HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjoml Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjoml 28846
Description: Subspace form of orthomodular law in the Hilbert lattice. Compare the orthomodular law in Theorem 2(ii) of [Kalmbach] p. 22. Derived using projections; compare omlsi 28814. (Contributed by NM, 14-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pjoml (((𝐴C𝐵S ) ∧ (𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0)) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem pjoml
StepHypRef Expression
1 sseq1 3851 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → (𝐴𝐵 ↔ if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ 𝐵))
2 fveq2 6437 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → (⊥‘𝐴) = (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0)))
32ineq2d 4043 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))))
43eqeq1d 2827 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → ((𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0 ↔ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))) = 0))
51, 4anbi12d 624 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → ((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0) ↔ (if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))) = 0)))
6 eqeq1 2829 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ if(𝐴C , 𝐴, 0) = 𝐵))
75, 6imbi12d 336 . . 3 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → (((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0) → 𝐴 = 𝐵) ↔ ((if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))) = 0) → if(𝐴C , 𝐴, 0) = 𝐵)))
8 sseq2 3852 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵S , 𝐵, 0) → (if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ 𝐵 ↔ if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ if(𝐵S , 𝐵, 0)))
9 ineq1 4036 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵S , 𝐵, 0) → (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))) = (if(𝐵S , 𝐵, 0) ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))))
109eqeq1d 2827 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵S , 𝐵, 0) → ((𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))) = 0 ↔ (if(𝐵S , 𝐵, 0) ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))) = 0))
118, 10anbi12d 624 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵S , 𝐵, 0) → ((if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))) = 0) ↔ (if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ if(𝐵S , 𝐵, 0) ∧ (if(𝐵S , 𝐵, 0) ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))) = 0)))
12 eqeq2 2836 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵S , 𝐵, 0) → (if(𝐴C , 𝐴, 0) = 𝐵 ↔ if(𝐴C , 𝐴, 0) = if(𝐵S , 𝐵, 0)))
1311, 12imbi12d 336 . . 3 (𝐵 = if(𝐵S , 𝐵, 0) → (((if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))) = 0) → if(𝐴C , 𝐴, 0) = 𝐵) ↔ ((if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ if(𝐵S , 𝐵, 0) ∧ (if(𝐵S , 𝐵, 0) ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))) = 0) → if(𝐴C , 𝐴, 0) = if(𝐵S , 𝐵, 0))))
14 h0elch 28663 . . . . 5 0C
1514elimel 4375 . . . 4 if(𝐴C , 𝐴, 0) ∈ C
16 h0elsh 28664 . . . . 5 0S
1716elimel 4375 . . . 4 if(𝐵S , 𝐵, 0) ∈ S
1815, 17pjomli 28845 . . 3 ((if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ if(𝐵S , 𝐵, 0) ∧ (if(𝐵S , 𝐵, 0) ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))) = 0) → if(𝐴C , 𝐴, 0) = if(𝐵S , 𝐵, 0))
197, 13, 18dedth2h 4365 . 2 ((𝐴C𝐵S ) → ((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0) → 𝐴 = 𝐵))
2019imp 397 1 (((𝐴C𝐵S ) ∧ (𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0)) → 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  cin 3797  wss 3798  ifcif 4308  cfv 6127   S csh 28336   C cch 28337  cort 28338  0c0h 28343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cc 9579  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339  ax-hilex 28407  ax-hfvadd 28408  ax-hvcom 28409  ax-hvass 28410  ax-hv0cl 28411  ax-hvaddid 28412  ax-hfvmul 28413  ax-hvmulid 28414  ax-hvmulass 28415  ax-hvdistr1 28416  ax-hvdistr2 28417  ax-hvmul0 28418  ax-hfi 28487  ax-his1 28490  ax-his2 28491  ax-his3 28492  ax-his4 28493  ax-hcompl 28610
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-omul 7836  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fi 8592  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-acn 9088  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-ico 12476  df-icc 12477  df-fz 12627  df-fl 12895  df-seq 13103  df-exp 13162  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-clim 14603  df-rlim 14604  df-rest 16443  df-topgen 16464  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-met 20107  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-fbas 20110  df-fg 20111  df-top 21076  df-topon 21093  df-bases 21128  df-cld 21201  df-ntr 21202  df-cls 21203  df-nei 21280  df-lm 21411  df-haus 21497  df-fil 22027  df-fm 22119  df-flim 22120  df-flf 22121  df-cfil 23430  df-cau 23431  df-cmet 23432  df-grpo 27899  df-gid 27900  df-ginv 27901  df-gdiv 27902  df-ablo 27951  df-vc 27965  df-nv 27998  df-va 28001  df-ba 28002  df-sm 28003  df-0v 28004  df-vs 28005  df-nmcv 28006  df-ims 28007  df-ssp 28128  df-ph 28219  df-cbn 28270  df-hnorm 28376  df-hba 28377  df-hvsub 28379  df-hlim 28380  df-hcau 28381  df-sh 28615  df-ch 28629  df-oc 28660  df-ch0 28661
This theorem is referenced by:  fh1  29028  fh2  29029
  Copyright terms: Public domain W3C validator