Theorem dihcnvord 37861

Description: Ordering property for converse of isomorphism H. (Contributed by NM, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihcnvord.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihcnvord.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihcnvord.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihcnvord.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihcnvord.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihcnvord.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dihcnvord	⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘𝑋) ≤ (◡𝐼‘𝑌) ↔ 𝑋 ⊆ 𝑌))

Proof of Theorem dihcnvord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihcnvord.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dihcnvord.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
3		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		dihcnvord.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dihcnvord.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6	3, 4, 5	dihcnvcl 37858	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
7	1, 2, 6	syl2anc 576	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
8		dihcnvord.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)
9	3, 4, 5	dihcnvcl 37858	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
10	1, 8, 9	syl2anc 576	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
11		dihcnvord.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
12	3, 11, 4, 5	dihord 37851	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ⊆ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌)) ↔ (◡𝐼‘𝑋) ≤ (◡𝐼‘𝑌)))
13	1, 7, 10, 12	syl3anc 1351	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ⊆ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌)) ↔ (◡𝐼‘𝑋) ≤ (◡𝐼‘𝑌)))
14	4, 5	dihcnvid2 37860	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
15	1, 2, 14	syl2anc 576	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
16	4, 5	dihcnvid2 37860	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌)) = 𝑌)
17	1, 8, 16	syl2anc 576	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌)) = 𝑌)
18	15, 17	sseq12d 3890	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ⊆ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌)) ↔ 𝑋 ⊆ 𝑌))
19	13, 18	bitr3d 273	1 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘𝑋) ≤ (◡𝐼‘𝑌) ↔ 𝑋 ⊆ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ⊆ wss 3829   class class class wbr 4929  ^◡ccnv 5406  ran crn 5408  ‘cfv 6188  Basecbs 16339  lecple 16428  HLchlt 35937  LHypclh 36571  DIsoHcdih 37815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-riotaBAD 35540

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-tpos 7695  df-undef 7742  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-fz 12709  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-0g 16571  df-proset 17396  df-poset 17414  df-plt 17426  df-lub 17442  df-glb 17443  df-join 17444  df-meet 17445  df-p0 17507  df-p1 17508  df-lat 17514  df-clat 17576  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-submnd 17804  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-sbg 17896  df-subg 18060  df-cntz 18218  df-lsm 18522  df-cmn 18668  df-abl 18669  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-oppr 19096  df-dvdsr 19114  df-unit 19115  df-invr 19145  df-dvr 19156  df-drng 19227  df-lmod 19358  df-lss 19426  df-lsp 19466  df-lvec 19597  df-oposet 35763  df-ol 35765  df-oml 35766  df-covers 35853  df-ats 35854  df-atl 35885  df-cvlat 35909  df-hlat 35938  df-llines 36085  df-lplanes 36086  df-lvols 36087  df-lines 36088  df-psubsp 36090  df-pmap 36091  df-padd 36383  df-lhyp 36575  df-laut 36576  df-ldil 36691  df-ltrn 36692  df-trl 36746  df-tendo 37342  df-edring 37344  df-disoa 37616  df-dvech 37666  df-dib 37726  df-dic 37760  df-dih 37816

This theorem is referenced by:  dihoml4c  37963  djhcvat42  38002