Theorem hhssnvt 28836

Description: Normed complex vector space property of a subspace. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhssnvt.1	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩

Assertion

Ref	Expression
hhssnvt	⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝑊 ∈ NrmCVec)

Proof of Theorem hhssnvt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhssnvt.1	. . . 4 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
2		xpeq1 5417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) → (𝐻 × 𝐻) = (if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) × 𝐻))
3		xpeq2 5424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) → (if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) × 𝐻) = (if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ)))
4	2, 3	eqtrd 2807	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) → (𝐻 × 𝐻) = (if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ)))
5	4	reseq2d 5692	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) → ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ( +ℎ ↾ (if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ))))
6		xpeq2 5424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) → (ℂ × 𝐻) = (ℂ × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ)))
7	6	reseq2d 5692	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) → ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) = ( ·ℎ ↾ (ℂ × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ))))
8	5, 7	opeq12d 4681	. . . . 5 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) → ⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩ = ⟨( +ℎ ↾ (if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ))), ( ·ℎ ↾ (ℂ × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ)))⟩)
9		reseq2 5687	. . . . 5 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) → (normℎ ↾ 𝐻) = (normℎ ↾ if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ)))
10	8, 9	opeq12d 4681	. . . 4 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) → ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩ = ⟨⟨( +ℎ ↾ (if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ))), ( ·ℎ ↾ (ℂ × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ)))⟩, (normℎ ↾ if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ))⟩)
11	1, 10	syl5eq 2819	. . 3 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) → 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ))), ( ·ℎ ↾ (ℂ × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ)))⟩, (normℎ ↾ if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ))⟩)
12	11	eleq1d 2843	. 2 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) → (𝑊 ∈ NrmCVec ↔ ⟨⟨( +ℎ ↾ (if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ))), ( ·ℎ ↾ (ℂ × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ)))⟩, (normℎ ↾ if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ))⟩ ∈ NrmCVec))
13		eqid 2771	. . 3 ⊢ ⟨⟨( +ℎ ↾ (if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ))), ( ·ℎ ↾ (ℂ × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ)))⟩, (normℎ ↾ if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ))⟩ = ⟨⟨( +ℎ ↾ (if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ))), ( ·ℎ ↾ (ℂ × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ)))⟩, (normℎ ↾ if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ))⟩
14		h0elsh 28827	. . . 4 ⊢ 0ℋ ∈ Sℋ
15	14	elimel 4411	. . 3 ⊢ if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) ∈ Sℋ
16	13, 15	hhssnv 28835	. 2 ⊢ ⟨⟨( +ℎ ↾ (if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ))), ( ·ℎ ↾ (ℂ × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ)))⟩, (normℎ ↾ if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ))⟩ ∈ NrmCVec
17	12, 16	dedth 4400	1 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝑊 ∈ NrmCVec)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  ifcif 4344  ⟨cop 4441   × cxp 5401   ↾ cres 5405  ℂcc 10331  NrmCVeccnv 28153   +_ℎ cva 28491   ·_ℎ csm 28492  norm_ℎcno 28494   S_ℋ csh 28499  0_ℋc0h 28506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411  ax-addf 10412  ax-mulf 10413  ax-hilex 28570  ax-hfvadd 28571  ax-hvcom 28572  ax-hvass 28573  ax-hv0cl 28574  ax-hvaddid 28575  ax-hfvmul 28576  ax-hvmulid 28577  ax-hvmulass 28578  ax-hvdistr1 28579  ax-hvdistr2 28580  ax-hvmul0 28581  ax-hfi 28650  ax-his1 28653  ax-his2 28654  ax-his3 28655  ax-his4 28656

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-map 8206  df-pm 8207  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-sup 8699  df-inf 8700  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-q 12161  df-rp 12203  df-xneg 12322  df-xadd 12323  df-xmul 12324  df-icc 12559  df-seq 13183  df-exp 13243  df-cj 14317  df-re 14318  df-im 14319  df-sqrt 14453  df-abs 14454  df-topgen 16571  df-psmet 20254  df-xmet 20255  df-met 20256  df-bl 20257  df-mopn 20258  df-top 21221  df-topon 21238  df-bases 21273  df-lm 21556  df-haus 21642  df-grpo 28062  df-gid 28063  df-ginv 28064  df-gdiv 28065  df-ablo 28114  df-vc 28128  df-nv 28161  df-va 28164  df-ba 28165  df-sm 28166  df-0v 28167  df-vs 28168  df-nmcv 28169  df-ims 28170  df-hnorm 28539  df-hba 28540  df-hvsub 28542  df-hlim 28543  df-sh 28778  df-ch 28792  df-ch0 28824

This theorem is referenced by:  hhsst  28837