) 𝑥))
20 oveq1 6931 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑐))
21 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑎𝑥 = 𝑎)
2220, 21oveq12d 6942 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥 + 𝑐) 𝑥) = ((𝑎 + 𝑐) 𝑎))
2322mpteq2dv 4982 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑎 → (𝑐𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑐) 𝑥)) = (𝑐𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) 𝑎)))
2419, 23syl5eq 2826 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑎 → (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑐𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) 𝑎)))
2524rneqd 5600 . . . . 5 (𝑥 = 𝑎 → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = ran (𝑐𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) 𝑎)))
26 mpteq1 4974 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑏 → (𝑐𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) 𝑎)) = (𝑐𝑏 ↦ ((𝑎 + 𝑐) 𝑎)))
2726rneqd 5600 . . . . 5 (𝑦 = 𝑏 → ran (𝑐𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) 𝑎)) = ran (𝑐𝑏 ↦ ((𝑎 + 𝑐) 𝑎)))
2825, 27cbvmpt2v 7014 . . . 4 (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) = (𝑎𝑋, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐𝑏 ↦ ((𝑎 + 𝑐) 𝑎)))
294, 12, 13, 14, 15, 16, 28sylow3lem1 18437 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
30 eqid 2778 . . . 4 (𝐺s 𝐾) = (𝐺s 𝐾)
3130gasubg 18129 . . 3 (((𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) ∈ ((𝐺s 𝐾) GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
3229, 3, 31syl2anc 579 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) ∈ ((𝐺s 𝐾) GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
3311, 32eqeltrrd 2860 1 (𝜑 ∈ ((𝐺s 𝐾) GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2107  wss 3792  cmpt 4967   × cxp 5355  ran crn 5358  cres 5359  cfv 6137  (class class class)co 6924  cmpt2 6926  Fincfn 8243  cprime 15800  Basecbs 16266  s cress 16267  +gcplusg 16349  Grpcgrp 17820  -gcsg 17822  SubGrpcsubg 17983   GrpAct cga 18116   pSyl cslw 18342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-disj 4857  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-omul 7850  df-er 8028  df-ec 8030  df-qs 8034  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-acn 9103  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-n0 11648  df-xnn0 11720  df-z 11734  df-uz 11998  df-q 12101  df-rp 12143  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-fl 12917  df-mod 12993  df-seq 13125  df-exp 13184  df-fac 13385  df-bc 13414  df-hash 13442  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-clim 14636  df-sum 14834  df-dvds 15397  df-gcd 15633  df-prm 15801  df-pc 15957  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-0g 16499  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-submnd 17733  df-grp 17823  df-minusg 17824  df-sbg 17825  df-mulg 17939  df-subg 17986  df-eqg 17988  df-ghm 18053  df-ga 18117  df-od 18343  df-pgp 18345  df-slw 18346
This theorem is referenced by:  sylow3lem6  18442
  Copyright terms: Public domain W3C validator