Theorem dihopelvalcqat 41234

Description: Ordered pair member of the partial isomorphism H for atom argument not under 𝑊. TODO: remove .t hypothesis. (Contributed by NM, 30-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihelval2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihelval2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihelval2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihelval2.p	⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dihelval2.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihelval2.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dihelval2.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihelval2.g	⊢ 𝐺 = (℩𝑔 ∈ 𝑇 (𝑔‘𝑃) = 𝑄)
dihelval2.f	⊢ 𝐹 ∈ V
dihelval2.s	⊢ 𝑆 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
dihopelvalcqat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ (𝐼‘𝑄) ↔ (𝐹 = (𝑆‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)))

Distinct variable groups:   𝑔,𝐾   𝑄,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔)   𝑃(𝑔)   𝑆(𝑔)   𝐸(𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐼(𝑔)   ≤ (𝑔)

Proof of Theorem dihopelvalcqat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihelval2.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		dihelval2.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		dihelval2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
5		dihelval2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	dihvalcqat 41227	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑄) = (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄))
7	6	eleq2d 2814	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ (𝐼‘𝑄) ↔ ⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄)))
8		dihelval2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
9		dihelval2.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10		dihelval2.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
11		dihelval2.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (℩𝑔 ∈ 𝑇 (𝑔‘𝑃) = 𝑄)
12		dihelval2.f	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ V
13		dihelval2.s	. . 3 ⊢ 𝑆 ∈ V
14	1, 2, 3, 8, 9, 10, 4, 11, 12, 13	dicopelval2 41169	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄) ↔ (𝐹 = (𝑆‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)))
15	7, 14	bitrd 279	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ (𝐼‘𝑄) ↔ (𝐹 = (𝑆‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  ⟨cop 4591   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  ℩crio 7325  lecple 17204  occoc 17205  Atomscatm 39250  HLchlt 39337  LHypclh 39972  LTrncltrn 40089  TEndoctendo 40740  DIsoCcdic 41160  DIsoHcdih 41216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123  ax-riotaBAD 38940

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-undef 8229  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-4 12229  df-5 12230  df-6 12231  df-n0 12421  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13447  df-struct 17094  df-sets 17111  df-slot 17129  df-ndx 17141  df-base 17157  df-ress 17178  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-0g 17381  df-proset 18236  df-poset 18255  df-plt 18270  df-lub 18286  df-glb 18287  df-join 18288  df-meet 18289  df-p0 18365  df-p1 18366  df-lat 18374  df-clat 18441  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-subg 19038  df-cntz 19232  df-lsm 19551  df-cmn 19697  df-abl 19698  df-mgp 20062  df-rng 20074  df-ur 20103  df-ring 20156  df-oppr 20258  df-dvdsr 20278  df-unit 20279  df-invr 20309  df-dvr 20322  df-drng 20652  df-lmod 20801  df-lss 20871  df-lsp 20911  df-lvec 21043  df-oposet 39163  df-ol 39165  df-oml 39166  df-covers 39253  df-ats 39254  df-atl 39285  df-cvlat 39309  df-hlat 39338  df-llines 39486  df-lplanes 39487  df-lvols 39488  df-lines 39489  df-psubsp 39491  df-pmap 39492  df-padd 39784  df-lhyp 39976  df-laut 39977  df-ldil 40092  df-ltrn 40093  df-trl 40147  df-tendo 40743  df-edring 40745  df-disoa 41017  df-dvech 41067  df-dib 41127  df-dic 41161  df-dih 41217

This theorem is referenced by:  dihmeetlem4preN  41294  dihmeetlem13N  41307  dihjatcclem4  41409