Theorem domnprodeq0 33833

Description: A product over a domain is zero exactly when one of the factors is zero. Generalization of domneq0 20953 for any number of factors. See also domnprodn0 33832. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
domnprodeq0.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
domnprodeq0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domnprodeq0.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domnprodeq0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
domnprodeq0.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
domnprodeq0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
domnprodeq0	⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹) = 0 ↔ 0 ∈ ran 𝐹))

Proof of Theorem domnprodeq0

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq1 5194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)))
2		mpt0 6679	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)) = ∅
3	1, 2	eqtrdi 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = ∅)
4	3	oveq2d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑀 Σg ∅))
5	4	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ (𝑀 Σg ∅) = 0 ))
6	3	rneqd 5920	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = ran ∅)
7	6	eleq2d 2847	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↔ 0 ∈ ran ∅))
8	5, 7	bibi12d 348	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) ↔ ((𝑀 Σg ∅) = 0 ↔ 0 ∈ ran ∅)))
9		mpteq1 5194	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))
10	9	oveq2d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))))
11	10	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ))
12	9	rneqd 5920	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))
13	12	eleq2d 2847	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))))
14	11, 13	bibi12d 348	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) ↔ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))))
15		mpteq1 5194	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))
16	15	oveq2d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))))
17	16	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ))
18	15	rneqd 5920	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))
19	18	eleq2d 2847	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))))
20	17, 19	bibi12d 348	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) ↔ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))))
21		mpteq1 5194	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
22	21	oveq2d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
23	22	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ))
24	21	rneqd 5920	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
25	24	eleq2d 2847	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
26	23, 25	bibi12d 348	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) ↔ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))))
27		domnprodeq0.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
28		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
29	27, 28	ringidval 20402	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
30	29	gsum0 18866	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = (1r‘𝑅)
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg ∅) = (1r‘𝑅))
32		domnprodeq0.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
33	32	idomdomd 20970	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
34		domnnzr 20951	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
35		domnprodeq0.1	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
36	28, 35	nzrnz 20758	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
37	33, 34, 36	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
38	31, 37	eqnetrd 3023	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 )
39	38	neneqd 2961	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀 Σg ∅) = 0 )
40		noel 4284	. . . . . 6 ⊢ ¬ 0 ∈ ∅
41		rn0 5908	. . . . . . 7 ⊢ ran ∅ = ∅
42	41	eleq2i 2853	. . . . . 6 ⊢ ( 0 ∈ ran ∅ ↔ 0 ∈ ∅)
43	40, 42	mtbir 326	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 ∈ ran ∅
44	43	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran ∅)
45	39, 44	2falsed 379	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg ∅) = 0 ↔ 0 ∈ ran ∅))
46		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))))
47	46	orbi1d 930	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 ) ↔ ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)) ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 )))
48		domnprodeq0.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
49	27, 48	mgpbas 20358	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
50		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
51	27, 50	mgpplusg 20357	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
52	32	idomcringd 20971	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
53	27	crngmgp 20460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
54	52, 53	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
55	54	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑀 ∈ CMnd)
56		domnprodeq0.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
57	56	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝐴 ∈ Fin)
58		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
59	57, 58	ssfid 9253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑏 ∈ Fin)
60		domnprodeq0.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
61	60	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
62	58	sselda 3931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝑘 ∈ 𝐴)
63	61, 62	ffvelcdmd 7083	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
64		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
65	64	eldifbd 3912	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → ¬ 𝑙 ∈ 𝑏)
66	60	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
67	64	eldifad 3911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑙 ∈ 𝐴)
68	66, 67	ffvelcdmd 7083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝐹‘𝑙) ∈ 𝐵)
69		fveq2 6883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑙))
70	49, 51, 55, 59, 63, 64, 65, 68, 69	gsumunsn 20167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑙)))
71	70	eqeq1d 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑙)) = 0 ))
72	33	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑅 ∈ Domn)
73	63	ralrimiva 3155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → ∀𝑘 ∈ 𝑏 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
74	49, 55, 59, 73	gsummptcl 20174	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ 𝐵)
75	48, 50, 35	domneq0 20953	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑙) ∈ 𝐵) → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑙)) = 0 ↔ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 )))
76	72, 74, 68, 75	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑙)) = 0 ↔ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 )))
77	71, 76	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 )))
78	77	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 )))
79		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))
80		fvex 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘𝑘) ∈ V
81	79, 80	elrnmpti 5944	. . . . . . . 8 ⊢ ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) 0 = (𝐹‘𝑘))
82		rexun 4142	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) 0 = (𝐹‘𝑘) ↔ (∃𝑘 ∈ 𝑏 0 = (𝐹‘𝑘) ∨ ∃𝑘 ∈ {𝑙} 0 = (𝐹‘𝑘)))
83		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))
84	83, 80	elrnmpti 5944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑏 0 = (𝐹‘𝑘))
85	84	bicomi 227	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑏 0 = (𝐹‘𝑘) ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))
86		vex 3455	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑙 ∈ V
87	69	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → ( 0 = (𝐹‘𝑘) ↔ 0 = (𝐹‘𝑙)))
88		eqcom 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( 0 = (𝐹‘𝑙) ↔ (𝐹‘𝑙) = 0 )
89	87, 88	bitrdi 290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → ( 0 = (𝐹‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑙) = 0 ))
90	86, 89	rexsn 4643	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑘 ∈ {𝑙} 0 = (𝐹‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑙) = 0 )
91	85, 90	orbi12i 928	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑘 ∈ 𝑏 0 = (𝐹‘𝑘) ∨ ∃𝑘 ∈ {𝑙} 0 = (𝐹‘𝑘)) ↔ ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)) ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 ))
92	81, 82, 91	3bitri 300	. . . . . . 7 ⊢ ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)) ↔ ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)) ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 ))
93	92	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) → ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)) ↔ ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)) ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 )))
94	47, 78, 93	3bitr4d 314	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))))
95	94	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))))
96	95	anasss 472	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))))
97	8, 14, 20, 26, 45, 96, 56	findcard2d 9175	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
98	60	feqmptd 6951	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
99	98	oveq2d 7434	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
100	99	eqeq1d 2763	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹) = 0 ↔ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ))
101	98	rneqd 5920	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
102	101	eleq2d 2847	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 ∈ ran 𝐹 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
103	97, 100, 102	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹) = 0 ↔ 0 ∈ ran 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584   ↦ cmpt 5186  ran crn 5652  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Fincfn 8966  Basecbs 17380  ._rcmulr 17422  0_gc0g 17603   Σ_g cgsu 17604  CMndccmn 19987  mulGrpcmgp 20353  1_rcur 20400  CRingccrg 20453  NzRingcnzr 20755  Domncdomn 20937  IDomncidom 20938

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-hash 14468  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-mulg 19271  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-ring 20454  df-cring 20455  df-nzr 20756  df-domn 20940  df-idom 20941

This theorem is used by:  deg1prod  34108