Theorem domnprodeq0 33358

Description: A product over a domain is zero exactly when one of the factors is zero. Generalization of domneq0 20641 for any number of factors. See also domnprodn0 33357. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
domnprodeq0.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
domnprodeq0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domnprodeq0.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domnprodeq0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
domnprodeq0.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
domnprodeq0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
domnprodeq0	⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹) = 0 ↔ 0 ∈ ran 𝐹))

Proof of Theorem domnprodeq0

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq1 5187	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)))
2		mpt0 6634	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)) = ∅
3	1, 2	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = ∅)
4	3	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑀 Σg ∅))
5	4	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ (𝑀 Σg ∅) = 0 ))
6	3	rneqd 5887	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = ran ∅)
7	6	eleq2d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↔ 0 ∈ ran ∅))
8	5, 7	bibi12d 345	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) ↔ ((𝑀 Σg ∅) = 0 ↔ 0 ∈ ran ∅)))
9		mpteq1 5187	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))
10	9	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))))
11	10	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ))
12	9	rneqd 5887	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))
13	12	eleq2d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))))
14	11, 13	bibi12d 345	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) ↔ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))))
15		mpteq1 5187	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))
16	15	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))))
17	16	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ))
18	15	rneqd 5887	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))
19	18	eleq2d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))))
20	17, 19	bibi12d 345	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) ↔ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))))
21		mpteq1 5187	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
22	21	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
23	22	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ))
24	21	rneqd 5887	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
25	24	eleq2d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
26	23, 25	bibi12d 345	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) ↔ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))))
27		domnprodeq0.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
28		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
29	27, 28	ringidval 20118	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
30	29	gsum0 18609	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = (1r‘𝑅)
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg ∅) = (1r‘𝑅))
32		domnprodeq0.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
33	32	idomdomd 20659	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
34		domnnzr 20639	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
35		domnprodeq0.1	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
36	28, 35	nzrnz 20448	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
37	33, 34, 36	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
38	31, 37	eqnetrd 2999	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 )
39	38	neneqd 2937	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀 Σg ∅) = 0 )
40		noel 4290	. . . . . 6 ⊢ ¬ 0 ∈ ∅
41		rn0 5875	. . . . . . 7 ⊢ ran ∅ = ∅
42	41	eleq2i 2828	. . . . . 6 ⊢ ( 0 ∈ ran ∅ ↔ 0 ∈ ∅)
43	40, 42	mtbir 323	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 ∈ ran ∅
44	43	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran ∅)
45	39, 44	2falsed 376	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg ∅) = 0 ↔ 0 ∈ ran ∅))
46		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))))
47	46	orbi1d 916	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 ) ↔ ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)) ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 )))
48		domnprodeq0.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
49	27, 48	mgpbas 20080	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
50		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
51	27, 50	mgpplusg 20079	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
52	32	idomcringd 20660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
53	27	crngmgp 20176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
55	54	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑀 ∈ CMnd)
56		domnprodeq0.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
57	56	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝐴 ∈ Fin)
58		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
59	57, 58	ssfid 9169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑏 ∈ Fin)
60		domnprodeq0.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
61	60	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
62	58	sselda 3933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝑘 ∈ 𝐴)
63	61, 62	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
64		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
65	64	eldifbd 3914	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → ¬ 𝑙 ∈ 𝑏)
66	60	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
67	64	eldifad 3913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑙 ∈ 𝐴)
68	66, 67	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝐹‘𝑙) ∈ 𝐵)
69		fveq2 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑙))
70	49, 51, 55, 59, 63, 64, 65, 68, 69	gsumunsn 19889	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑙)))
71	70	eqeq1d 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑙)) = 0 ))
72	33	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑅 ∈ Domn)
73	63	ralrimiva 3128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → ∀𝑘 ∈ 𝑏 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
74	49, 55, 59, 73	gsummptcl 19896	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ 𝐵)
75	48, 50, 35	domneq0 20641	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑙) ∈ 𝐵) → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑙)) = 0 ↔ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 )))
76	72, 74, 68, 75	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑙)) = 0 ↔ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 )))
77	71, 76	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 )))
78	77	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 )))
79		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))
80		fvex 6847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘𝑘) ∈ V
81	79, 80	elrnmpti 5911	. . . . . . . 8 ⊢ ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) 0 = (𝐹‘𝑘))
82		rexun 4148	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) 0 = (𝐹‘𝑘) ↔ (∃𝑘 ∈ 𝑏 0 = (𝐹‘𝑘) ∨ ∃𝑘 ∈ {𝑙} 0 = (𝐹‘𝑘)))
83		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))
84	83, 80	elrnmpti 5911	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑏 0 = (𝐹‘𝑘))
85	84	bicomi 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑏 0 = (𝐹‘𝑘) ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))
86		vex 3444	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑙 ∈ V
87	69	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → ( 0 = (𝐹‘𝑘) ↔ 0 = (𝐹‘𝑙)))
88		eqcom 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( 0 = (𝐹‘𝑙) ↔ (𝐹‘𝑙) = 0 )
89	87, 88	bitrdi 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → ( 0 = (𝐹‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑙) = 0 ))
90	86, 89	rexsn 4639	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑘 ∈ {𝑙} 0 = (𝐹‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑙) = 0 )
91	85, 90	orbi12i 914	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑘 ∈ 𝑏 0 = (𝐹‘𝑘) ∨ ∃𝑘 ∈ {𝑙} 0 = (𝐹‘𝑘)) ↔ ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)) ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 ))
92	81, 82, 91	3bitri 297	. . . . . . 7 ⊢ ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)) ↔ ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)) ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 ))
93	92	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) → ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)) ↔ ( 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)) ∨ (𝐹‘𝑙) = 0 )))
94	47, 78, 93	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))))
95	94	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))))
96	95	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → (((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))))
97	8, 14, 20, 26, 45, 96, 56	findcard2d 9091	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
98	60	feqmptd 6902	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
99	98	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
100	99	eqeq1d 2738	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹) = 0 ↔ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ))
101	98	rneqd 5887	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
102	101	eleq2d 2822	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 ∈ ran 𝐹 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
103	97, 100, 102	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹) = 0 ↔ 0 ∈ ran 𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060   ∖ cdif 3898   ∪ cun 3899   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  {csn 4580   ↦ cmpt 5179  ran crn 5625  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Fincfn 8883  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  0_gc0g 17359   Σ_g cgsu 17360  CMndccmn 19709  mulGrpcmgp 20075  1_rcur 20116  CRingccrg 20169  NzRingcnzr 20445  Domncdomn 20625  IDomncidom 20626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18998  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-nzr 20446  df-domn 20628  df-idom 20629

This theorem is referenced by:  deg1prod  33664