Theorem djhcom 38533

Description: Subspace join commutes. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
djhcom.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
djhcom.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
djhcom.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
djhcom.j	⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
djhcom.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
djhcom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
djhcom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
djhcom	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Proof of Theorem djhcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uncom 4127	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∪ 𝑌) = (𝑌 ∪ 𝑋)
2	1	fveq2i 6666	. . 3 ⊢ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋 ∪ 𝑌)) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌 ∪ 𝑋))
3	2	fveq2i 6666	. 2 ⊢ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋 ∪ 𝑌))) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌 ∪ 𝑋)))
4		djhcom.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
5		djhcom.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
6		djhcom.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑉)
7		djhcom.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		djhcom.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		djhcom.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
10		eqid 2819	. . . 4 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
11		djhcom.j	. . . 4 ⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
12	7, 8, 9, 10, 11	djhval2 38527	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋 ∪ 𝑌))))
13	4, 5, 6, 12	syl3anc 1366	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ 𝑌) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋 ∪ 𝑌))))
14	7, 8, 9, 10, 11	djhval2 38527	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (𝑌 ∨ 𝑋) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌 ∪ 𝑋))))
15	4, 6, 5, 14	syl3anc 1366	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∨ 𝑋) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌 ∪ 𝑋))))
16	3, 13, 15	3eqtr4a 2880	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3932   ⊆ wss 3934  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  HLchlt 36478  LHypclh 37112  DVecHcdvh 38206  ocHcoch 38475  joinHcdjh 38522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-riotaBAD 36081

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-undef 7931  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-0g 16707  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-lsm 18753  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-dvr 19425  df-drng 19496  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-lsp 19736  df-lvec 19867  df-lsatoms 36104  df-oposet 36304  df-ol 36306  df-oml 36307  df-covers 36394  df-ats 36395  df-atl 36426  df-cvlat 36450  df-hlat 36479  df-llines 36626  df-lplanes 36627  df-lvols 36628  df-lines 36629  df-psubsp 36631  df-pmap 36632  df-padd 36924  df-lhyp 37116  df-laut 37117  df-ldil 37232  df-ltrn 37233  df-trl 37287  df-tendo 37883  df-edring 37885  df-disoa 38157  df-dvech 38207  df-dib 38267  df-dic 38301  df-dih 38357  df-doch 38476  df-djh 38523

This theorem is referenced by:  djh02  38541  dochsatshp  38579