MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmulid2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrmulid2 25325
Description: Left identity for the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrn0.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrn0.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchr1cl.o 1 = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0))
dchrmulid2.t · = (+g𝐺)
dchrmulid2.x (𝜑𝑋𝐷)
Assertion
Ref Expression
dchrmulid2 (𝜑 → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑈,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑘)   · (𝑘)   1 (𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem dchrmulid2
StepHypRef Expression
1 dchrmhm.g . . 3 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrmhm.z . . 3 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchrmhm.b . . 3 𝐷 = (Base‘𝐺)
4 dchrmulid2.t . . 3 · = (+g𝐺)
5 dchrn0.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑍)
6 dchrn0.u . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑍)
7 dchr1cl.o . . . 4 1 = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0))
8 dchrmulid2.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐷)
91, 3dchrrcl 25313 . . . . 5 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
111, 2, 3, 5, 6, 7, 10dchr1cl 25324 . . 3 (𝜑1𝐷)
121, 2, 3, 4, 11, 8dchrmul 25321 . 2 (𝜑 → ( 1 · 𝑋) = ( 1𝑓 · 𝑋))
13 oveq1 6883 . . . . . 6 (1 = if(𝑘𝑈, 1, 0) → (1 · (𝑋𝑘)) = (if(𝑘𝑈, 1, 0) · (𝑋𝑘)))
1413eqeq1d 2799 . . . . 5 (1 = if(𝑘𝑈, 1, 0) → ((1 · (𝑋𝑘)) = (𝑋𝑘) ↔ (if(𝑘𝑈, 1, 0) · (𝑋𝑘)) = (𝑋𝑘)))
15 oveq1 6883 . . . . . 6 (0 = if(𝑘𝑈, 1, 0) → (0 · (𝑋𝑘)) = (if(𝑘𝑈, 1, 0) · (𝑋𝑘)))
1615eqeq1d 2799 . . . . 5 (0 = if(𝑘𝑈, 1, 0) → ((0 · (𝑋𝑘)) = (𝑋𝑘) ↔ (if(𝑘𝑈, 1, 0) · (𝑋𝑘)) = (𝑋𝑘)))
171, 2, 3, 5, 8dchrf 25315 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋:𝐵⟶ℂ)
1817ffvelrnda 6583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
1918adantr 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
2019mulid2d 10345 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑘𝑈) → (1 · (𝑋𝑘)) = (𝑋𝑘))
21 0cn 10318 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
2221mul02i 10513 . . . . . 6 (0 · 0) = 0
231, 2, 5, 6, 10, 3dchrelbas2 25310 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑘𝐵 ((𝑋𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑈))))
248, 23mpbid 224 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑘𝐵 ((𝑋𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑈)))
2524simprd 490 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑘𝐵 ((𝑋𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑈))
2625r19.21bi 3111 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵) → ((𝑋𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑈))
2726necon1bd 2987 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → (¬ 𝑘𝑈 → (𝑋𝑘) = 0))
2827imp 396 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) = 0)
2928oveq2d 6892 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝑈) → (0 · (𝑋𝑘)) = (0 · 0))
3022, 29, 283eqtr4a 2857 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝑈) → (0 · (𝑋𝑘)) = (𝑋𝑘))
3114, 16, 20, 30ifbothda 4312 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵) → (if(𝑘𝑈, 1, 0) · (𝑋𝑘)) = (𝑋𝑘))
3231mpteq2dva 4935 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐵 ↦ (if(𝑘𝑈, 1, 0) · (𝑋𝑘))) = (𝑘𝐵 ↦ (𝑋𝑘)))
335fvexi 6423 . . . . 5 𝐵 ∈ V
3433a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ V)
35 ax-1cn 10280 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
3635, 21ifcli 4321 . . . . 5 if(𝑘𝑈, 1, 0) ∈ ℂ
3736a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝑈, 1, 0) ∈ ℂ)
387a1i 11 . . . 4 (𝜑1 = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0)))
3917feqmptd 6472 . . . 4 (𝜑𝑋 = (𝑘𝐵 ↦ (𝑋𝑘)))
4034, 37, 18, 38, 39offval2 7146 . . 3 (𝜑 → ( 1𝑓 · 𝑋) = (𝑘𝐵 ↦ (if(𝑘𝑈, 1, 0) · (𝑋𝑘))))
4132, 40, 393eqtr4d 2841 . 2 (𝜑 → ( 1𝑓 · 𝑋) = 𝑋)
4212, 41eqtrd 2831 1 (𝜑 → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2969  wral 3087  Vcvv 3383  ifcif 4275  cmpt 4920  cfv 6099  (class class class)co 6876  𝑓 cof 7127  cc 10220  0cc0 10222  1c1 10223   · cmul 10227  cn 11310  Basecbs 16180  +gcplusg 16263   MndHom cmhm 17644  mulGrpcmgp 18801  Unitcui 18951  fldccnfld 20064  ℤ/nczn 20169  DChrcdchr 25305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2375  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-addf 10301  ax-mulf 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-of 7129  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-tpos 7588  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-oadd 7801  df-er 7980  df-ec 7982  df-qs 7986  df-map 8095  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-sup 8588  df-inf 8589  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-7 11377  df-8 11378  df-9 11379  df-n0 11577  df-z 11663  df-dec 11780  df-uz 11927  df-fz 12577  df-struct 16182  df-ndx 16183  df-slot 16184  df-base 16186  df-sets 16187  df-ress 16188  df-plusg 16276  df-mulr 16277  df-starv 16278  df-sca 16279  df-vsca 16280  df-ip 16281  df-tset 16282  df-ple 16283  df-ds 16285  df-unif 16286  df-0g 16413  df-imas 16479  df-qus 16480  df-mgm 17553  df-sgrp 17595  df-mnd 17606  df-mhm 17646  df-grp 17737  df-minusg 17738  df-sbg 17739  df-subg 17900  df-nsg 17901  df-eqg 17902  df-cmn 18506  df-abl 18507  df-mgp 18802  df-ur 18814  df-ring 18861  df-cring 18862  df-oppr 18935  df-dvdsr 18953  df-unit 18954  df-subrg 19092  df-lmod 19179  df-lss 19247  df-lsp 19289  df-sra 19491  df-rgmod 19492  df-lidl 19493  df-rsp 19494  df-2idl 19551  df-cnfld 20065  df-zring 20137  df-zn 20173  df-dchr 25306
This theorem is referenced by:  dchrabl  25327  dchr1  25330
  Copyright terms: Public domain W3C validator