Theorem dihcnv11 41904

Description: The converse of isomorphism H is one-to-one. (Contributed by NM, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihcnv11.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihcnv11.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihcnv11.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihcnv11.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihcnv11.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dihcnv11	⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘𝑋) = (◡𝐼‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem dihcnv11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihcnv11.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dihcnv11.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
3		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		dihcnv11.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dihcnv11.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6	3, 4, 5	dihcnvcl 41900	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
7	1, 2, 6	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
8		dihcnv11.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)
9	3, 4, 5	dihcnvcl 41900	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
10	1, 8, 9	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
11	3, 4, 5	dih11 41894	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌)) ↔ (◡𝐼‘𝑋) = (◡𝐼‘𝑌)))
12	1, 7, 10, 11	syl3anc 1392	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌)) ↔ (◡𝐼‘𝑋) = (◡𝐼‘𝑌)))
13	4, 5	dihcnvid2 41902	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
14	1, 2, 13	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
15	4, 5	dihcnvid2 41902	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌)) = 𝑌)
16	1, 8, 15	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌)) = 𝑌)
17	14, 16	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌)) ↔ 𝑋 = 𝑌))
18	12, 17	bitr3d 283	1 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘𝑋) = (◡𝐼‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ^◡ccnv 5647  ran crn 5649  ‘cfv 6521  Basecbs 17255  HLchlt 39979  LHypclh 40613  DIsoHcdih 41857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161  ax-riotaBAD 39582

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-n0 12492  df-z 12579  df-uz 12850  df-fz 13523  df-struct 17193  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-ress 17277  df-plusg 17309  df-mulr 17310  df-sca 17312  df-vsca 17313  df-0g 17480  df-proset 18336  df-poset 18355  df-plt 18370  df-lub 18386  df-glb 18387  df-join 18388  df-meet 18389  df-p0 18465  df-p1 18466  df-lat 18474  df-clat 18541  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-submnd 18828  df-grp 18988  df-minusg 18989  df-sbg 18990  df-subg 19175  df-cntz 19367  df-lsm 19686  df-cmn 19832  df-abl 19833  df-mgp 20197  df-rng 20209  df-ur 20242  df-ring 20295  df-oppr 20396  df-dvdsr 20416  df-unit 20417  df-invr 20447  df-dvr 20460  df-drng 20790  df-lmod 20936  df-lss 21006  df-lsp 21046  df-lvec 21177  df-oposet 39805  df-ol 39807  df-oml 39808  df-covers 39895  df-ats 39896  df-atl 39927  df-cvlat 39951  df-hlat 39980  df-llines 40127  df-lplanes 40128  df-lvols 40129  df-lines 40130  df-psubsp 40132  df-pmap 40133  df-padd 40425  df-lhyp 40617  df-laut 40618  df-ldil 40733  df-ltrn 40734  df-trl 40788  df-tendo 41384  df-edring 41386  df-disoa 41658  df-dvech 41708  df-dib 41768  df-dic 41802  df-dih 41858

This theorem is referenced by:  dih0sb  41914  dihoml4c  42005