Theorem deg1prod 33658

Description: Degree of a product of polynomials. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1prod.1	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1prod.2	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1prod.3	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1prod.4	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
deg1prod.5	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1prod.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
deg1prod.7	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
deg1prod.8	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(𝐵 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
deg1prod	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 Σg 𝐹)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)))

Distinct variable groups:   0 ,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘)   𝑅(𝑘)

Proof of Theorem deg1prod

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1prod.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(𝐵 ∖ { 0 }))
2	1	feqmptd 6902	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
3	2	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
4	3	fveq2d 6838	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 Σg 𝐹)) = (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))))
5		mpteq1 5175	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)))
6	5	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))))
7	6	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)))))
8		sumeq1 15642	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐷‘(𝐹‘𝑘)))
9	7, 8	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐷‘(𝐹‘𝑘))))
10		mpteq1 5175	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))
11	10	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))))
12	11	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))))
13		sumeq1 15642	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)))
14	12, 13	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))))
15		mpteq1 5175	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))
16	15	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))))
17	16	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))))
18		sumeq1 15642	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})(𝐷‘(𝐹‘𝑘)))
19	17, 18	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → ((𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})(𝐷‘(𝐹‘𝑘))))
20		mpteq1 5175	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
21	20	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
22	21	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))))
23		sumeq1 15642	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)))
24	22, 23	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))))
25		mpt0 6634	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)) = ∅
26	25	oveq2i 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑀 Σg ∅)
27		deg1prod.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
28		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
29	27, 28	ringidval 20155	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑃) = (0g‘𝑀)
30	29	gsum0 18643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = (1r‘𝑃)
31	26, 30	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))) = (1r‘𝑃)
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))) = (1r‘𝑃))
33	32	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)))) = (𝐷‘(1r‘𝑃)))
34		deg1prod.7	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
35	34	idomdomd 20694	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
36		domnring 20675	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
37		deg1prod.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
38		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
39		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
40	37, 38, 39, 28	ply1scl1 22267	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
41	35, 36, 40	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
42	41	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (𝐷‘(1r‘𝑃)))
43	34	idomringd 20696	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
44		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
45	44, 39, 43	ringidcld 20238	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
46		domnnzr 20674	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
47		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
48	39, 47	nzrnz 20483	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
49	35, 46, 48	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
50		deg1prod.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
51	50, 37, 44, 38, 47	deg1scl 26088	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐷‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = 0)
52	43, 45, 49, 51	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = 0)
53	33, 42, 52	3eqtr2d 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)))) = 0)
54		sum0 15674	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) = 0
55	53, 54	eqtr4di 2790	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐷‘(𝐹‘𝑘)))
56		deg1prod.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
57		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
58		deg1prod.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
59	35	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑅 ∈ Domn)
60	27, 56	mgpbas 20117	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
61	37	ply1idom 26100	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑃 ∈ IDomn)
62	34, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ IDomn)
63	62	idomcringd 20695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CRing)
64	27	crngmgp 20213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
66	65	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑀 ∈ CMnd)
67		deg1prod.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
68	67	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝐴 ∈ Fin)
69		simplr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
70	68, 69	ssfid 9172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑏 ∈ Fin)
71	1	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝐹:𝐴⟶(𝐵 ∖ { 0 }))
72	69	sselda 3922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝑘 ∈ 𝐴)
73	71, 72	ffvelcdmd 7031	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
74	73	eldifad 3902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
75	74	ralrimiva 3130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → ∀𝑘 ∈ 𝑏 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
76	60, 66, 70, 75	gsummptcl 19933	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ 𝐵)
77		nfv 1916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)
78		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))
79	58	fvexi 6848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → 0 ∈ V)
81	1	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝐹:𝐴⟶(𝐵 ∖ { 0 }))
82		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
83	82	sselda 3922	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝑘 ∈ 𝐴)
84	81, 83	ffvelcdmd 7031	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
85		eldifsni 4734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0 )
86	84, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0 )
87	86	necomd 2988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 0 ≠ (𝐹‘𝑘))
88	77, 78, 80, 87	nelrnmpt 5916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → ¬ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))
89	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → 𝑃 ∈ IDomn)
90	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
91	90, 82	ssfid 9172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → 𝑏 ∈ Fin)
92	84	eldifad 3902	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
93	92	fmpttd 7061	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)):𝑏⟶𝐵)
94	27, 56, 58, 89, 91, 93	domnprodeq0 33352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))))
95	94	necon3abid 2969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) ≠ 0 ↔ ¬ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))))
96	88, 95	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) ≠ 0 )
97	96	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) ≠ 0 )
98	1	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝐹:𝐴⟶(𝐵 ∖ { 0 }))
99		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
100	99	eldifad 3902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑙 ∈ 𝐴)
101	98, 100	ffvelcdmd 7031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝐹‘𝑙) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
102	101	eldifad 3902	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝐹‘𝑙) ∈ 𝐵)
103		eldifsni 4734	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑙) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (𝐹‘𝑙) ≠ 0 )
104	101, 103	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝐹‘𝑙) ≠ 0 )
105	50, 37, 56, 57, 58, 59, 76, 97, 102, 104	deg1mul 26090	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝐷‘((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑃)(𝐹‘𝑙))) = ((𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) + (𝐷‘(𝐹‘𝑙))))
106	105	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐷‘((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑃)(𝐹‘𝑙))) = ((𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) + (𝐷‘(𝐹‘𝑙))))
107		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)))
108	107	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → ((𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) + (𝐷‘(𝐹‘𝑙))) = (Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) + (𝐷‘(𝐹‘𝑙))))
109	106, 108	eqtr2d 2773	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → (Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) + (𝐷‘(𝐹‘𝑙))) = (𝐷‘((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑃)(𝐹‘𝑙))))
110		nfv 1916	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
111		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝐷
112		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝑀
113		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 Σg
114		nfmpt1 5185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))
115	112, 113, 114	nfov 7390	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))
116	111, 115	nffv 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))))
117		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑏
118	117	nfsum1 15643	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))
119	116, 118	nfeq 2913	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))
120	110, 119	nfan 1901	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)))
121		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐷‘(𝐹‘𝑙))
122	67	ad3antrrr 731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → 𝐴 ∈ Fin)
123		simpllr 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
124	122, 123	ssfid 9172	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → 𝑏 ∈ Fin)
125		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
126	125	eldifbd 3903	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → ¬ 𝑙 ∈ 𝑏)
127	43	ad4antr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝑅 ∈ Ring)
128	1	ad4antr 733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝐹:𝐴⟶(𝐵 ∖ { 0 }))
129	123	sselda 3922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝑘 ∈ 𝐴)
130	128, 129	ffvelcdmd 7031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
131	130	eldifad 3902	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
132	130, 85	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0 )
133	50, 37, 58, 56	deg1nn0cl 26063	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℕ0)
134	127, 131, 132, 133	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℕ0)
135	134	nn0cnd 12491	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
136		2fveq3 6839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐷‘(𝐹‘𝑙)))
137	43	ad3antrrr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → 𝑅 ∈ Ring)
138	1	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → 𝐹:𝐴⟶(𝐵 ∖ { 0 }))
139	125	eldifad 3902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → 𝑙 ∈ 𝐴)
140	138, 139	ffvelcdmd 7031	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐹‘𝑙) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
141	140	eldifad 3902	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐹‘𝑙) ∈ 𝐵)
142	140, 103	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐹‘𝑙) ≠ 0 )
143	50, 37, 58, 56	deg1nn0cl 26063	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹‘𝑙) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑙) ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝐹‘𝑙)) ∈ ℕ0)
144	137, 141, 142, 143	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐷‘(𝐹‘𝑙)) ∈ ℕ0)
145	144	nn0cnd 12491	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐷‘(𝐹‘𝑙)) ∈ ℂ)
146	120, 121, 124, 125, 126, 135, 136, 145	fsumsplitsn 15697	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → Σ𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})(𝐷‘(𝐹‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) + (𝐷‘(𝐹‘𝑙))))
147	27, 57	mgpplusg 20116	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘𝑀)
148	99	eldifbd 3903	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → ¬ 𝑙 ∈ 𝑏)
149		fveq2 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑙))
150	60, 147, 66, 70, 74, 99, 148, 102, 149	gsumunsn 19926	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑃)(𝐹‘𝑙)))
151	150	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))) = (𝐷‘((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑃)(𝐹‘𝑙))))
152	151	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))) = (𝐷‘((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑃)(𝐹‘𝑙))))
153	109, 146, 152	3eqtr4rd 2783	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})(𝐷‘(𝐹‘𝑘)))
154	153	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → ((𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})(𝐷‘(𝐹‘𝑘))))
155	154	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ((𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})(𝐷‘(𝐹‘𝑘))))
156	9, 14, 19, 24, 55, 155, 67	findcard2d 9094	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)))
157	4, 156	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 Σg 𝐹)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568   ↦ cmpt 5167  ran crn 5625  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Fincfn 8886  0cc0 11029   + caddc 11032  ℕ₀cn0 12428  Σcsu 15639  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  0_gc0g 17393   Σ_g cgsu 17394  CMndccmn 19746  mulGrpcmgp 20112  1_rcur 20153  Ringcrg 20205  CRingccrg 20206  NzRingcnzr 20480  Domncdomn 20660  IDomncidom 20661  algSccascl 21842  Poly₁cpl1 22150  deg₁cdg1 26029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-sup 9348  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-nzr 20481  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-rlreg 20662  df-domn 20663  df-idom 20664  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-cnfld 21345  df-ascl 21845  df-psr 21899  df-mvr 21900  df-mpl 21901  df-opsr 21903  df-psr1 22153  df-vr1 22154  df-ply1 22155  df-coe1 22156  df-mdeg 26030  df-deg1 26031

This theorem is referenced by:  vietadeg1  33737