Theorem dihsumssj 42559

Description: The subspace sum of two isomorphisms of lattice elements is less than the isomorphism of their lattice join. (Contributed by NM, 23-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihsumssj.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihsumssj.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihsumssj.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dihsumssj.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihsumssj.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dihsumssj.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihsumssj.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihsumssj.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
dihsumssj.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dihsumssj	⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) ⊕ (𝐼‘𝑌)) ⊆ (𝐼‘(𝑋 ∨ 𝑌)))

Proof of Theorem dihsumssj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihsumssj.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dihsumssj.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4		dihsumssj.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
5		eqid 2760	. . 3 ⊢ ((joinH‘𝐾)‘𝑊) = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
6		dihsumssj.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		dihsumssj.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		dihsumssj.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
9		dihsumssj.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
10	8, 1, 9, 2, 3	dihss 42402	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑈))
11	6, 7, 10	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑈))
12		dihsumssj.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
13	8, 1, 9, 2, 3	dihss 42402	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑌) ⊆ (Base‘𝑈))
14	6, 12, 13	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑌) ⊆ (Base‘𝑈))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 14	djhsumss 42558	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) ⊕ (𝐼‘𝑌)) ⊆ ((𝐼‘𝑋)((joinH‘𝐾)‘𝑊)(𝐼‘𝑌)))
16		dihsumssj.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
17	8, 16, 1, 9, 5	djhlj 42552	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐼‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝐼‘𝑋)((joinH‘𝐾)‘𝑊)(𝐼‘𝑌)))
18	6, 7, 12, 17	syl12anc 850	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝐼‘𝑋)((joinH‘𝐾)‘𝑊)(𝐼‘𝑌)))
19	15, 18	sseqtrrd 3945	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) ⊕ (𝐼‘𝑌)) ⊆ (𝐼‘(𝑋 ∨ 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  joincjn 18491  LSSumclsm 19854  HLchlt 40501  LHypclh 41135  DVecHcdvh 42229  DIsoHcdih 42379  joinHcdjh 42545

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-riotaBAD 40104

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-tpos 8247  df-undef 8294  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-0g 17618  df-proset 18474  df-poset 18493  df-plt 18508  df-lub 18524  df-glb 18525  df-join 18526  df-meet 18527  df-p0 18603  df-p1 18604  df-lat 18612  df-clat 18679  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-submnd 18985  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-subg 19339  df-cntz 19537  df-lsm 19856  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-oppr 20573  df-dvdsr 20593  df-unit 20594  df-invr 20624  df-dvr 20637  df-drng 20988  df-lmod 21143  df-lss 21213  df-lsp 21253  df-lvec 21384  df-lsatoms 40127  df-oposet 40327  df-ol 40329  df-oml 40330  df-covers 40417  df-ats 40418  df-atl 40449  df-cvlat 40473  df-hlat 40502  df-llines 40649  df-lplanes 40650  df-lvols 40651  df-lines 40652  df-psubsp 40654  df-pmap 40655  df-padd 40947  df-lhyp 41139  df-laut 41140  df-ldil 41255  df-ltrn 41256  df-trl 41310  df-tendo 41906  df-edring 41908  df-disoa 42180  df-dvech 42230  df-dib 42290  df-dic 42324  df-dih 42380  df-doch 42499  df-djh 42546

This theorem is used by:  dihjatb  42567