HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjoml Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjoml 29146
Description: Subspace form of orthomodular law in the Hilbert lattice. Compare the orthomodular law in Theorem 2(ii) of [Kalmbach] p. 22. Derived using projections; compare omlsi 29114. (Contributed by NM, 14-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pjoml (((𝐴C𝐵S ) ∧ (𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0)) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem pjoml
StepHypRef Expression
1 sseq1 3996 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → (𝐴𝐵 ↔ if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ 𝐵))
2 fveq2 6669 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → (⊥‘𝐴) = (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0)))
32ineq2d 4193 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))))
43eqeq1d 2828 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → ((𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0 ↔ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))) = 0))
51, 4anbi12d 630 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → ((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0) ↔ (if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))) = 0)))
6 eqeq1 2830 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ if(𝐴C , 𝐴, 0) = 𝐵))
75, 6imbi12d 346 . . 3 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → (((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0) → 𝐴 = 𝐵) ↔ ((if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))) = 0) → if(𝐴C , 𝐴, 0) = 𝐵)))
8 sseq2 3997 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵S , 𝐵, 0) → (if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ 𝐵 ↔ if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ if(𝐵S , 𝐵, 0)))
9 ineq1 4185 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵S , 𝐵, 0) → (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))) = (if(𝐵S , 𝐵, 0) ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))))
109eqeq1d 2828 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵S , 𝐵, 0) → ((𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))) = 0 ↔ (if(𝐵S , 𝐵, 0) ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))) = 0))
118, 10anbi12d 630 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵S , 𝐵, 0) → ((if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))) = 0) ↔ (if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ if(𝐵S , 𝐵, 0) ∧ (if(𝐵S , 𝐵, 0) ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))) = 0)))
12 eqeq2 2838 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵S , 𝐵, 0) → (if(𝐴C , 𝐴, 0) = 𝐵 ↔ if(𝐴C , 𝐴, 0) = if(𝐵S , 𝐵, 0)))
1311, 12imbi12d 346 . . 3 (𝐵 = if(𝐵S , 𝐵, 0) → (((if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))) = 0) → if(𝐴C , 𝐴, 0) = 𝐵) ↔ ((if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ if(𝐵S , 𝐵, 0) ∧ (if(𝐵S , 𝐵, 0) ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))) = 0) → if(𝐴C , 𝐴, 0) = if(𝐵S , 𝐵, 0))))
14 h0elch 28965 . . . . 5 0C
1514elimel 4537 . . . 4 if(𝐴C , 𝐴, 0) ∈ C
16 h0elsh 28966 . . . . 5 0S
1716elimel 4537 . . . 4 if(𝐵S , 𝐵, 0) ∈ S
1815, 17pjomli 29145 . . 3 ((if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ if(𝐵S , 𝐵, 0) ∧ (if(𝐵S , 𝐵, 0) ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))) = 0) → if(𝐴C , 𝐴, 0) = if(𝐵S , 𝐵, 0))
197, 13, 18dedth2h 4527 . 2 ((𝐴C𝐵S ) → ((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0) → 𝐴 = 𝐵))
2019imp 407 1 (((𝐴C𝐵S ) ∧ (𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0)) → 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  cin 3939  wss 3940  ifcif 4470  cfv 6354   S csh 28638   C cch 28639  cort 28640  0c0h 28645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cc 9851  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611  ax-hilex 28709  ax-hfvadd 28710  ax-hvcom 28711  ax-hvass 28712  ax-hv0cl 28713  ax-hvaddid 28714  ax-hfvmul 28715  ax-hvmulid 28716  ax-hvmulass 28717  ax-hvdistr1 28718  ax-hvdistr2 28719  ax-hvmul0 28720  ax-hfi 28789  ax-his1 28792  ax-his2 28793  ax-his3 28794  ax-his4 28795  ax-hcompl 28912
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-acn 9365  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12888  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13425  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-rest 16691  df-topgen 16712  df-psmet 20472  df-xmet 20473  df-met 20474  df-bl 20475  df-mopn 20476  df-fbas 20477  df-fg 20478  df-top 21437  df-topon 21454  df-bases 21489  df-cld 21562  df-ntr 21563  df-cls 21564  df-nei 21641  df-lm 21772  df-haus 21858  df-fil 22389  df-fm 22481  df-flim 22482  df-flf 22483  df-cfil 23792  df-cau 23793  df-cmet 23794  df-grpo 28203  df-gid 28204  df-ginv 28205  df-gdiv 28206  df-ablo 28255  df-vc 28269  df-nv 28302  df-va 28305  df-ba 28306  df-sm 28307  df-0v 28308  df-vs 28309  df-nmcv 28310  df-ims 28311  df-ssp 28432  df-ph 28523  df-cbn 28573  df-hnorm 28678  df-hba 28679  df-hvsub 28681  df-hlim 28682  df-hcau 28683  df-sh 28917  df-ch 28931  df-oc 28962  df-ch0 28963
This theorem is referenced by:  fh1  29328  fh2  29329
  Copyright terms: Public domain W3C validator