HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjoml Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjoml 31158
Description: Subspace form of orthomodular law in the Hilbert lattice. Compare the orthomodular law in Theorem 2(ii) of [Kalmbach] p. 22. Derived using projections; compare omlsi 31126. (Contributed by NM, 14-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pjoml (((𝐴C𝐵S ) ∧ (𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0)) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem pjoml
StepHypRef Expression
1 sseq1 3999 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → (𝐴𝐵 ↔ if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ 𝐵))
2 fveq2 6881 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → (⊥‘𝐴) = (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0)))
32ineq2d 4204 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))))
43eqeq1d 2726 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → ((𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0 ↔ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))) = 0))
51, 4anbi12d 630 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → ((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0) ↔ (if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))) = 0)))
6 eqeq1 2728 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ if(𝐴C , 𝐴, 0) = 𝐵))
75, 6imbi12d 344 . . 3 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → (((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0) → 𝐴 = 𝐵) ↔ ((if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))) = 0) → if(𝐴C , 𝐴, 0) = 𝐵)))
8 sseq2 4000 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵S , 𝐵, 0) → (if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ 𝐵 ↔ if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ if(𝐵S , 𝐵, 0)))
9 ineq1 4197 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵S , 𝐵, 0) → (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))) = (if(𝐵S , 𝐵, 0) ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))))
109eqeq1d 2726 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵S , 𝐵, 0) → ((𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))) = 0 ↔ (if(𝐵S , 𝐵, 0) ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))) = 0))
118, 10anbi12d 630 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵S , 𝐵, 0) → ((if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))) = 0) ↔ (if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ if(𝐵S , 𝐵, 0) ∧ (if(𝐵S , 𝐵, 0) ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))) = 0)))
12 eqeq2 2736 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵S , 𝐵, 0) → (if(𝐴C , 𝐴, 0) = 𝐵 ↔ if(𝐴C , 𝐴, 0) = if(𝐵S , 𝐵, 0)))
1311, 12imbi12d 344 . . 3 (𝐵 = if(𝐵S , 𝐵, 0) → (((if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))) = 0) → if(𝐴C , 𝐴, 0) = 𝐵) ↔ ((if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ if(𝐵S , 𝐵, 0) ∧ (if(𝐵S , 𝐵, 0) ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))) = 0) → if(𝐴C , 𝐴, 0) = if(𝐵S , 𝐵, 0))))
14 h0elch 30977 . . . . 5 0C
1514elimel 4589 . . . 4 if(𝐴C , 𝐴, 0) ∈ C
16 h0elsh 30978 . . . . 5 0S
1716elimel 4589 . . . 4 if(𝐵S , 𝐵, 0) ∈ S
1815, 17pjomli 31157 . . 3 ((if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ if(𝐵S , 𝐵, 0) ∧ (if(𝐵S , 𝐵, 0) ∩ (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0))) = 0) → if(𝐴C , 𝐴, 0) = if(𝐵S , 𝐵, 0))
197, 13, 18dedth2h 4579 . 2 ((𝐴C𝐵S ) → ((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0) → 𝐴 = 𝐵))
2019imp 406 1 (((𝐴C𝐵S ) ∧ (𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0)) → 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  cin 3939  wss 3940  ifcif 4520  cfv 6533   S csh 30650   C cch 30651  cort 30652  0c0h 30657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186  ax-hilex 30721  ax-hfvadd 30722  ax-hvcom 30723  ax-hvass 30724  ax-hv0cl 30725  ax-hvaddid 30726  ax-hfvmul 30727  ax-hvmulid 30728  ax-hvmulass 30729  ax-hvdistr1 30730  ax-hvdistr2 30731  ax-hvmul0 30732  ax-hfi 30801  ax-his1 30804  ax-his2 30805  ax-his3 30806  ax-his4 30807  ax-hcompl 30924
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-rest 17367  df-topgen 17388  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-fbas 21225  df-fg 21226  df-top 22718  df-topon 22735  df-bases 22771  df-cld 22845  df-ntr 22846  df-cls 22847  df-nei 22924  df-lm 23055  df-haus 23141  df-fil 23672  df-fm 23764  df-flim 23765  df-flf 23766  df-cfil 25105  df-cau 25106  df-cmet 25107  df-grpo 30215  df-gid 30216  df-ginv 30217  df-gdiv 30218  df-ablo 30267  df-vc 30281  df-nv 30314  df-va 30317  df-ba 30318  df-sm 30319  df-0v 30320  df-vs 30321  df-nmcv 30322  df-ims 30323  df-ssp 30444  df-ph 30535  df-cbn 30585  df-hnorm 30690  df-hba 30691  df-hvsub 30693  df-hlim 30694  df-hcau 30695  df-sh 30929  df-ch 30943  df-oc 30974  df-ch0 30975
This theorem is referenced by:  fh1  31340  fh2  31341
  Copyright terms: Public domain W3C validator