HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssnvt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hhssnvt 30785
Description: Normed complex vector space property of a subspace. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhssnvt.1 ๐‘Š = โŸจโŸจ( +โ„Ž โ†พ (๐ป ร— ๐ป)), ( ยทโ„Ž โ†พ (โ„‚ ร— ๐ป))โŸฉ, (normโ„Ž โ†พ ๐ป)โŸฉ
Assertion
Ref Expression
hhssnvt (๐ป โˆˆ Sโ„‹ โ†’ ๐‘Š โˆˆ NrmCVec)
Proof of Theorem hhssnvt
StepHypRef Expression
1 hhssnvt.1 . . . 4 ๐‘Š = โŸจโŸจ( +โ„Ž โ†พ (๐ป ร— ๐ป)), ( ยทโ„Ž โ†พ (โ„‚ ร— ๐ป))โŸฉ, (normโ„Ž โ†พ ๐ป)โŸฉ
2 xpeq1 5689 . . . . . . . 8 (๐ป = if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹) โ†’ (๐ป ร— ๐ป) = (if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹) ร— ๐ป))
3 xpeq2 5696 . . . . . . . 8 (๐ป = if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹) โ†’ (if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹) ร— ๐ป) = (if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹) ร— if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹)))
42, 3eqtrd 2770 . . . . . . 7 (๐ป = if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹) โ†’ (๐ป ร— ๐ป) = (if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹) ร— if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹)))
54reseq2d 5980 . . . . . 6 (๐ป = if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹) โ†’ ( +โ„Ž โ†พ (๐ป ร— ๐ป)) = ( +โ„Ž โ†พ (if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹) ร— if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹))))
6 xpeq2 5696 . . . . . . 7 (๐ป = if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹) โ†’ (โ„‚ ร— ๐ป) = (โ„‚ ร— if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹)))
76reseq2d 5980 . . . . . 6 (๐ป = if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹) โ†’ ( ยทโ„Ž โ†พ (โ„‚ ร— ๐ป)) = ( ยทโ„Ž โ†พ (โ„‚ ร— if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹))))
85, 7opeq12d 4880 . . . . 5 (๐ป = if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹) โ†’ โŸจ( +โ„Ž โ†พ (๐ป ร— ๐ป)), ( ยทโ„Ž โ†พ (โ„‚ ร— ๐ป))โŸฉ = โŸจ( +โ„Ž โ†พ (if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹) ร— if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹))), ( ยทโ„Ž โ†พ (โ„‚ ร— if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹)))โŸฉ)
9 reseq2 5975 . . . . 5 (๐ป = if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹) โ†’ (normโ„Ž โ†พ ๐ป) = (normโ„Ž โ†พ if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹)))
108, 9opeq12d 4880 . . . 4 (๐ป = if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹) โ†’ โŸจโŸจ( +โ„Ž โ†พ (๐ป ร— ๐ป)), ( ยทโ„Ž โ†พ (โ„‚ ร— ๐ป))โŸฉ, (normโ„Ž โ†พ ๐ป)โŸฉ = โŸจโŸจ( +โ„Ž โ†พ (if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹) ร— if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹))), ( ยทโ„Ž โ†พ (โ„‚ ร— if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹)))โŸฉ, (normโ„Ž โ†พ if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹))โŸฉ)
111, 10eqtrid 2782 . . 3 (๐ป = if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹) โ†’ ๐‘Š = โŸจโŸจ( +โ„Ž โ†พ (if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹) ร— if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹))), ( ยทโ„Ž โ†พ (โ„‚ ร— if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹)))โŸฉ, (normโ„Ž โ†พ if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹))โŸฉ)
1211eleq1d 2816 . 2 (๐ป = if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹) โ†’ (๐‘Š โˆˆ NrmCVec โ†” โŸจโŸจ( +โ„Ž โ†พ (if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹) ร— if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹))), ( ยทโ„Ž โ†พ (โ„‚ ร— if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹)))โŸฉ, (normโ„Ž โ†พ if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹))โŸฉ โˆˆ NrmCVec))
13 eqid 2730 . . 3 โŸจโŸจ( +โ„Ž โ†พ (if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹) ร— if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹))), ( ยทโ„Ž โ†พ (โ„‚ ร— if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹)))โŸฉ, (normโ„Ž โ†พ if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹))โŸฉ = โŸจโŸจ( +โ„Ž โ†พ (if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹) ร— if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹))), ( ยทโ„Ž โ†พ (โ„‚ ร— if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹)))โŸฉ, (normโ„Ž โ†พ if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹))โŸฉ
14 h0elsh 30776 . . . 4 0โ„‹ โˆˆ Sโ„‹
1514elimel 4596 . . 3 if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹) โˆˆ Sโ„‹
1613, 15hhssnv 30784 . 2 โŸจโŸจ( +โ„Ž โ†พ (if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹) ร— if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹))), ( ยทโ„Ž โ†พ (โ„‚ ร— if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹)))โŸฉ, (normโ„Ž โ†พ if(๐ป โˆˆ Sโ„‹ , ๐ป, 0โ„‹))โŸฉ โˆˆ NrmCVec
1712, 16dedth 4585 1 (๐ป โˆˆ Sโ„‹ โ†’ ๐‘Š โˆˆ NrmCVec)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  ifcif 4527  โŸจcop 4633   ร— cxp 5673   โ†พ cres 5677  โ„‚cc 11110  NrmCVeccnv 30104   +โ„Ž cva 30440   ยทโ„Ž csm 30441  normโ„Žcno 30443   Sโ„‹ csh 30448  0โ„‹c0h 30455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30519  ax-hfvadd 30520  ax-hvcom 30521  ax-hvass 30522  ax-hv0cl 30523  ax-hvaddid 30524  ax-hfvmul 30525  ax-hvmulid 30526  ax-hvmulass 30527  ax-hvdistr1 30528  ax-hvdistr2 30529  ax-hvmul0 30530  ax-hfi 30599  ax-his1 30602  ax-his2 30603  ax-his3 30604  ax-his4 30605
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-icc 13335  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-lm 22953  df-haus 23039  df-grpo 30013  df-gid 30014  df-ginv 30015  df-gdiv 30016  df-ablo 30065  df-vc 30079  df-nv 30112  df-va 30115  df-ba 30116  df-sm 30117  df-0v 30118  df-vs 30119  df-nmcv 30120  df-ims 30121  df-hnorm 30488  df-hba 30489  df-hvsub 30491  df-hlim 30492  df-sh 30727  df-ch 30741  df-ch0 30773
This theorem is referenced by:  hhsst  30786
  Copyright terms: Public domain W3C validator