Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmulid2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrmulid2 25843
 Description: Left identity for the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrn0.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrn0.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchr1cl.o 1 = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0))
dchrmulid2.t · = (+g𝐺)
dchrmulid2.x (𝜑𝑋𝐷)
Assertion
Ref Expression
dchrmulid2 (𝜑 → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑈,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑘)   · (𝑘)   1 (𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem dchrmulid2
StepHypRef Expression
1 dchrmhm.g . . 3 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrmhm.z . . 3 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchrmhm.b . . 3 𝐷 = (Base‘𝐺)
4 dchrmulid2.t . . 3 · = (+g𝐺)
5 dchrn0.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑍)
6 dchrn0.u . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑍)
7 dchr1cl.o . . . 4 1 = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0))
8 dchrmulid2.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐷)
91, 3dchrrcl 25831 . . . . 5 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
111, 2, 3, 5, 6, 7, 10dchr1cl 25842 . . 3 (𝜑1𝐷)
121, 2, 3, 4, 11, 8dchrmul 25839 . 2 (𝜑 → ( 1 · 𝑋) = ( 1f · 𝑋))
13 oveq1 7142 . . . . . 6 (1 = if(𝑘𝑈, 1, 0) → (1 · (𝑋𝑘)) = (if(𝑘𝑈, 1, 0) · (𝑋𝑘)))
1413eqeq1d 2800 . . . . 5 (1 = if(𝑘𝑈, 1, 0) → ((1 · (𝑋𝑘)) = (𝑋𝑘) ↔ (if(𝑘𝑈, 1, 0) · (𝑋𝑘)) = (𝑋𝑘)))
15 oveq1 7142 . . . . . 6 (0 = if(𝑘𝑈, 1, 0) → (0 · (𝑋𝑘)) = (if(𝑘𝑈, 1, 0) · (𝑋𝑘)))
1615eqeq1d 2800 . . . . 5 (0 = if(𝑘𝑈, 1, 0) → ((0 · (𝑋𝑘)) = (𝑋𝑘) ↔ (if(𝑘𝑈, 1, 0) · (𝑋𝑘)) = (𝑋𝑘)))
171, 2, 3, 5, 8dchrf 25833 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋:𝐵⟶ℂ)
1817ffvelrnda 6828 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
1918adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
2019mulid2d 10650 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑘𝑈) → (1 · (𝑋𝑘)) = (𝑋𝑘))
21 0cn 10624 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
2221mul02i 10820 . . . . . 6 (0 · 0) = 0
231, 2, 5, 6, 10, 3dchrelbas2 25828 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑘𝐵 ((𝑋𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑈))))
248, 23mpbid 235 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑘𝐵 ((𝑋𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑈)))
2524simprd 499 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑘𝐵 ((𝑋𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑈))
2625r19.21bi 3173 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵) → ((𝑋𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑈))
2726necon1bd 3005 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → (¬ 𝑘𝑈 → (𝑋𝑘) = 0))
2827imp 410 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) = 0)
2928oveq2d 7151 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝑈) → (0 · (𝑋𝑘)) = (0 · 0))
3022, 29, 283eqtr4a 2859 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝑈) → (0 · (𝑋𝑘)) = (𝑋𝑘))
3114, 16, 20, 30ifbothda 4462 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵) → (if(𝑘𝑈, 1, 0) · (𝑋𝑘)) = (𝑋𝑘))
3231mpteq2dva 5125 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐵 ↦ (if(𝑘𝑈, 1, 0) · (𝑋𝑘))) = (𝑘𝐵 ↦ (𝑋𝑘)))
335fvexi 6659 . . . . 5 𝐵 ∈ V
3433a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ V)
35 ax-1cn 10586 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
3635, 21ifcli 4471 . . . . 5 if(𝑘𝑈, 1, 0) ∈ ℂ
3736a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝑈, 1, 0) ∈ ℂ)
387a1i 11 . . . 4 (𝜑1 = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0)))
3917feqmptd 6708 . . . 4 (𝜑𝑋 = (𝑘𝐵 ↦ (𝑋𝑘)))
4034, 37, 18, 38, 39offval2 7408 . . 3 (𝜑 → ( 1f · 𝑋) = (𝑘𝐵 ↦ (if(𝑘𝑈, 1, 0) · (𝑋𝑘))))
4132, 40, 393eqtr4d 2843 . 2 (𝜑 → ( 1f · 𝑋) = 𝑋)
4212, 41eqtrd 2833 1 (𝜑 → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  Vcvv 3441  ifcif 4425   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∘f cof 7388  ℂcc 10526  0cc0 10528  1c1 10529   · cmul 10533  ℕcn 11627  Basecbs 16477  +gcplusg 16559   MndHom cmhm 17948  mulGrpcmgp 19235  Unitcui 19388  ℂfldccnfld 20094  ℤ/nℤczn 20200  DChrcdchr 25823 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-addf 10607  ax-mulf 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7390  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-tpos 7877  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-ec 8276  df-qs 8280  df-map 8393  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-sup 8892  df-inf 8893  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-4 11692  df-5 11693  df-6 11694  df-7 11695  df-8 11696  df-9 11697  df-n0 11888  df-z 11972  df-dec 12089  df-uz 12234  df-fz 12888  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-0g 16709  df-imas 16775  df-qus 16776  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-subg 18271  df-nsg 18272  df-eqg 18273  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-lsp 19740  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-lidl 19942  df-rsp 19943  df-2idl 20001  df-cnfld 20095  df-zring 20167  df-zn 20204  df-dchr 25824 This theorem is referenced by:  dchrabl  25845  dchr1  25848
 Copyright terms: Public domain W3C validator