Theorem dihsumssj 38022

Description: The subspace sum of two isomorphisms of lattice elements is less than the isomorphism of their lattice join. (Contributed by NM, 23-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihsumssj.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihsumssj.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihsumssj.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dihsumssj.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihsumssj.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dihsumssj.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihsumssj.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihsumssj.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
dihsumssj.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dihsumssj	⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) ⊕ (𝐼‘𝑌)) ⊆ (𝐼‘(𝑋 ∨ 𝑌)))

Proof of Theorem dihsumssj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihsumssj.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dihsumssj.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2773	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4		dihsumssj.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
5		eqid 2773	. . 3 ⊢ ((joinH‘𝐾)‘𝑊) = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
6		dihsumssj.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		dihsumssj.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		dihsumssj.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
9		dihsumssj.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
10	8, 1, 9, 2, 3	dihss 37865	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑈))
11	6, 7, 10	syl2anc 576	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑈))
12		dihsumssj.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
13	8, 1, 9, 2, 3	dihss 37865	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑌) ⊆ (Base‘𝑈))
14	6, 12, 13	syl2anc 576	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑌) ⊆ (Base‘𝑈))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 14	djhsumss 38021	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) ⊕ (𝐼‘𝑌)) ⊆ ((𝐼‘𝑋)((joinH‘𝐾)‘𝑊)(𝐼‘𝑌)))
16		dihsumssj.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
17	8, 16, 1, 9, 5	djhlj 38015	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐼‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝐼‘𝑋)((joinH‘𝐾)‘𝑊)(𝐼‘𝑌)))
18	6, 7, 12, 17	syl12anc 825	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝐼‘𝑋)((joinH‘𝐾)‘𝑊)(𝐼‘𝑌)))
19	15, 18	sseqtr4d 3893	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) ⊕ (𝐼‘𝑌)) ⊆ (𝐼‘(𝑋 ∨ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   ⊆ wss 3824  ‘cfv 6186  (class class class)co 6975  Basecbs 16338  joincjn 17425  LSSumclsm 18533  HLchlt 35964  LHypclh 36598  DVecHcdvh 37692  DIsoHcdih 37842  joinHcdjh 38008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411  ax-riotaBAD 35567

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-int 4747  df-iun 4791  df-iin 4792  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-tpos 7694  df-undef 7741  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-1o 7904  df-oadd 7908  df-er 8088  df-map 8207  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-fin 8309  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-nn 11439  df-2 11502  df-3 11503  df-4 11504  df-5 11505  df-6 11506  df-n0 11707  df-z 11793  df-uz 12058  df-fz 12708  df-struct 16340  df-ndx 16341  df-slot 16342  df-base 16344  df-sets 16345  df-ress 16346  df-plusg 16433  df-mulr 16434  df-sca 16436  df-vsca 16437  df-0g 16570  df-proset 17409  df-poset 17427  df-plt 17439  df-lub 17455  df-glb 17456  df-join 17457  df-meet 17458  df-p0 17520  df-p1 17521  df-lat 17527  df-clat 17589  df-mgm 17723  df-sgrp 17765  df-mnd 17776  df-submnd 17817  df-grp 17907  df-minusg 17908  df-sbg 17909  df-subg 18073  df-cntz 18231  df-lsm 18535  df-cmn 18681  df-abl 18682  df-mgp 18976  df-ur 18988  df-ring 19035  df-oppr 19109  df-dvdsr 19127  df-unit 19128  df-invr 19158  df-dvr 19169  df-drng 19240  df-lmod 19371  df-lss 19439  df-lsp 19479  df-lvec 19610  df-lsatoms 35590  df-oposet 35790  df-ol 35792  df-oml 35793  df-covers 35880  df-ats 35881  df-atl 35912  df-cvlat 35936  df-hlat 35965  df-llines 36112  df-lplanes 36113  df-lvols 36114  df-lines 36115  df-psubsp 36117  df-pmap 36118  df-padd 36410  df-lhyp 36602  df-laut 36603  df-ldil 36718  df-ltrn 36719  df-trl 36773  df-tendo 37369  df-edring 37371  df-disoa 37643  df-dvech 37693  df-dib 37753  df-dic 37787  df-dih 37843  df-doch 37962  df-djh 38009

This theorem is referenced by:  dihjatb  38030