Theorem pjoml 31525

Description: Subspace form of orthomodular law in the Hilbert lattice. Compare the orthomodular law in Theorem 2(ii) of [Kalmbach] p. 22. Derived using projections; compare omlsi 31493. (Contributed by NM, 14-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pjoml	⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem pjoml

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3940	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵))
2		fveq2 6827	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (⊥‘𝐴) = (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ)))
3	2	ineq2d 4149	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))))
4	3	eqeq1d 2741	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → ((𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ ↔ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ))
5	1, 4	anbi12d 638	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ) ↔ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ)))
6		eqeq1 2743	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) = 𝐵))
7	5, 6	imbi12d 345	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ) → 𝐴 = 𝐵) ↔ ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ) → if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) = 𝐵)))
8		sseq2 3941	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ)))
9		ineq1 4142	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) → (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = (if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))))
10	9	eqeq1d 2741	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) → ((𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ ↔ (if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ))
11	8, 10	anbi12d 638	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) → ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ) ↔ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∧ (if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ)))
12		eqeq2 2751	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) = 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ)))
13	11, 12	imbi12d 345	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) → (((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ) → if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) = 𝐵) ↔ ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∧ (if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ) → if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ))))
14		h0elch 31344	. . . . 5 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
15	14	elimel 4524	. . . 4 ⊢ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∈ Cℋ
16		h0elsh 31345	. . . . 5 ⊢ 0ℋ ∈ Sℋ
17	16	elimel 4524	. . . 4 ⊢ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∈ Sℋ
18	15, 17	pjomli 31524	. . 3 ⊢ ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∧ (if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ) → if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ))
19	7, 13, 18	dedth2h 4514	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ) → 𝐴 = 𝐵))
20	19	imp 407	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)) → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ifcif 4454  ‘cfv 6485   S_ℋ csh 31017   C_ℋ cch 31018  ⊥cort 31019  0_ℋc0h 31024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cc 10348  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108  ax-mulf 11109  ax-hilex 31088  ax-hfvadd 31089  ax-hvcom 31090  ax-hvass 31091  ax-hv0cl 31092  ax-hvaddid 31093  ax-hfvmul 31094  ax-hvmulid 31095  ax-hvmulass 31096  ax-hvdistr1 31097  ax-hvdistr2 31098  ax-hvmul0 31099  ax-hfi 31168  ax-his1 31171  ax-his2 31172  ax-his3 31173  ax-his4 31174  ax-hcompl 31291

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-rest 17376  df-topgen 17397  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-top 22877  df-topon 22894  df-bases 22929  df-cld 23002  df-ntr 23003  df-cls 23004  df-nei 23081  df-lm 23212  df-haus 23298  df-fil 23829  df-fm 23921  df-flim 23922  df-flf 23923  df-cfil 25240  df-cau 25241  df-cmet 25242  df-grpo 30582  df-gid 30583  df-ginv 30584  df-gdiv 30585  df-ablo 30634  df-vc 30648  df-nv 30681  df-va 30684  df-ba 30685  df-sm 30686  df-0v 30687  df-vs 30688  df-nmcv 30689  df-ims 30690  df-ssp 30811  df-ph 30902  df-cbn 30952  df-hnorm 31057  df-hba 31058  df-hvsub 31060  df-hlim 31061  df-hcau 31062  df-sh 31296  df-ch 31310  df-oc 31341  df-ch0 31342

This theorem is referenced by:  fh1  31707  fh2  31708