Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihcnv11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihcnv11 39551
Description: The converse of isomorphism H is one-to-one. (Contributed by NM, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihcnv11.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihcnv11.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihcnv11.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dihcnv11.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihcnv11.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ran 𝐼)
Assertion
Ref Expression
dihcnv11 (πœ‘ β†’ ((β—‘πΌβ€˜π‘‹) = (β—‘πΌβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))

Proof of Theorem dihcnv11
StepHypRef Expression
1 dihcnv11.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 dihcnv11.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝐼)
3 eqid 2736 . . . . 5 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
4 dihcnv11.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 dihcnv11.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
63, 4, 5dihcnvcl 39547 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
71, 2, 6syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
8 dihcnv11.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ran 𝐼)
93, 4, 5dihcnvcl 39547 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼) β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
101, 8, 9syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
113, 4, 5dih11 39541 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) = (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘Œ)) ↔ (β—‘πΌβ€˜π‘‹) = (β—‘πΌβ€˜π‘Œ)))
121, 7, 10, 11syl3anc 1370 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) = (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘Œ)) ↔ (β—‘πΌβ€˜π‘‹) = (β—‘πΌβ€˜π‘Œ)))
134, 5dihcnvid2 39549 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
141, 2, 13syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
154, 5dihcnvid2 39549 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼) β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘Œ)) = π‘Œ)
161, 8, 15syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘Œ)) = π‘Œ)
1714, 16eqeq12d 2752 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) = (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘Œ)) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
1812, 17bitr3d 280 1 (πœ‘ β†’ ((β—‘πΌβ€˜π‘‹) = (β—‘πΌβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  β—‘ccnv 5619  ran crn 5621  β€˜cfv 6479  Basecbs 17009  HLchlt 37625  LHypclh 38260  DIsoHcdih 39504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-riotaBAD 37228
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-tpos 8112  df-undef 8159  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-0g 17249  df-proset 18110  df-poset 18128  df-plt 18145  df-lub 18161  df-glb 18162  df-join 18163  df-meet 18164  df-p0 18240  df-p1 18241  df-lat 18247  df-clat 18314  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-submnd 18528  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-sbg 18678  df-subg 18848  df-cntz 19019  df-lsm 19337  df-cmn 19483  df-abl 19484  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-ring 19880  df-oppr 19957  df-dvdsr 19978  df-unit 19979  df-invr 20009  df-dvr 20020  df-drng 20095  df-lmod 20231  df-lss 20300  df-lsp 20340  df-lvec 20471  df-oposet 37451  df-ol 37453  df-oml 37454  df-covers 37541  df-ats 37542  df-atl 37573  df-cvlat 37597  df-hlat 37626  df-llines 37774  df-lplanes 37775  df-lvols 37776  df-lines 37777  df-psubsp 37779  df-pmap 37780  df-padd 38072  df-lhyp 38264  df-laut 38265  df-ldil 38380  df-ltrn 38381  df-trl 38435  df-tendo 39031  df-edring 39033  df-disoa 39305  df-dvech 39355  df-dib 39415  df-dic 39449  df-dih 39505
This theorem is referenced by:  dih0sb  39561  dihoml4c  39652
  Copyright terms: Public domain W3C validator