Theorem domnprodeq0 33369

Description: A product over a domain is zero exactly when one of the factors is zero. Generalization of domneq0 20653 for any number of factors. See also domnprodn0 33368. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
domnprodeq0.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
domnprodeq0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domnprodeq0.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domnprodeq0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
domnprodeq0.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
domnprodeq0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
domnprodeq0	⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹) = 0 ↔ 0 ∈ ran 𝐹))

Proof of Theorem domnprodeq0

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq1 5189	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)))
2		mpt0 6642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)) = ∅
3	1, 2	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = ∅)
4	3	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑀 Σg ∅))
5	4	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ (𝑀 Σg ∅) = 0 ))
6	3	rneqd 5895	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = ran ∅)
7	6	eleq2d 2823	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↔ 0 ∈ ran ∅))
8	5, 7	bibi12d 345	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) ↔ ((𝑀 Σg ∅) = 0 ↔ 0 ∈ ran ∅)))
9		mpteq1 5189	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))
10	9	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))))
11	10	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ))
12	9	rneqd 5895	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))
13	12	eleq2d 2823	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))))
14	11, 13	bibi12d 345	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) ↔ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))))
15		mpteq1 5189	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))
16	15	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))))
17	16	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ))
18	15	rneqd 5895	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))
19	18	eleq2d 2823	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))))
20	17, 19	bibi12d 345	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) ↔ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))))
21		mpteq1 5189	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
22	21	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
23	22	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ))
24	21	rneqd 5895	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
25	24	eleq2d 2823	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
26	23, 25	bibi12d 345	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) ↔ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))))
27		domnprodeq0.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
28		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
29	27, 28	ringidval 20130	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
30	29	gsum0 18621	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = (1r‘𝑅)
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg ∅) = (1r‘𝑅))
32		domnprodeq0.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
33	32	idomdomd 20671	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
34		domnnzr 20651	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
35		domnprodeq0.1	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
36	28, 35	nzrnz 20460	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
37	33, 34, 36	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
38	31, 37	eqnetrd 3000	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 )
39	38	neneqd 2938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀 Σg ∅) = 0 )
40		noel 4292	. . . . . 6 ⊢ ¬ 0 ∈ ∅
41		rn0 5883	. . . . . . 7 ⊢ ran ∅ = ∅
42	41	eleq2i 2829	. . . . . 6 ⊢ ( 0 ∈ ran ∅ ↔ 0 ∈ ∅)
43	40, 42	mtbir 323	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 ∈ ran ∅
44	43	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran ∅)
45	39, 44	2falsed 376	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg ∅) = 0 ↔ 0 ∈ ran ∅))
46		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))))
47	46	orbi1d 917	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 ) ↔ ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)) ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 )))
48		domnprodeq0.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
49	27, 48	mgpbas 20092	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
50		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
51	27, 50	mgpplusg 20091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
52	32	idomcringd 20672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
53	27	crngmgp 20188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
55	54	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑀 ∈ CMnd)
56		domnprodeq0.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
57	56	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝐴 ∈ Fin)
58		simplr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
59	57, 58	ssfid 9181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑏 ∈ Fin)
60		domnprodeq0.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
61	60	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
62	58	sselda 3935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝑘 ∈ 𝐴)
63	61, 62	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
64		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
65	64	eldifbd 3916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → ¬ 𝑙 ∈ 𝑏)
66	60	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
67	64	eldifad 3915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑙 ∈ 𝐴)
68	66, 67	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝐹‘𝑙) ∈ 𝐵)
69		fveq2 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑙))
70	49, 51, 55, 59, 63, 64, 65, 68, 69	gsumunsn 19901	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑙)))
71	70	eqeq1d 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑙)) = 0 ))
72	33	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑅 ∈ Domn)
73	63	ralrimiva 3130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → ∀𝑘 ∈ 𝑏 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
74	49, 55, 59, 73	gsummptcl 19908	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ 𝐵)
75	48, 50, 35	domneq0 20653	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑙) ∈ 𝐵) → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑙)) = 0 ↔ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 )))
76	72, 74, 68, 75	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑙)) = 0 ↔ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 )))
77	71, 76	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 )))
78	77	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 )))
79		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))
80		fvex 6855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘𝑘) ∈ V
81	79, 80	elrnmpti 5919	. . . . . . . 8 ⊢ ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) 0 = (𝐹‘𝑘))
82		rexun 4150	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) 0 = (𝐹‘𝑘) ↔ (∃𝑘 ∈ 𝑏 0 = (𝐹‘𝑘) ∨ ∃𝑘 ∈ {𝑙} 0 = (𝐹‘𝑘)))
83		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))
84	83, 80	elrnmpti 5919	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑏 0 = (𝐹‘𝑘))
85	84	bicomi 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑏 0 = (𝐹‘𝑘) ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))
86		vex 3446	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑙 ∈ V
87	69	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → ( 0 = (𝐹‘𝑘) ↔ 0 = (𝐹‘𝑙)))
88		eqcom 2744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( 0 = (𝐹‘𝑙) ↔ (𝐹‘𝑙) = 0 )
89	87, 88	bitrdi 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → ( 0 = (𝐹‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑙) = 0 ))
90	86, 89	rexsn 4641	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑘 ∈ {𝑙} 0 = (𝐹‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑙) = 0 )
91	85, 90	orbi12i 915	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑘 ∈ 𝑏 0 = (𝐹‘𝑘) ∨ ∃𝑘 ∈ {𝑙} 0 = (𝐹‘𝑘)) ↔ ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)) ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 ))
92	81, 82, 91	3bitri 297	. . . . . . 7 ⊢ ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)) ↔ ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)) ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 ))
93	92	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) → ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)) ↔ ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)) ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 )))
94	47, 78, 93	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))))
95	94	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))))
96	95	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))))
97	8, 14, 20, 26, 45, 96, 56	findcard2d 9103	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
98	60	feqmptd 6910	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
99	98	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
100	99	eqeq1d 2739	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹) = 0 ↔ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ))
101	98	rneqd 5895	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
102	101	eleq2d 2823	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 ∈ ran 𝐹 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
103	97, 100, 102	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹) = 0 ↔ 0 ∈ ran 𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  {csn 4582   ↦ cmpt 5181  ran crn 5633  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  Basecbs 17148  ._rcmulr 17190  0_gc0g 17371   Σ_g cgsu 17372  CMndccmn 19721  mulGrpcmgp 20087  1_rcur 20128  CRingccrg 20181  NzRingcnzr 20457  Domncdomn 20637  IDomncidom 20638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-nzr 20458  df-domn 20640  df-idom 20641

This theorem is referenced by:  deg1prod  33675