Theorem dihsslss 39502

Description: The isomorphism H maps to subspaces. (Contributed by NM, 14-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihsslss.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihsslss.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihsslss.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihsslss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dihsslss	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ran 𝐼 ⊆ 𝑆)

Proof of Theorem dihsslss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihsslss.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dihsslss.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	dihcnvid2 39499	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑥)) = 𝑥)
4		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5	4, 1, 2	dihcnvcl 39497	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑥) ∈ (Base‘𝐾))
6		dihsslss.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		dihsslss.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
8	4, 1, 2, 6, 7	dihlss 39476	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (◡𝐼‘𝑥) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑥)) ∈ 𝑆)
9	5, 8	syldan 591	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑥)) ∈ 𝑆)
10	3, 9	eqeltrrd 2839	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝑆)
11	10	ex 413	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 → 𝑥 ∈ 𝑆))
12	11	ssrdv 3936	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ran 𝐼 ⊆ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3896  ^◡ccnv 5604  ran crn 5606  ‘cfv 6463  Basecbs 16979  LSubSpclss 20264  HLchlt 37576  LHypclh 38210  DVecHcdvh 39304  DIsoHcdih 39454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018  ax-riotaBAD 37179

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4849  df-int 4891  df-iun 4937  df-iin 4938  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-tpos 8087  df-undef 8134  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-1o 8342  df-er 8544  df-map 8663  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-fin 8783  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-nn 12044  df-2 12106  df-3 12107  df-4 12108  df-5 12109  df-6 12110  df-n0 12304  df-z 12390  df-uz 12653  df-fz 13310  df-struct 16915  df-sets 16932  df-slot 16950  df-ndx 16962  df-base 16980  df-ress 17009  df-plusg 17042  df-mulr 17043  df-sca 17045  df-vsca 17046  df-0g 17219  df-proset 18080  df-poset 18098  df-plt 18115  df-lub 18131  df-glb 18132  df-join 18133  df-meet 18134  df-p0 18210  df-p1 18211  df-lat 18217  df-clat 18284  df-mgm 18393  df-sgrp 18442  df-mnd 18453  df-submnd 18498  df-grp 18647  df-minusg 18648  df-sbg 18649  df-subg 18819  df-cntz 18990  df-lsm 19308  df-cmn 19455  df-abl 19456  df-mgp 19788  df-ur 19805  df-ring 19852  df-oppr 19929  df-dvdsr 19950  df-unit 19951  df-invr 19981  df-dvr 19992  df-drng 20064  df-lmod 20196  df-lss 20265  df-lsp 20305  df-lvec 20436  df-oposet 37402  df-ol 37404  df-oml 37405  df-covers 37492  df-ats 37493  df-atl 37524  df-cvlat 37548  df-hlat 37577  df-llines 37724  df-lplanes 37725  df-lvols 37726  df-lines 37727  df-psubsp 37729  df-pmap 37730  df-padd 38022  df-lhyp 38214  df-laut 38215  df-ldil 38330  df-ltrn 38331  df-trl 38385  df-tendo 38981  df-edring 38983  df-disoa 39255  df-dvech 39305  df-dib 39365  df-dic 39399  df-dih 39455

This theorem is referenced by:  dihrnlss  39503  dihlspsnssN  39558  dochspss  39604  dochpolN  39716