Theorem dihopelvalcqat 42304

Description: Ordered pair member of the partial isomorphism H for atom argument not under 𝑊. TODO: remove .t hypothesis. (Contributed by NM, 30-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihelval2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihelval2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihelval2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihelval2.p	⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dihelval2.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihelval2.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dihelval2.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihelval2.g	⊢ 𝐺 = (℩𝑔 ∈ 𝑇 (𝑔‘𝑃) = 𝑄)
dihelval2.f	⊢ 𝐹 ∈ V
dihelval2.s	⊢ 𝑆 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
dihopelvalcqat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ (𝐼‘𝑄) ↔ (𝐹 = (𝑆‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)))

Distinct variable groups:   𝑔,𝐾   𝑄,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔)   𝑃(𝑔)   𝑆(𝑔)   𝐸(𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐼(𝑔)   ≤ (𝑔)

Proof of Theorem dihopelvalcqat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihelval2.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		dihelval2.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		dihelval2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
5		dihelval2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	dihvalcqat 42297	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑄) = (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄))
7	6	eleq2d 2846	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ (𝐼‘𝑄) ↔ ⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄)))
8		dihelval2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
9		dihelval2.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10		dihelval2.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
11		dihelval2.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (℩𝑔 ∈ 𝑇 (𝑔‘𝑃) = 𝑄)
12		dihelval2.f	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ V
13		dihelval2.s	. . 3 ⊢ 𝑆 ∈ V
14	1, 2, 3, 8, 9, 10, 4, 11, 12, 13	dicopelval2 42239	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄) ↔ (𝐹 = (𝑆‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)))
15	7, 14	bitrd 282	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ (𝐼‘𝑄) ↔ (𝐹 = (𝑆‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ⟨cop 4589   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  ℩crio 7376  lecple 17435  occoc 17436  Atomscatm 40321  HLchlt 40408  LHypclh 41042  LTrncltrn 41159  TEndoctendo 41810  DIsoCcdic 42230  DIsoHcdih 42286

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-riotaBAD 40011

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-undef 8290  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-0g 17612  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-p0 18597  df-p1 18598  df-lat 18606  df-clat 18673  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-cntz 19531  df-lsm 19850  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-dvr 20631  df-drng 20982  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-lvec 21378  df-oposet 40234  df-ol 40236  df-oml 40237  df-covers 40324  df-ats 40325  df-atl 40356  df-cvlat 40380  df-hlat 40409  df-llines 40556  df-lplanes 40557  df-lvols 40558  df-lines 40559  df-psubsp 40561  df-pmap 40562  df-padd 40854  df-lhyp 41046  df-laut 41047  df-ldil 41162  df-ltrn 41163  df-trl 41217  df-tendo 41813  df-edring 41815  df-disoa 42087  df-dvech 42137  df-dib 42197  df-dic 42231  df-dih 42287

This theorem is used by:  dihmeetlem4preN  42364  dihmeetlem13N  42377  dihjatcclem4  42479