Theorem pjoml 31122

Description: Subspace form of orthomodular law in the Hilbert lattice. Compare the orthomodular law in Theorem 2(ii) of [Kalmbach] p. 22. Derived using projections; compare omlsi 31090. (Contributed by NM, 14-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pjoml	⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem pjoml

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 4007	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵))
2		fveq2 6891	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (⊥‘𝐴) = (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ)))
3	2	ineq2d 4212	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))))
4	3	eqeq1d 2733	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → ((𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ ↔ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ))
5	1, 4	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ) ↔ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ)))
6		eqeq1 2735	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) = 𝐵))
7	5, 6	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ) → 𝐴 = 𝐵) ↔ ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ) → if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) = 𝐵)))
8		sseq2 4008	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ)))
9		ineq1 4205	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) → (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = (if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))))
10	9	eqeq1d 2733	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) → ((𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ ↔ (if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ))
11	8, 10	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) → ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ) ↔ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∧ (if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ)))
12		eqeq2 2743	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) = 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ)))
13	11, 12	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) → (((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ) → if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) = 𝐵) ↔ ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∧ (if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ) → if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ))))
14		h0elch 30941	. . . . 5 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
15	14	elimel 4597	. . . 4 ⊢ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∈ Cℋ
16		h0elsh 30942	. . . . 5 ⊢ 0ℋ ∈ Sℋ
17	16	elimel 4597	. . . 4 ⊢ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∈ Sℋ
18	15, 17	pjomli 31121	. . 3 ⊢ ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∧ (if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ) → if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ))
19	7, 13, 18	dedth2h 4587	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ) → 𝐴 = 𝐵))
20	19	imp 406	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)) → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ifcif 4528  ‘cfv 6543   S_ℋ csh 30614   C_ℋ cch 30615  ⊥cort 30616  0_ℋc0h 30621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cc 10436  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195  ax-mulf 11196  ax-hilex 30685  ax-hfvadd 30686  ax-hvcom 30687  ax-hvass 30688  ax-hv0cl 30689  ax-hvaddid 30690  ax-hfvmul 30691  ax-hvmulid 30692  ax-hvmulass 30693  ax-hvdistr1 30694  ax-hvdistr2 30695  ax-hvmul0 30696  ax-hfi 30765  ax-his1 30768  ax-his2 30769  ax-his3 30770  ax-his4 30771  ax-hcompl 30888

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-oadd 8476  df-omul 8477  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-acn 9943  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-rest 17375  df-topgen 17396  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-met 21227  df-bl 21228  df-mopn 21229  df-fbas 21230  df-fg 21231  df-top 22716  df-topon 22733  df-bases 22769  df-cld 22843  df-ntr 22844  df-cls 22845  df-nei 22922  df-lm 23053  df-haus 23139  df-fil 23670  df-fm 23762  df-flim 23763  df-flf 23764  df-cfil 25103  df-cau 25104  df-cmet 25105  df-grpo 30179  df-gid 30180  df-ginv 30181  df-gdiv 30182  df-ablo 30231  df-vc 30245  df-nv 30278  df-va 30281  df-ba 30282  df-sm 30283  df-0v 30284  df-vs 30285  df-nmcv 30286  df-ims 30287  df-ssp 30408  df-ph 30499  df-cbn 30549  df-hnorm 30654  df-hba 30655  df-hvsub 30657  df-hlim 30658  df-hcau 30659  df-sh 30893  df-ch 30907  df-oc 30938  df-ch0 30939

This theorem is referenced by:  fh1  31304  fh2  31305