Theorem deg1prod 33592

Description: Degree of a product of polynomials. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1prod.1	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1prod.2	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1prod.3	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1prod.4	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
deg1prod.5	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1prod.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
deg1prod.7	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
deg1prod.8	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(𝐵 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
deg1prod	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 Σg 𝐹)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)))

Distinct variable groups:   0 ,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘)   𝑅(𝑘)

Proof of Theorem deg1prod

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1prod.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(𝐵 ∖ { 0 }))
2	1	feqmptd 6899	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
3	2	oveq2d 7371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
4	3	fveq2d 6835	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 Σg 𝐹)) = (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))))
5		mpteq1 5184	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)))
6	5	oveq2d 7371	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))))
7	6	fveq2d 6835	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)))))
8		sumeq1 15603	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐷‘(𝐹‘𝑘)))
9	7, 8	eqeq12d 2749	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐷‘(𝐹‘𝑘))))
10		mpteq1 5184	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))
11	10	oveq2d 7371	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))))
12	11	fveq2d 6835	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))))
13		sumeq1 15603	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)))
14	12, 13	eqeq12d 2749	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))))
15		mpteq1 5184	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))
16	15	oveq2d 7371	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))))
17	16	fveq2d 6835	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))))
18		sumeq1 15603	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})(𝐷‘(𝐹‘𝑘)))
19	17, 18	eqeq12d 2749	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → ((𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})(𝐷‘(𝐹‘𝑘))))
20		mpteq1 5184	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
21	20	oveq2d 7371	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
22	21	fveq2d 6835	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))))
23		sumeq1 15603	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)))
24	22, 23	eqeq12d 2749	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))))
25		mpt0 6631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)) = ∅
26	25	oveq2i 7366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑀 Σg ∅)
27		deg1prod.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
28		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
29	27, 28	ringidval 20109	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑃) = (0g‘𝑀)
30	29	gsum0 18600	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = (1r‘𝑃)
31	26, 30	eqtri 2756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))) = (1r‘𝑃)
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))) = (1r‘𝑃))
33	32	fveq2d 6835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)))) = (𝐷‘(1r‘𝑃)))
34		deg1prod.7	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
35	34	idomdomd 20650	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
36		domnring 20631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
37		deg1prod.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
38		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
39		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
40	37, 38, 39, 28	ply1scl1 22226	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
41	35, 36, 40	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
42	41	fveq2d 6835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (𝐷‘(1r‘𝑃)))
43	34	idomringd 20652	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
44		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
45	44, 39, 43	ringidcld 20192	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
46		domnnzr 20630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
47		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
48	39, 47	nzrnz 20439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
49	35, 46, 48	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
50		deg1prod.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
51	50, 37, 44, 38, 47	deg1scl 26065	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐷‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = 0)
52	43, 45, 49, 51	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = 0)
53	33, 42, 52	3eqtr2d 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)))) = 0)
54		sum0 15635	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) = 0
55	53, 54	eqtr4di 2786	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐷‘(𝐹‘𝑘)))
56		deg1prod.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
57		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
58		deg1prod.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
59	35	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑅 ∈ Domn)
60	27, 56	mgpbas 20071	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
61	37	ply1idom 26077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑃 ∈ IDomn)
62	34, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ IDomn)
63	62	idomcringd 20651	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CRing)
64	27	crngmgp 20167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
66	65	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑀 ∈ CMnd)
67		deg1prod.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
68	67	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝐴 ∈ Fin)
69		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
70	68, 69	ssfid 9164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑏 ∈ Fin)
71	1	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝐹:𝐴⟶(𝐵 ∖ { 0 }))
72	69	sselda 3930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝑘 ∈ 𝐴)
73	71, 72	ffvelcdmd 7027	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
74	73	eldifad 3910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
75	74	ralrimiva 3125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → ∀𝑘 ∈ 𝑏 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
76	60, 66, 70, 75	gsummptcl 19887	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ 𝐵)
77		nfv 1915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)
78		eqid 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))
79	58	fvexi 6845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → 0 ∈ V)
81	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝐹:𝐴⟶(𝐵 ∖ { 0 }))
82		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
83	82	sselda 3930	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝑘 ∈ 𝐴)
84	81, 83	ffvelcdmd 7027	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
85		eldifsni 4743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0 )
86	84, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0 )
87	86	necomd 2984	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 0 ≠ (𝐹‘𝑘))
88	77, 78, 80, 87	nelrnmpt 5913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → ¬ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))
89	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → 𝑃 ∈ IDomn)
90	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
91	90, 82	ssfid 9164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → 𝑏 ∈ Fin)
92	84	eldifad 3910	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
93	92	fmpttd 7057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)):𝑏⟶𝐵)
94	27, 56, 58, 89, 91, 93	domnprodeq0 33286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0 ↔ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))))
95	94	necon3abid 2965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) ≠ 0 ↔ ¬ 0 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))))
96	88, 95	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) ≠ 0 )
97	96	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) ≠ 0 )
98	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝐹:𝐴⟶(𝐵 ∖ { 0 }))
99		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
100	99	eldifad 3910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑙 ∈ 𝐴)
101	98, 100	ffvelcdmd 7027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝐹‘𝑙) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
102	101	eldifad 3910	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝐹‘𝑙) ∈ 𝐵)
103		eldifsni 4743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑙) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (𝐹‘𝑙) ≠ 0 )
104	101, 103	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝐹‘𝑙) ≠ 0 )
105	50, 37, 56, 57, 58, 59, 76, 97, 102, 104	deg1mul 26067	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝐷‘((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑃)(𝐹‘𝑙))) = ((𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) + (𝐷‘(𝐹‘𝑙))))
106	105	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐷‘((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑃)(𝐹‘𝑙))) = ((𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) + (𝐷‘(𝐹‘𝑙))))
107		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)))
108	107	oveq1d 7370	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → ((𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) + (𝐷‘(𝐹‘𝑙))) = (Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) + (𝐷‘(𝐹‘𝑙))))
109	106, 108	eqtr2d 2769	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → (Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) + (𝐷‘(𝐹‘𝑙))) = (𝐷‘((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑃)(𝐹‘𝑙))))
110		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
111		nfcv 2895	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝐷
112		nfcv 2895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝑀
113		nfcv 2895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 Σg
114		nfmpt1 5194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))
115	112, 113, 114	nfov 7385	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))
116	111, 115	nffv 6841	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))))
117		nfcv 2895	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑏
118	117	nfsum1 15604	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))
119	116, 118	nfeq 2909	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))
120	110, 119	nfan 1900	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)))
121		nfcv 2895	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐷‘(𝐹‘𝑙))
122	67	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → 𝐴 ∈ Fin)
123		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
124	122, 123	ssfid 9164	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → 𝑏 ∈ Fin)
125		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
126	125	eldifbd 3911	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → ¬ 𝑙 ∈ 𝑏)
127	43	ad4antr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝑅 ∈ Ring)
128	1	ad4antr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝐹:𝐴⟶(𝐵 ∖ { 0 }))
129	123	sselda 3930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝑘 ∈ 𝐴)
130	128, 129	ffvelcdmd 7027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
131	130	eldifad 3910	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
132	130, 85	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0 )
133	50, 37, 58, 56	deg1nn0cl 26040	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℕ0)
134	127, 131, 132, 133	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℕ0)
135	134	nn0cnd 12455	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
136		2fveq3 6836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐷‘(𝐹‘𝑙)))
137	43	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → 𝑅 ∈ Ring)
138	1	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → 𝐹:𝐴⟶(𝐵 ∖ { 0 }))
139	125	eldifad 3910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → 𝑙 ∈ 𝐴)
140	138, 139	ffvelcdmd 7027	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐹‘𝑙) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
141	140	eldifad 3910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐹‘𝑙) ∈ 𝐵)
142	140, 103	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐹‘𝑙) ≠ 0 )
143	50, 37, 58, 56	deg1nn0cl 26040	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹‘𝑙) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑙) ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝐹‘𝑙)) ∈ ℕ0)
144	137, 141, 142, 143	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐷‘(𝐹‘𝑙)) ∈ ℕ0)
145	144	nn0cnd 12455	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐷‘(𝐹‘𝑙)) ∈ ℂ)
146	120, 121, 124, 125, 126, 135, 136, 145	fsumsplitsn 15658	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → Σ𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})(𝐷‘(𝐹‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) + (𝐷‘(𝐹‘𝑙))))
147	27, 57	mgpplusg 20070	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘𝑀)
148	99	eldifbd 3911	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → ¬ 𝑙 ∈ 𝑏)
149		fveq2 6831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑙))
150	60, 147, 66, 70, 74, 99, 148, 102, 149	gsumunsn 19880	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘))) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑃)(𝐹‘𝑙)))
151	150	fveq2d 6835	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))) = (𝐷‘((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑃)(𝐹‘𝑙))))
152	151	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))) = (𝐷‘((𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))(.r‘𝑃)(𝐹‘𝑙))))
153	109, 146, 152	3eqtr4rd 2779	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})(𝐷‘(𝐹‘𝑘)))
154	153	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → ((𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})(𝐷‘(𝐹‘𝑘))))
155	154	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ((𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑏 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)) → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙}) ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})(𝐷‘(𝐹‘𝑘))))
156	9, 14, 19, 24, 55, 155, 67	findcard2d 9087	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)))
157	4, 156	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 Σg 𝐹)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐷‘(𝐹‘𝑘)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  Vcvv 3437   ∖ cdif 3895   ∪ cun 3896   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  {csn 4577   ↦ cmpt 5176  ran crn 5622  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Fincfn 8879  0cc0 11017   + caddc 11020  ℕ₀cn0 12392  Σcsu 15600  Basecbs 17127  ._rcmulr 17169  0_gc0g 17350   Σ_g cgsu 17351  CMndccmn 19700  mulGrpcmgp 20066  1_rcur 20107  Ringcrg 20159  CRingccrg 20160  NzRingcnzr 20436  Domncdomn 20616  IDomncidom 20617  algSccascl 21798  Poly₁cpl1 22108  deg₁cdg1 26006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9542  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095  ax-addf 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-ofr 7620  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-sup 9337  df-oi 9407  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-rp 12897  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-seq 13916  df-exp 13976  df-hash 14245  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-clim 15402  df-sum 15601  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-starv 17183  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-unif 17191  df-hom 17192  df-cco 17193  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-prds 17358  df-pws 17360  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-acs 17499  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-mhm 18699  df-submnd 18700  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-sbg 18859  df-mulg 18989  df-subg 19044  df-ghm 19133  df-cntz 19237  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-rng 20079  df-ur 20108  df-ring 20161  df-cring 20162  df-nzr 20437  df-subrng 20470  df-subrg 20494  df-rlreg 20618  df-domn 20619  df-idom 20620  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-cnfld 21301  df-ascl 21801  df-psr 21856  df-mvr 21857  df-mpl 21858  df-opsr 21860  df-psr1 22111  df-vr1 22112  df-ply1 22113  df-coe1 22114  df-mdeg 26007  df-deg1 26008

This theorem is referenced by:  vietadeg1  33662