Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihlss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihlss 38388
Description: The value of isomorphism H is a subspace. (Contributed by NM, 6-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihlss.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihlss.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihlss.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihlss.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihlss.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
dihlss (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem dihlss
StepHypRef Expression
1 dihlss.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2823 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 dihlss.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dihlss.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2823 . . . . 5 ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5dihvalb 38375 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼𝑋) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋))
7 dihlss.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8 dihlss.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
91, 2, 3, 7, 5, 8diblss 38308 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋(le‘𝐾)𝑊)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∈ 𝑆)
106, 9eqeltrd 2915 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼𝑋) ∈ 𝑆)
1110anassrs 470 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼𝑋) ∈ 𝑆)
12 eqid 2823 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
13 eqid 2823 . . . 4 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
14 eqid 2823 . . . 4 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
15 eqid 2823 . . . 4 ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
16 eqid 2823 . . . 4 (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
171, 2, 12, 13, 14, 3, 4, 5, 15, 7, 8, 16dihlsscpre 38372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼𝑋) ∈ 𝑆)
1817anassrs 470 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼𝑋) ∈ 𝑆)
1911, 18pm2.61dan 811 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼𝑋) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114   class class class wbr 5068  cfv 6357  Basecbs 16485  lecple 16574  joincjn 17556  meetcmee 17557  LSSumclsm 18761  LSubSpclss 19705  Atomscatm 36401  HLchlt 36488  LHypclh 37122  DVecHcdvh 38216  DIsoBcdib 38276  DIsoCcdic 38310  DIsoHcdih 38366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-riotaBAD 36091
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-tpos 7894  df-undef 7941  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-0g 16717  df-proset 17540  df-poset 17558  df-plt 17570  df-lub 17586  df-glb 17587  df-join 17588  df-meet 17589  df-p0 17651  df-p1 17652  df-lat 17658  df-clat 17720  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-subg 18278  df-cntz 18449  df-lsm 18763  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-oppr 19375  df-dvdsr 19393  df-unit 19394  df-invr 19424  df-dvr 19435  df-drng 19506  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-lsp 19746  df-lvec 19877  df-oposet 36314  df-ol 36316  df-oml 36317  df-covers 36404  df-ats 36405  df-atl 36436  df-cvlat 36460  df-hlat 36489  df-llines 36636  df-lplanes 36637  df-lvols 36638  df-lines 36639  df-psubsp 36641  df-pmap 36642  df-padd 36934  df-lhyp 37126  df-laut 37127  df-ldil 37242  df-ltrn 37243  df-trl 37297  df-tendo 37893  df-edring 37895  df-disoa 38167  df-dvech 38217  df-dib 38277  df-dic 38311  df-dih 38367
This theorem is referenced by:  dihss  38389  xihopellsmN  38392  dihopellsm  38393  dihord5apre  38400  dihf11lem  38404  dihsslss  38414  dihglblem5  38436  dihjatc3  38451  dihmeetlem9N  38453  dihmeetlem13N  38457  dihmeetlem16N  38460  dihmeetlem19N  38463  dihlspsnat  38471  dihglblem6  38478  dihjatcclem1  38556  dihjatcclem2  38557  dihjat  38561
  Copyright terms: Public domain W3C validator