Theorem djhspss 37987

Description: Subspace span of union is a subset of subspace join. (Contributed by NM, 6-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
djhspss.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
djhspss.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
djhspss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
djhspss.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
djhspss.j	⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
djhspss.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
djhspss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
djhspss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
djhspss	⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 ∪ 𝑌)) ⊆ (𝑋 ∨ 𝑌))

Proof of Theorem djhspss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djhspss.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		djhspss.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2772	. . 3 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		djhspss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		djhspss.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
6		djhspss.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		djhspss.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
8		djhspss.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑉)
9	7, 8	unssd 4044	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ 𝑉)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	dochspss 37959	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 ∪ 𝑌)) ⊆ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋 ∪ 𝑌))))
11		djhspss.j	. . . 4 ⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
12	1, 2, 4, 3, 11	djhval2 37980	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋 ∪ 𝑌))))
13	6, 7, 8, 12	syl3anc 1351	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ 𝑌) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋 ∪ 𝑌))))
14	10, 13	sseqtr4d 3892	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 ∪ 𝑌)) ⊆ (𝑋 ∨ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ∪ cun 3821   ⊆ wss 3823  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  Basecbs 16333  LSpanclspn 19459  HLchlt 35931  LHypclh 36565  DVecHcdvh 37659  ocHcoch 37928  joinHcdjh 37975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406  ax-riotaBAD 35534

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-tpos 7689  df-undef 7736  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-1o 7899  df-oadd 7903  df-er 8083  df-map 8202  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-fin 8304  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-nn 11434  df-2 11497  df-3 11498  df-4 11499  df-5 11500  df-6 11501  df-n0 11702  df-z 11788  df-uz 12053  df-fz 12703  df-struct 16335  df-ndx 16336  df-slot 16337  df-base 16339  df-sets 16340  df-ress 16341  df-plusg 16428  df-mulr 16429  df-sca 16431  df-vsca 16432  df-0g 16565  df-proset 17390  df-poset 17408  df-plt 17420  df-lub 17436  df-glb 17437  df-join 17438  df-meet 17439  df-p0 17501  df-p1 17502  df-lat 17508  df-clat 17570  df-mgm 17704  df-sgrp 17746  df-mnd 17757  df-submnd 17798  df-grp 17888  df-minusg 17889  df-sbg 17890  df-subg 18054  df-cntz 18212  df-lsm 18516  df-cmn 18662  df-abl 18663  df-mgp 18957  df-ur 18969  df-ring 19016  df-oppr 19090  df-dvdsr 19108  df-unit 19109  df-invr 19139  df-dvr 19150  df-drng 19221  df-lmod 19352  df-lss 19420  df-lsp 19460  df-lvec 19591  df-lsatoms 35557  df-oposet 35757  df-ol 35759  df-oml 35760  df-covers 35847  df-ats 35848  df-atl 35879  df-cvlat 35903  df-hlat 35932  df-llines 36079  df-lplanes 36080  df-lvols 36081  df-lines 36082  df-psubsp 36084  df-pmap 36085  df-padd 36377  df-lhyp 36569  df-laut 36570  df-ldil 36685  df-ltrn 36686  df-trl 36740  df-tendo 37336  df-edring 37338  df-disoa 37610  df-dvech 37660  df-dib 37720  df-dic 37754  df-dih 37810  df-doch 37929  df-djh 37976

This theorem is referenced by:  djhsumss  37988  djhunssN  37990