Theorem dochnel2 40897

Description: A nonzero member of a subspace doesn't belong to the orthocomplement of the subspace. (Contributed by NM, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochnoncon.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochnoncon.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochnoncon.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dochnoncon.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dochnoncon.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochnel2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochnel2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
dochnel2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑇 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
dochnel2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘𝑇))

Proof of Theorem dochnel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochnel2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑇 ∖ { 0 }))
2	1	eldifbd 3962	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ { 0 })
3	1	eldifad 3961	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑇)
4		elin 3965	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑇 ∩ ( ⊥ ‘𝑇)) ↔ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘𝑇)))
5		dochnel2.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		dochnel2.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
7		dochnoncon.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		dochnoncon.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		dochnoncon.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
10		dochnoncon.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
11		dochnoncon.o	. . . . . . . 8 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
12	7, 8, 9, 10, 11	dochnoncon 40896	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → (𝑇 ∩ ( ⊥ ‘𝑇)) = { 0 })
13	5, 6, 12	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ ( ⊥ ‘𝑇)) = { 0 })
14	13	eleq2d 2815	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ∩ ( ⊥ ‘𝑇)) ↔ 𝑋 ∈ { 0 }))
15	4, 14	bitr3id 284	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘𝑇)) ↔ 𝑋 ∈ { 0 }))
16	15	biimpd 228	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘𝑇)) → 𝑋 ∈ { 0 }))
17	3, 16	mpand 693	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ( ⊥ ‘𝑇) → 𝑋 ∈ { 0 }))
18	2, 17	mtod 197	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∖ cdif 3946   ∩ cin 3948  {csn 4632  ‘cfv 6553  0_gc0g 17428  LSubSpclss 20822  HLchlt 38854  LHypclh 39489  DVecHcdvh 40583  ocHcoch 40852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-riotaBAD 38457

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-undef 8285  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-0g 17430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-p1 18425  df-lat 18431  df-clat 18498  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-cntz 19275  df-lsm 19598  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-drng 20633  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-lvec 20995  df-lsatoms 38480  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-llines 39003  df-lplanes 39004  df-lvols 39005  df-lines 39006  df-psubsp 39008  df-pmap 39009  df-padd 39301  df-lhyp 39493  df-laut 39494  df-ldil 39609  df-ltrn 39610  df-trl 39664  df-tendo 40260  df-edring 40262  df-disoa 40534  df-dvech 40584  df-dib 40644  df-dic 40678  df-dih 40734  df-doch 40853

This theorem is referenced by:  dochnel  40898