Theorem hhssnvt 31289

Description: Normed complex vector space property of a subspace. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhssnvt.1	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩

Assertion

Ref	Expression
hhssnvt	⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝑊 ∈ NrmCVec)

Proof of Theorem hhssnvt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhssnvt.1	. . . 4 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
2		xpeq1 5636	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) → (𝐻 × 𝐻) = (if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) × 𝐻))
3		xpeq2 5643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) → (if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) × 𝐻) = (if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ)))
4	2, 3	eqtrd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) → (𝐻 × 𝐻) = (if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ)))
5	4	reseq2d 5936	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) → ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ( +ℎ ↾ (if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ))))
6		xpeq2 5643	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) → (ℂ × 𝐻) = (ℂ × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ)))
7	6	reseq2d 5936	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) → ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) = ( ·ℎ ↾ (ℂ × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ))))
8	5, 7	opeq12d 4835	. . . . 5 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) → ⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩ = ⟨( +ℎ ↾ (if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ))), ( ·ℎ ↾ (ℂ × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ)))⟩)
9		reseq2 5931	. . . . 5 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) → (normℎ ↾ 𝐻) = (normℎ ↾ if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ)))
10	8, 9	opeq12d 4835	. . . 4 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) → ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩ = ⟨⟨( +ℎ ↾ (if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ))), ( ·ℎ ↾ (ℂ × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ)))⟩, (normℎ ↾ if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ))⟩)
11	1, 10	eqtrid 2781	. . 3 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) → 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ))), ( ·ℎ ↾ (ℂ × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ)))⟩, (normℎ ↾ if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ))⟩)
12	11	eleq1d 2819	. 2 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) → (𝑊 ∈ NrmCVec ↔ ⟨⟨( +ℎ ↾ (if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ))), ( ·ℎ ↾ (ℂ × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ)))⟩, (normℎ ↾ if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ))⟩ ∈ NrmCVec))
13		eqid 2734	. . 3 ⊢ ⟨⟨( +ℎ ↾ (if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ))), ( ·ℎ ↾ (ℂ × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ)))⟩, (normℎ ↾ if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ))⟩ = ⟨⟨( +ℎ ↾ (if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ))), ( ·ℎ ↾ (ℂ × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ)))⟩, (normℎ ↾ if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ))⟩
14		h0elsh 31280	. . . 4 ⊢ 0ℋ ∈ Sℋ
15	14	elimel 4547	. . 3 ⊢ if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) ∈ Sℋ
16	13, 15	hhssnv 31288	. 2 ⊢ ⟨⟨( +ℎ ↾ (if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ) × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ))), ( ·ℎ ↾ (ℂ × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ)))⟩, (normℎ ↾ if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, 0ℋ))⟩ ∈ NrmCVec
17	12, 16	dedth 4536	1 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝑊 ∈ NrmCVec)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ifcif 4477  ⟨cop 4584   × cxp 5620   ↾ cres 5624  ℂcc 11022  NrmCVeccnv 30608   +_ℎ cva 30944   ·_ℎ csm 30945  norm_ℎcno 30947   S_ℋ csh 30952  0_ℋc0h 30959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103  ax-mulf 11104  ax-hilex 31023  ax-hfvadd 31024  ax-hvcom 31025  ax-hvass 31026  ax-hv0cl 31027  ax-hvaddid 31028  ax-hfvmul 31029  ax-hvmulid 31030  ax-hvmulass 31031  ax-hvdistr1 31032  ax-hvdistr2 31033  ax-hvmul0 31034  ax-hfi 31103  ax-his1 31106  ax-his2 31107  ax-his3 31108  ax-his4 31109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-icc 13266  df-seq 13923  df-exp 13983  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-topgen 17361  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-top 22836  df-topon 22853  df-bases 22888  df-lm 23171  df-haus 23257  df-grpo 30517  df-gid 30518  df-ginv 30519  df-gdiv 30520  df-ablo 30569  df-vc 30583  df-nv 30616  df-va 30619  df-ba 30620  df-sm 30621  df-0v 30622  df-vs 30623  df-nmcv 30624  df-ims 30625  df-hnorm 30992  df-hba 30993  df-hvsub 30995  df-hlim 30996  df-sh 31231  df-ch 31245  df-ch0 31277

This theorem is referenced by:  hhsst  31290