Theorem pjoml 29798

Description: Subspace form of orthomodular law in the Hilbert lattice. Compare the orthomodular law in Theorem 2(ii) of [Kalmbach] p. 22. Derived using projections; compare omlsi 29766. (Contributed by NM, 14-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pjoml	⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem pjoml

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3946	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵))
2		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (⊥‘𝐴) = (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ)))
3	2	ineq2d 4146	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))))
4	3	eqeq1d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → ((𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ ↔ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ))
5	1, 4	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ) ↔ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ)))
6		eqeq1 2742	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) = 𝐵))
7	5, 6	imbi12d 345	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ) → 𝐴 = 𝐵) ↔ ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ) → if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) = 𝐵)))
8		sseq2 3947	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ)))
9		ineq1 4139	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) → (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = (if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))))
10	9	eqeq1d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) → ((𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ ↔ (if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ))
11	8, 10	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) → ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ) ↔ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∧ (if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ)))
12		eqeq2 2750	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) = 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ)))
13	11, 12	imbi12d 345	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) → (((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ) → if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) = 𝐵) ↔ ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∧ (if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ) → if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ))))
14		h0elch 29617	. . . . 5 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
15	14	elimel 4528	. . . 4 ⊢ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∈ Cℋ
16		h0elsh 29618	. . . . 5 ⊢ 0ℋ ∈ Sℋ
17	16	elimel 4528	. . . 4 ⊢ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∈ Sℋ
18	15, 17	pjomli 29797	. . 3 ⊢ ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ⊆ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∧ (if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ) → if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, 0ℋ))
19	7, 13, 18	dedth2h 4518	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ) → 𝐴 = 𝐵))
20	19	imp 407	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)) → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ifcif 4459  ‘cfv 6433   S_ℋ csh 29290   C_ℋ cch 29291  ⊥cort 29292  0_ℋc0h 29297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cc 10191  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951  ax-hilex 29361  ax-hfvadd 29362  ax-hvcom 29363  ax-hvass 29364  ax-hv0cl 29365  ax-hvaddid 29366  ax-hfvmul 29367  ax-hvmulid 29368  ax-hvmulass 29369  ax-hvdistr1 29370  ax-hvdistr2 29371  ax-hvmul0 29372  ax-hfi 29441  ax-his1 29444  ax-his2 29445  ax-his3 29446  ax-his4 29447  ax-hcompl 29564

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-rest 17133  df-topgen 17154  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-top 22043  df-topon 22060  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lm 22380  df-haus 22466  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-cfil 24419  df-cau 24420  df-cmet 24421  df-grpo 28855  df-gid 28856  df-ginv 28857  df-gdiv 28858  df-ablo 28907  df-vc 28921  df-nv 28954  df-va 28957  df-ba 28958  df-sm 28959  df-0v 28960  df-vs 28961  df-nmcv 28962  df-ims 28963  df-ssp 29084  df-ph 29175  df-cbn 29225  df-hnorm 29330  df-hba 29331  df-hvsub 29333  df-hlim 29334  df-hcau 29335  df-sh 29569  df-ch 29583  df-oc 29614  df-ch0 29615

This theorem is referenced by:  fh1  29980  fh2  29981