Theorem djhcom 42555

Description: Subspace join is commutative. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
djhcom.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
djhcom.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
djhcom.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
djhcom.j	⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
djhcom.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
djhcom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
djhcom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
djhcom	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Proof of Theorem djhcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uncom 4157	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∪ 𝑌) = (𝑌 ∪ 𝑋)
2	1	fveq2i 6888	. . 3 ⊢ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋 ∪ 𝑌)) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌 ∪ 𝑋))
3	2	fveq2i 6888	. 2 ⊢ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋 ∪ 𝑌))) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌 ∪ 𝑋)))
4		djhcom.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
5		djhcom.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
6		djhcom.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑉)
7		djhcom.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		djhcom.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		djhcom.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
10		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
11		djhcom.j	. . . 4 ⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
12	7, 8, 9, 10, 11	djhval2 42549	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋 ∪ 𝑌))))
13	4, 5, 6, 12	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ 𝑌) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋 ∪ 𝑌))))
14	7, 8, 9, 10, 11	djhval2 42549	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (𝑌 ∨ 𝑋) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌 ∪ 𝑋))))
15	4, 6, 5, 14	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∨ 𝑋) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌 ∪ 𝑋))))
16	3, 13, 15	3eqtr4a 2821	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   ∪ cun 4149  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  HLchlt 40500  LHypclh 41134  DVecHcdvh 42228  ocHcoch 42497  joinHcdjh 42544

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-riotaBAD 40103

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8246  df-undef 8293  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-0g 17617  df-proset 18473  df-poset 18492  df-plt 18507  df-lub 18523  df-glb 18524  df-join 18525  df-meet 18526  df-p0 18602  df-p1 18603  df-lat 18611  df-clat 18678  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-submnd 18984  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-sbg 19154  df-subg 19338  df-cntz 19536  df-lsm 19855  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-ur 20413  df-ring 20466  df-oppr 20572  df-dvdsr 20592  df-unit 20593  df-invr 20623  df-dvr 20636  df-drng 20987  df-lmod 21142  df-lss 21212  df-lsp 21252  df-lvec 21383  df-lsatoms 40126  df-oposet 40326  df-ol 40328  df-oml 40329  df-covers 40416  df-ats 40417  df-atl 40448  df-cvlat 40472  df-hlat 40501  df-llines 40648  df-lplanes 40649  df-lvols 40650  df-lines 40651  df-psubsp 40653  df-pmap 40654  df-padd 40946  df-lhyp 41138  df-laut 41139  df-ldil 41254  df-ltrn 41255  df-trl 41309  df-tendo 41905  df-edring 41907  df-disoa 42179  df-dvech 42229  df-dib 42289  df-dic 42323  df-dih 42379  df-doch 42498  df-djh 42545

This theorem is used by:  djh02  42563  dochsatshp  42601