Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihsumssj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihsumssj 40583
Description: The subspace sum of two isomorphisms of lattice elements is less than the isomorphism of their lattice join. (Contributed by NM, 23-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihsumssj.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihsumssj.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihsumssj.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dihsumssj.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihsumssj.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
dihsumssj.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihsumssj.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dihsumssj.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
dihsumssj.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
dihsumssj (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ• (πΌβ€˜π‘Œ)) βŠ† (πΌβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)))

Proof of Theorem dihsumssj
StepHypRef Expression
1 dihsumssj.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 dihsumssj.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 eqid 2731 . . 3 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 dihsumssj.p . . 3 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
5 eqid 2731 . . 3 ((joinHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((joinHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 dihsumssj.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
7 dihsumssj.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
8 dihsumssj.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
9 dihsumssj.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
108, 1, 9, 2, 3dihss 40426 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ))
116, 7, 10syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘‹) βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ))
12 dihsumssj.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
138, 1, 9, 2, 3dihss 40426 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ))
146, 12, 13syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 14djhsumss 40582 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ• (πΌβ€˜π‘Œ)) βŠ† ((πΌβ€˜π‘‹)((joinHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(πΌβ€˜π‘Œ)))
16 dihsumssj.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
178, 16, 1, 9, 5djhlj 40576 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΌβ€˜π‘‹)((joinHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(πΌβ€˜π‘Œ)))
186, 7, 12, 17syl12anc 834 . 2 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΌβ€˜π‘‹)((joinHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(πΌβ€˜π‘Œ)))
1915, 18sseqtrrd 4023 1 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ• (πΌβ€˜π‘Œ)) βŠ† (πΌβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βŠ† wss 3948  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  joincjn 18269  LSSumclsm 19544  HLchlt 38524  LHypclh 39159  DVecHcdvh 40253  DIsoHcdih 40403  joinHcdjh 40569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-riotaBAD 38127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-undef 8262  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-0g 17392  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18390  df-clat 18457  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-drng 20503  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-lvec 20859  df-lsatoms 38150  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-llines 38673  df-lplanes 38674  df-lvols 38675  df-lines 38676  df-psubsp 38678  df-pmap 38679  df-padd 38971  df-lhyp 39163  df-laut 39164  df-ldil 39279  df-ltrn 39280  df-trl 39334  df-tendo 39930  df-edring 39932  df-disoa 40204  df-dvech 40254  df-dib 40314  df-dic 40348  df-dih 40404  df-doch 40523  df-djh 40570
This theorem is referenced by:  dihjatb  40591
  Copyright terms: Public domain W3C validator