Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnrnvc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnrnvc 23754
 Description: The module of complex numbers (as a module over itself) is a normed vector space over itself. The vector operation is +, and the scalar product is ·, and the norm function is abs. (Contributed by AV, 9-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
cnrnvc.c 𝐶 = (ringLMod‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
cnrnvc 𝐶 ∈ NrmVec

Proof of Theorem cnrnvc
StepHypRef Expression
1 cnnrg 23377 . 2 fld ∈ NrmRing
2 cndrng 20562 . 2 fld ∈ DivRing
3 cnrnvc.c . . 3 𝐶 = (ringLMod‘ℂfld)
4 rlmnvc 23300 . . 3 ((ℂfld ∈ NrmRing ∧ ℂfld ∈ DivRing) → (ringLMod‘ℂfld) ∈ NrmVec)
53, 4eqeltrid 2920 . 2 ((ℂfld ∈ NrmRing ∧ ℂfld ∈ DivRing) → 𝐶 ∈ NrmVec)
61, 2, 5mp2an 691 1 𝐶 ∈ NrmVec
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ‘cfv 6338  DivRingcdr 19490  ringLModcrglmod 19929  ℂfldccnfld 20533  NrmRingcnrg 23177  NrmVeccnvc 23179 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601  ax-pre-sup 10602  ax-addf 10603  ax-mulf 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-tpos 7877  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-sup 8892  df-inf 8893  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-div 11285  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ico 12732  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-rest 16687  df-topn 16688  df-0g 16706  df-topgen 16708  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-subg 18267  df-cmn 18899  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-cring 19291  df-oppr 19364  df-dvdsr 19382  df-unit 19383  df-invr 19413  df-dvr 19424  df-drng 19492  df-subrg 19521  df-abv 19576  df-lmod 19624  df-lvec 19863  df-sra 19932  df-rgmod 19933  df-psmet 20525  df-xmet 20526  df-met 20527  df-bl 20528  df-mopn 20529  df-cnfld 20534  df-top 21490  df-topon 21507  df-topsp 21529  df-bases 21542  df-xms 22918  df-ms 22919  df-nm 23180  df-ngp 23181  df-nrg 23183  df-nlm 23184  df-nvc 23185 This theorem is referenced by:  cnncvs  23755
 Copyright terms: Public domain W3C validator