Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochnel2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochnel2 38660
 Description: A nonzero member of a subspace doesn't belong to the orthocomplement of the subspace. (Contributed by NM, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochnoncon.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochnoncon.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochnoncon.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dochnoncon.z 0 = (0g𝑈)
dochnoncon.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochnel2.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dochnel2.t (𝜑𝑇𝑆)
dochnel2.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑇 ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
dochnel2 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ( 𝑇))

Proof of Theorem dochnel2
StepHypRef Expression
1 dochnel2.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑇 ∖ { 0 }))
21eldifbd 3932 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ { 0 })
31eldifad 3931 . . 3 (𝜑𝑋𝑇)
4 elin 3935 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑇 ∩ ( 𝑇)) ↔ (𝑋𝑇𝑋 ∈ ( 𝑇)))
5 dochnel2.k . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 dochnel2.t . . . . . . 7 (𝜑𝑇𝑆)
7 dochnoncon.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 dochnoncon.u . . . . . . . 8 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9 dochnoncon.s . . . . . . . 8 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
10 dochnoncon.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑈)
11 dochnoncon.o . . . . . . . 8 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
127, 8, 9, 10, 11dochnoncon 38659 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑇𝑆) → (𝑇 ∩ ( 𝑇)) = { 0 })
135, 6, 12syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇 ∩ ( 𝑇)) = { 0 })
1413eleq2d 2901 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ∩ ( 𝑇)) ↔ 𝑋 ∈ { 0 }))
154, 14bitr3id 288 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋𝑇𝑋 ∈ ( 𝑇)) ↔ 𝑋 ∈ { 0 }))
1615biimpd 232 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝑇𝑋 ∈ ( 𝑇)) → 𝑋 ∈ { 0 }))
173, 16mpand 694 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ ( 𝑇) → 𝑋 ∈ { 0 }))
182, 17mtod 201 1 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ( 𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ∖ cdif 3916   ∩ cin 3918  {csn 4550  ‘cfv 6345  0gc0g 16715  LSubSpclss 19705  HLchlt 36618  LHypclh 37252  DVecHcdvh 38346  ocHcoch 38615 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-riotaBAD 36221 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-tpos 7890  df-undef 7937  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12897  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-0g 16717  df-proset 17540  df-poset 17558  df-plt 17570  df-lub 17586  df-glb 17587  df-join 17588  df-meet 17589  df-p0 17651  df-p1 17652  df-lat 17658  df-clat 17720  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-subg 18278  df-cntz 18449  df-lsm 18763  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-oppr 19378  df-dvdsr 19396  df-unit 19397  df-invr 19427  df-dvr 19438  df-drng 19506  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-lsp 19746  df-lvec 19877  df-lsatoms 36244  df-oposet 36444  df-ol 36446  df-oml 36447  df-covers 36534  df-ats 36535  df-atl 36566  df-cvlat 36590  df-hlat 36619  df-llines 36766  df-lplanes 36767  df-lvols 36768  df-lines 36769  df-psubsp 36771  df-pmap 36772  df-padd 37064  df-lhyp 37256  df-laut 37257  df-ldil 37372  df-ltrn 37373  df-trl 37427  df-tendo 38023  df-edring 38025  df-disoa 38297  df-dvech 38347  df-dib 38407  df-dic 38441  df-dih 38497  df-doch 38616 This theorem is referenced by:  dochnel  38661
 Copyright terms: Public domain W3C validator