Theorem dihcnv11 41264

Description: The converse of isomorphism H is one-to-one. (Contributed by NM, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihcnv11.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihcnv11.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihcnv11.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihcnv11.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihcnv11.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dihcnv11	⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘𝑋) = (◡𝐼‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem dihcnv11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihcnv11.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dihcnv11.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		dihcnv11.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dihcnv11.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6	3, 4, 5	dihcnvcl 41260	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
7	1, 2, 6	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
8		dihcnv11.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)
9	3, 4, 5	dihcnvcl 41260	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
10	1, 8, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
11	3, 4, 5	dih11 41254	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌)) ↔ (◡𝐼‘𝑋) = (◡𝐼‘𝑌)))
12	1, 7, 10, 11	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌)) ↔ (◡𝐼‘𝑋) = (◡𝐼‘𝑌)))
13	4, 5	dihcnvid2 41262	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
14	1, 2, 13	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
15	4, 5	dihcnvid2 41262	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌)) = 𝑌)
16	1, 8, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌)) = 𝑌)
17	14, 16	eqeq12d 2745	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌)) ↔ 𝑋 = 𝑌))
18	12, 17	bitr3d 281	1 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘𝑋) = (◡𝐼‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ^◡ccnv 5630  ran crn 5632  ‘cfv 6500  Basecbs 17157  HLchlt 39338  LHypclh 39973  DIsoHcdih 41217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7692  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-riotaBAD 38941

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6453  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7824  df-1st 7948  df-2nd 7949  df-tpos 8183  df-undef 8230  df-frecs 8238  df-wrecs 8269  df-recs 8318  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8649  df-map 8779  df-en 8897  df-dom 8898  df-sdom 8899  df-fin 8900  df-pnf 11189  df-mnf 11190  df-xr 11191  df-ltxr 11192  df-le 11193  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12166  df-2 12228  df-3 12229  df-4 12230  df-5 12231  df-6 12232  df-n0 12422  df-z 12509  df-uz 12773  df-fz 13448  df-struct 17095  df-sets 17112  df-slot 17130  df-ndx 17142  df-base 17158  df-ress 17179  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-0g 17382  df-proset 18237  df-poset 18256  df-plt 18271  df-lub 18287  df-glb 18288  df-join 18289  df-meet 18290  df-p0 18366  df-p1 18367  df-lat 18375  df-clat 18442  df-mgm 18551  df-sgrp 18630  df-mnd 18646  df-submnd 18695  df-grp 18852  df-minusg 18853  df-sbg 18854  df-subg 19039  df-cntz 19233  df-lsm 19552  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20063  df-rng 20075  df-ur 20104  df-ring 20157  df-oppr 20259  df-dvdsr 20279  df-unit 20280  df-invr 20310  df-dvr 20323  df-drng 20653  df-lmod 20802  df-lss 20872  df-lsp 20912  df-lvec 21044  df-oposet 39164  df-ol 39166  df-oml 39167  df-covers 39254  df-ats 39255  df-atl 39286  df-cvlat 39310  df-hlat 39339  df-llines 39487  df-lplanes 39488  df-lvols 39489  df-lines 39490  df-psubsp 39492  df-pmap 39493  df-padd 39785  df-lhyp 39977  df-laut 39978  df-ldil 40093  df-ltrn 40094  df-trl 40148  df-tendo 40744  df-edring 40746  df-disoa 41018  df-dvech 41068  df-dib 41128  df-dic 41162  df-dih 41218

This theorem is referenced by:  dih0sb  41274  dihoml4c  41365