Theorem pjoml 29331

Description: Subspace form of orthomodular law in the Hilbert lattice. Compare the orthomodular law in Theorem 2(ii) of [Kalmbach] p. 22. Derived using projections; compare omlsi 29299. (Contributed by NM, 14-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pjoml	⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem pjoml

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3919	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵))
2		fveq2 6663	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (⊥‘𝐴) = (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ)))
3	2	ineq2d 4119	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))))
4	3	eqeq1d 2760	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → ((𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ ↔ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ))
5	1, 4	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ) ↔ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ)))
6		eqeq1 2762	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) = 𝐵))
7	5, 6	imbi12d 348	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ) → 𝐴 = 𝐵) ↔ ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ) → if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) = 𝐵)))
8		sseq2 3920	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ)))
9		ineq1 4111	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) → (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = (if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))))
10	9	eqeq1d 2760	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) → ((𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ ↔ (if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ))
11	8, 10	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) → ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ) ↔ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∧ (if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ)))
12		eqeq2 2770	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) = 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ)))
13	11, 12	imbi12d 348	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) → (((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ) → if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) = 𝐵) ↔ ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∧ (if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ) → if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ))))
14		h0elch 29150	. . . . 5 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
15	14	elimel 4492	. . . 4 ⊢ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∈ Cℋ
16		h0elsh 29151	. . . . 5 ⊢ 0ℋ ∈ Sℋ
17	16	elimel 4492	. . . 4 ⊢ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∈ Sℋ
18	15, 17	pjomli 29330	. . 3 ⊢ ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∧ (if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ) → if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ))
19	7, 13, 18	dedth2h 4482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ) → 𝐴 = 𝐵))
20	19	imp 410	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)) → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3859   ⊆ wss 3860  ifcif 4423  ‘cfv 6340   S_ℋ csh 28823   C_ℋ cch 28824  ⊥cort 28825  0_ℋc0h 28830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-inf2 9150  ax-cc 9908  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666  ax-addf 10667  ax-mulf 10668  ax-hilex 28894  ax-hfvadd 28895  ax-hvcom 28896  ax-hvass 28897  ax-hv0cl 28898  ax-hvaddid 28899  ax-hfvmul 28900  ax-hvmulid 28901  ax-hvmulass 28902  ax-hvdistr1 28903  ax-hvdistr2 28904  ax-hvmul0 28905  ax-hfi 28974  ax-his1 28977  ax-his2 28978  ax-his3 28979  ax-his4 28980  ax-hcompl 29097

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-oadd 8122  df-omul 8123  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fi 8921  df-sup 8952  df-inf 8953  df-oi 9020  df-card 9414  df-acn 9417  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-ico 12798  df-icc 12799  df-fz 12953  df-fl 13224  df-seq 13432  df-exp 13493  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-clim 14906  df-rlim 14907  df-rest 16767  df-topgen 16788  df-psmet 20171  df-xmet 20172  df-met 20173  df-bl 20174  df-mopn 20175  df-fbas 20176  df-fg 20177  df-top 21607  df-topon 21624  df-bases 21659  df-cld 21732  df-ntr 21733  df-cls 21734  df-nei 21811  df-lm 21942  df-haus 22028  df-fil 22559  df-fm 22651  df-flim 22652  df-flf 22653  df-cfil 23968  df-cau 23969  df-cmet 23970  df-grpo 28388  df-gid 28389  df-ginv 28390  df-gdiv 28391  df-ablo 28440  df-vc 28454  df-nv 28487  df-va 28490  df-ba 28491  df-sm 28492  df-0v 28493  df-vs 28494  df-nmcv 28495  df-ims 28496  df-ssp 28617  df-ph 28708  df-cbn 28758  df-hnorm 28863  df-hba 28864  df-hvsub 28866  df-hlim 28867  df-hcau 28868  df-sh 29102  df-ch 29116  df-oc 29147  df-ch0 29148

This theorem is referenced by:  fh1  29513  fh2  29514