Theorem domnprodeq0 33580

Description: A product over a domain is zero exactly when one of the factors is zero. Generalization of domneq0 20794 for any number of factors. See also domnprodn0 33579. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
domnprodeq0.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
domnprodeq0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domnprodeq0.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domnprodeq0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
domnprodeq0.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
domnprodeq0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
domnprodeq0	⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹) = 0 ↔ 0 ∈ ran 𝐹))

Proof of Theorem domnprodeq0

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq1 5201	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)))
2		mpt0 6679	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)) = ∅
3	1, 2	eqtrdi 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = ∅)
4	3	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑀 Σg ∅))
5	4	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ (𝑀 Σg ∅) = 0 ))
6	3	rneqd 5930	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = ran ∅)
7	6	eleq2d 2849	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↔ 0 ∈ ran ∅))
8	5, 7	bibi12d 348	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) ↔ ((𝑀 Σg ∅) = 0 ↔ 0 ∈ ran ∅)))
9		mpteq1 5201	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))
10	9	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))))
11	10	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ))
12	9	rneqd 5930	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))
13	12	eleq2d 2849	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))))
14	11, 13	bibi12d 348	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) ↔ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))))
15		mpteq1 5201	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))
16	15	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))))
17	16	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ))
18	15	rneqd 5930	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))
19	18	eleq2d 2849	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))))
20	17, 19	bibi12d 348	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) ↔ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))))
21		mpteq1 5201	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
22	21	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
23	22	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ))
24	21	rneqd 5930	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
25	24	eleq2d 2849	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
26	23, 25	bibi12d 348	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) ↔ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))))
27		domnprodeq0.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
28		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
29	27, 28	ringidval 20266	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
30	29	gsum0 18743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = (1r‘𝑅)
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg ∅) = (1r‘𝑅))
32		domnprodeq0.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
33	32	idomdomd 20811	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
34		domnnzr 20792	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
35		domnprodeq0.1	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
36	28, 35	nzrnz 20599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
37	33, 34, 36	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
38	31, 37	eqnetrd 3025	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 )
39	38	neneqd 2963	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀 Σg ∅) = 0 )
40		noel 4292	. . . . . 6 ⊢ ¬ 0 ∈ ∅
41		rn0 5918	. . . . . . 7 ⊢ ran ∅ = ∅
42	41	eleq2i 2855	. . . . . 6 ⊢ ( 0 ∈ ran ∅ ↔ 0 ∈ ∅)
43	40, 42	mtbir 326	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 ∈ ran ∅
44	43	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran ∅)
45	39, 44	2falsed 379	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg ∅) = 0 ↔ 0 ∈ ran ∅))
46		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))))
47	46	orbi1d 929	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 ) ↔ ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)) ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 )))
48		domnprodeq0.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
49	27, 48	mgpbas 20222	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
50		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
51	27, 50	mgpplusg 20221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
52	32	idomcringd 20812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
53	27	crngmgp 20324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
54	52, 53	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
55	54	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑀 ∈ CMnd)
56		domnprodeq0.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
57	56	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝐴 ∈ Fin)
58		simplr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
59	57, 58	ssfid 9230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑏 ∈ Fin)
60		domnprodeq0.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
61	60	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
62	58	sselda 3938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝑘 ∈ 𝐴)
63	61, 62	ffvelcdmd 7082	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
64		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
65	64	eldifbd 3919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → ¬ 𝑙 ∈ 𝑏)
66	60	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
67	64	eldifad 3918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑙 ∈ 𝐴)
68	66, 67	ffvelcdmd 7082	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝐹‘𝑙) ∈ 𝐵)
69		fveq2 6883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑙))
70	49, 51, 55, 59, 63, 64, 65, 68, 69	gsumunsn 20031	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑙)))
71	70	eqeq1d 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑙)) = 0 ))
72	33	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑅 ∈ Domn)
73	63	ralrimiva 3157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → ∀𝑘 ∈ 𝑏 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
74	49, 55, 59, 73	gsummptcl 20038	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ 𝐵)
75	48, 50, 35	domneq0 20794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑙) ∈ 𝐵) → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑙)) = 0 ↔ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 )))
76	72, 74, 68, 75	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑙)) = 0 ↔ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 )))
77	71, 76	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 )))
78	77	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 )))
79		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))
80		fvex 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘𝑘) ∈ V
81	79, 80	elrnmpti 5954	. . . . . . . 8 ⊢ ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) 0 = (𝐹‘𝑘))
82		rexun 4150	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) 0 = (𝐹‘𝑘) ↔ (∃𝑘 ∈ 𝑏 0 = (𝐹‘𝑘) ∨ ∃𝑘 ∈ {𝑙} 0 = (𝐹‘𝑘)))
83		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))
84	83, 80	elrnmpti 5954	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑏 0 = (𝐹‘𝑘))
85	84	bicomi 227	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑏 0 = (𝐹‘𝑘) ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))
86		vex 3459	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑙 ∈ V
87	69	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → ( 0 = (𝐹‘𝑘) ↔ 0 = (𝐹‘𝑙)))
88		eqcom 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( 0 = (𝐹‘𝑙) ↔ (𝐹‘𝑙) = 0 )
89	87, 88	bitrdi 290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → ( 0 = (𝐹‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑙) = 0 ))
90	86, 89	rexsn 4649	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑘 ∈ {𝑙} 0 = (𝐹‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑙) = 0 )
91	85, 90	orbi12i 927	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑘 ∈ 𝑏 0 = (𝐹‘𝑘) ∨ ∃𝑘 ∈ {𝑙} 0 = (𝐹‘𝑘)) ↔ ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)) ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 ))
92	81, 82, 91	3bitri 300	. . . . . . 7 ⊢ ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)) ↔ ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)) ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 ))
93	92	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) → ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)) ↔ ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)) ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 )))
94	47, 78, 93	3bitr4d 314	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))))
95	94	ex 417	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))))
96	95	anasss 471	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))))
97	8, 14, 20, 26, 45, 96, 56	findcard2d 9152	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
98	60	feqmptd 6951	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
99	98	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
100	99	eqeq1d 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹) = 0 ↔ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ))
101	98	rneqd 5930	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
102	101	eleq2d 2849	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 ∈ ran 𝐹 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
103	97, 100, 102	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹) = 0 ↔ 0 ∈ ran 𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  {csn 4590   ↦ cmpt 5193  ran crn 5664  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Fincfn 8944  Basecbs 17270  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17493   Σ_g cgsu 17494  CMndccmn 19851  mulGrpcmgp 20217  1_rcur 20264  CRingccrg 20317  NzRingcnzr 20596  Domncdomn 20778  IDomncidom 20779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-hash 14369  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-cring 20319  df-nzr 20597  df-domn 20781  df-idom 20782

This theorem is referenced by:  deg1prod  33854