Theorem deg1prod 34162

Description: Degree of a product of polynomials. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1prod.1	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1prod.2	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1prod.3	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1prod.4	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
deg1prod.5	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1prod.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
deg1prod.7	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
deg1prod.8	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(𝐵 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
deg1prod	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 Σg 𝐹)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)))

Distinct variable groups:   0 ,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘)   𝑅(𝑘)

Proof of Theorem deg1prod

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1prod.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(𝐵 ∖ { 0 }))
2	1	feqmptd 6954	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
3	2	oveq2d 7437	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
4	3	fveq2d 6890	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 Σg 𝐹)) = (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))))
5		mpteq1 5193	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)))
6	5	oveq2d 7437	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))))
7	6	fveq2d 6890	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)))))
8		sumeq1 15862	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐷‘(𝐹‘𝑘)))
9	7, 8	eqeq12d 2776	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐷‘(𝐹‘𝑘))))
10		mpteq1 5193	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))
11	10	oveq2d 7437	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))))
12	11	fveq2d 6890	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))))
13		sumeq1 15862	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)))
14	12, 13	eqeq12d 2776	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))))
15		mpteq1 5193	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))
16	15	oveq2d 7437	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))))
17	16	fveq2d 6890	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))))
18		sumeq1 15862	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})(𝐷‘(𝐹‘𝑘)))
19	17, 18	eqeq12d 2776	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → ((𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})(𝐷‘(𝐹‘𝑘))))
20		mpteq1 5193	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
21	20	oveq2d 7437	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
22	21	fveq2d 6890	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))))
23		sumeq1 15862	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)))
24	22, 23	eqeq12d 2776	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))))
25		mpt0 6682	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)) = ∅
26	25	oveq2i 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑀 Σg ∅)
27		deg1prod.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
28		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
29	27, 28	ringidval 20415	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑃) = (0g‘𝑀)
30	29	gsum0 18879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = (1r‘𝑃)
31	26, 30	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))) = (1r‘𝑃)
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))) = (1r‘𝑃))
33	32	fveq2d 6890	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)))) = (𝐷‘(1r‘𝑃)))
34		deg1prod.7	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
35	34	idomdomd 20983	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
36		domnring 20965	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
37		deg1prod.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
38		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
39		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
40	37, 38, 39, 28	ply1scl1 22617	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
41	35, 36, 40	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
42	41	fveq2d 6890	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (𝐷‘(1r‘𝑃)))
43	34	idomringd 20985	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
44		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
45	44, 39, 43	ringidcld 20501	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
46		domnnzr 20964	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
47		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
48	39, 47	nzrnz 20771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
49	35, 46, 48	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
50		deg1prod.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
51	50, 37, 44, 38, 47	deg1scl 26437	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐷‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = 0)
52	43, 45, 49, 51	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = 0)
53	33, 42, 52	3eqtr2d 2801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)))) = 0)
54		sum0 15893	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) = 0
55	53, 54	eqtr4di 2813	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐷‘(𝐹‘𝑘)))
56		deg1prod.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
57		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
58		deg1prod.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
59	35	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑅 ∈ Domn)
60	27, 56	mgpbas 20371	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
61	37	ply1idom 26449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑃 ∈ IDomn)
62	34, 61	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ IDomn)
63	62	idomcringd 20984	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CRing)
64	27	crngmgp 20473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
65	63, 64	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
66	65	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑀 ∈ CMnd)
67		deg1prod.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
68	67	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝐴 ∈ Fin)
69		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
70	68, 69	ssfid 9264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑏 ∈ Fin)
71	1	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝐹:𝐴⟶(𝐵 ∖ { 0 }))
72	69	sselda 3908	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝑘 ∈ 𝐴)
73	71, 72	ffvelcdmd 7086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
74	73	eldifad 4051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
75	74	ralrimiva 3154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → ∀𝑘 ∈ 𝑏 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
76	60, 66, 70, 75	gsummptcl 20187	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ 𝐵)
77		nfv 1946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)
78		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))
79	58	fvexi 6900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → 0 ∈ V)
81	1	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝐹:𝐴⟶(𝐵 ∖ { 0 }))
82		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
83	82	sselda 3908	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝑘 ∈ 𝐴)
84	81, 83	ffvelcdmd 7086	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
85		eldifsni 4749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0 )
86	84, 85	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0 )
87	86	necomd 3010	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 0 ≠ (𝐹‘𝑘))
88	77, 78, 80, 87	nelrnmpt 5948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → ¬ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))
89	62	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → 𝑃 ∈ IDomn)
90	67	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
91	90, 82	ssfid 9264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → 𝑏 ∈ Fin)
92	84	eldifad 4051	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
93	92	fmpttd 7116	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)):𝑏⟶𝐵)
94	27, 56, 58, 89, 91, 93	domnprodeq0 33887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))))
95	94	necon3abid 2991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) ≠ 0 ↔ ¬ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))))
96	88, 95	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) ≠ 0 )
97	96	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) ≠ 0 )
98	1	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝐹:𝐴⟶(𝐵 ∖ { 0 }))
99		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
100	99	eldifad 4051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑙 ∈ 𝐴)
101	98, 100	ffvelcdmd 7086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝐹‘𝑙) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
102	101	eldifad 4051	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝐹‘𝑙) ∈ 𝐵)
103		eldifsni 4749	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑙) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (𝐹‘𝑙) ≠ 0 )
104	101, 103	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝐹‘𝑙) ≠ 0 )
105	50, 37, 56, 57, 58, 59, 76, 97, 102, 104	deg1mul 26439	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝐷‘((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑃)(𝐹‘𝑙))) = ((𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) + (𝐷‘(𝐹‘𝑙))))
106	105	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐷‘((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑃)(𝐹‘𝑙))) = ((𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) + (𝐷‘(𝐹‘𝑙))))
107		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)))
108	107	oveq1d 7436	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → ((𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) + (𝐷‘(𝐹‘𝑙))) = (Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) + (𝐷‘(𝐹‘𝑙))))
109	106, 108	eqtr2d 2796	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → (Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) + (𝐷‘(𝐹‘𝑙))) = (𝐷‘((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑃)(𝐹‘𝑙))))
110		nfv 1946	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
111		nfcv 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝐷
112		nfcv 2922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝑀
113		nfcv 2922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 Σg
114		nfmpt1 5203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))
115	112, 113, 114	nfov 7451	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))
116	111, 115	nffv 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))))
117		nfcv 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑏
118	117	nfsum1 15863	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))
119	116, 118	nfeq 2935	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))
120	110, 119	nfan 1931	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)))
121		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐷‘(𝐹‘𝑙))
122	67	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → 𝐴 ∈ Fin)
123		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
124	122, 123	ssfid 9264	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → 𝑏 ∈ Fin)
125		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
126	125	eldifbd 4052	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → ¬ 𝑙 ∈ 𝑏)
127	43	ad4antr 745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝑅 ∈ Ring)
128	1	ad4antr 745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝐹:𝐴⟶(𝐵 ∖ { 0 }))
129	123	sselda 3908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝑘 ∈ 𝐴)
130	128, 129	ffvelcdmd 7086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
131	130	eldifad 4051	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
132	130, 85	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0 )
133	50, 37, 58, 56	deg1nn0cl 26412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℕ0)
134	127, 131, 132, 133	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℕ0)
135	134	nn0cnd 12673	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
136		2fveq3 6891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐷‘(𝐹‘𝑙)))
137	43	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → 𝑅 ∈ Ring)
138	1	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → 𝐹:𝐴⟶(𝐵 ∖ { 0 }))
139	125	eldifad 4051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → 𝑙 ∈ 𝐴)
140	138, 139	ffvelcdmd 7086	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐹‘𝑙) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
141	140	eldifad 4051	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐹‘𝑙) ∈ 𝐵)
142	140, 103	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐹‘𝑙) ≠ 0 )
143	50, 37, 58, 56	deg1nn0cl 26412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹‘𝑙) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑙) ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝐹‘𝑙)) ∈ ℕ0)
144	137, 141, 142, 143	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐷‘(𝐹‘𝑙)) ∈ ℕ0)
145	144	nn0cnd 12673	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐷‘(𝐹‘𝑙)) ∈ ℂ)
146	120, 121, 124, 125, 126, 135, 136, 145	fsumsplitsn 15916	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → Σ𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})(𝐷‘(𝐹‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) + (𝐷‘(𝐹‘𝑙))))
147	27, 57	mgpplusg 20370	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘𝑀)
148	99	eldifbd 4052	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → ¬ 𝑙 ∈ 𝑏)
149		fveq2 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑙))
150	60, 147, 66, 70, 74, 99, 148, 102, 149	gsumunsn 20180	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑃)(𝐹‘𝑙)))
151	150	fveq2d 6890	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))) = (𝐷‘((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑃)(𝐹‘𝑙))))
152	151	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))) = (𝐷‘((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑃)(𝐹‘𝑙))))
153	109, 146, 152	3eqtr4rd 2806	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})(𝐷‘(𝐹‘𝑘)))
154	153	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → ((𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})(𝐷‘(𝐹‘𝑘))))
155	154	anasss 472	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ((𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})(𝐷‘(𝐹‘𝑘))))
156	9, 14, 19, 24, 55, 155, 67	findcard2d 9186	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)))
157	4, 156	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 Σg 𝐹)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∪ cun 4149  ∅c0 4278  {csn 4584   ↦ cmpt 5185  ran crn 5651  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Fincfn 8977  0cc0 11204   + caddc 11207  ℕ₀cn0 12610  Σcsu 15859  Basecbs 17393  ._rcmulr 17435  0_gc0g 17616   Σ_g cgsu 17617  CMndccmn 20000  mulGrpcmgp 20366  1_rcur 20413  Ringcrg 20465  CRingccrg 20466  NzRingcnzr 20768  Domncdomn 20950  IDomncidom 20951  algSccascl 22166  Poly₁cpl1 22501  deg₁cdg1 26378

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282  ax-addf 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-ofr 7695  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-sup 9438  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-rp 13125  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-seq 14149  df-exp 14209  df-hash 14479  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-clim 15661  df-sum 15860  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-starv 17449  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-unif 17457  df-hom 17458  df-cco 17459  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-prds 17624  df-pws 17626  df-mre 17762  df-mrc 17763  df-acs 17765  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-mhm 18984  df-submnd 18985  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-mulg 19284  df-subg 19339  df-ghm 19434  df-cntz 19537  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-cring 20468  df-nzr 20769  df-subrng 20804  df-subrg 20828  df-rlreg 20952  df-domn 20953  df-idom 20954  df-lmod 21143  df-lss 21213  df-cnfld 21685  df-ascl 22169  df-psr 22223  df-mvr 22224  df-mpl 22225  df-opsr 22227  df-psr1 22504  df-vr1 22505  df-ply1 22506  df-coe1 22507  df-mdeg 26379  df-deg1 26380

This theorem is used by:  vietadeg1  34257