Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihcnv11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihcnv11 38570
 Description: The converse of isomorphism H is one-to-one. (Contributed by NM, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihcnv11.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihcnv11.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihcnv11.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dihcnv11.x (𝜑𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihcnv11.y (𝜑𝑌 ∈ ran 𝐼)
Assertion
Ref Expression
dihcnv11 (𝜑 → ((𝐼𝑋) = (𝐼𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem dihcnv11
StepHypRef Expression
1 dihcnv11.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dihcnv11.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ran 𝐼)
3 eqid 2801 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 dihcnv11.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 dihcnv11.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
63, 4, 5dihcnvcl 38566 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
71, 2, 6syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝐼𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
8 dihcnv11.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ran 𝐼)
93, 4, 5dihcnvcl 38566 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → (𝐼𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
101, 8, 9syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝐼𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
113, 4, 5dih11 38560 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐼𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐼𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘(𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝐼𝑌)) ↔ (𝐼𝑋) = (𝐼𝑌)))
121, 7, 10, 11syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → ((𝐼‘(𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝐼𝑌)) ↔ (𝐼𝑋) = (𝐼𝑌)))
134, 5dihcnvid2 38568 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(𝐼𝑋)) = 𝑋)
141, 2, 13syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘(𝐼𝑋)) = 𝑋)
154, 5dihcnvid2 38568 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(𝐼𝑌)) = 𝑌)
161, 8, 15syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘(𝐼𝑌)) = 𝑌)
1714, 16eqeq12d 2817 . 2 (𝜑 → ((𝐼‘(𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝐼𝑌)) ↔ 𝑋 = 𝑌))
1812, 17bitr3d 284 1 (𝜑 → ((𝐼𝑋) = (𝐼𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ◡ccnv 5522  ran crn 5524  ‘cfv 6328  Basecbs 16479  HLchlt 36645  LHypclh 37279  DIsoHcdih 38523 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-riotaBAD 36248 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-undef 7926  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-0g 16711  df-proset 17534  df-poset 17552  df-plt 17564  df-lub 17580  df-glb 17581  df-join 17582  df-meet 17583  df-p0 17645  df-p1 17646  df-lat 17652  df-clat 17714  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-subg 18272  df-cntz 18443  df-lsm 18757  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-dvr 19433  df-drng 19501  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-lsp 19741  df-lvec 19872  df-oposet 36471  df-ol 36473  df-oml 36474  df-covers 36561  df-ats 36562  df-atl 36593  df-cvlat 36617  df-hlat 36646  df-llines 36793  df-lplanes 36794  df-lvols 36795  df-lines 36796  df-psubsp 36798  df-pmap 36799  df-padd 37091  df-lhyp 37283  df-laut 37284  df-ldil 37399  df-ltrn 37400  df-trl 37454  df-tendo 38050  df-edring 38052  df-disoa 38324  df-dvech 38374  df-dib 38434  df-dic 38468  df-dih 38524 This theorem is referenced by:  dih0sb  38580  dihoml4c  38671
 Copyright terms: Public domain W3C validator