Theorem sylow3lem5 19725

Description: Lemma for sylow3 19727, second part. Reduce the group action of sylow3lem1 19721 to a given Sylow subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow3.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
sylow3lem5.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
sylow3lem5.d	⊢ − = (-g‘𝐺)
sylow3lem5.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow3lem5.m	⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
sylow3lem5	⊢ (𝜑 → ⊕ ∈ ((𝐺 ↾s 𝐾) GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧, −   𝑥, ⊕ ,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥,𝑃,𝑦,𝑧

Proof of Theorem sylow3lem5

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow3lem5.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
2		slwsubg 19704	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		sylow3.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5	4	subgss 19217	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 ⊆ 𝑋)
6	3, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ 𝑋)
7		ssid 3960	. . . 4 ⊢ (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺)
8		resmpo 7536	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))))
9	6, 7, 8	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))))
10		sylow3lem5.m	. . 3 ⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)))
11	9, 10	eqtr4di 2818	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) = ⊕ )
12		sylow3.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
13		sylow3.xf	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
14		sylow3.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
15		sylow3lem5.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
16		sylow3lem5.d	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
17		oveq2 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑐 → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑐))
18	17	oveq1d 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑐 → ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥) = ((𝑥 + 𝑐) − 𝑥))
19	18	cbvmptv 5217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = (𝑐 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑐) − 𝑥))
20		oveq1 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑐))
21		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → 𝑥 = 𝑎)
22	20, 21	oveq12d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥 + 𝑐) − 𝑥) = ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎))
23	22	mpteq2dv 5207	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑐 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑐) − 𝑥)) = (𝑐 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎)))
24	19, 23	eqtrid 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = (𝑐 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎)))
25	24	rneqd 5930	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = ran (𝑐 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎)))
26		mpteq1 5202	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑐 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎)) = (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎)))
27	26	rneqd 5930	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ran (𝑐 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎)) = ran (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎)))
28	25, 27	cbvmpov 7511	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) = (𝑎 ∈ 𝑋, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎 + 𝑐) − 𝑎)))
29	4, 12, 13, 14, 15, 16, 28	sylow3lem1 19721	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
30		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐾) = (𝐺 ↾s 𝐾)
31	30	gasubg 19396	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) ∈ ((𝐺 ↾s 𝐾) GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
32	29, 3, 31	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) ∈ ((𝐺 ↾s 𝐾) GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
33	11, 32	eqeltrrd 2866	1 ⊢ (𝜑 → ⊕ ∈ ((𝐺 ↾s 𝐾) GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661  ran crn 5664   ↾ cres 5665  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  Fincfn 8945  ℙcprime 16747  Basecbs 17287   ↾_s cress 17308  +_gcplusg 17328  Grpcgrp 19024  -_gcsg 19026  SubGrpcsubg 19210   GrpAct cga 19383   pSyl cslw 19621

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-disj 5079  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-ec 8698  df-qs 8702  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-dju 9899  df-card 9937  df-acn 9940  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-fl 13839  df-mod 13917  df-seq 14052  df-exp 14112  df-fac 14324  df-bc 14353  df-hash 14381  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-clim 15559  df-sum 15758  df-dvds 16329  df-gcd 16571  df-prm 16748  df-pc 16915  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-0g 17512  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-submnd 18866  df-grp 19027  df-minusg 19028  df-sbg 19029  df-mulg 19158  df-subg 19213  df-eqg 19215  df-ghm 19308  df-ga 19384  df-od 19622  df-pgp 19624  df-slw 19625

This theorem is used by:  sylow3lem6  19726