Theorem dochnel2 40252

Description: A nonzero member of a subspace doesn't belong to the orthocomplement of the subspace. (Contributed by NM, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochnoncon.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochnoncon.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochnoncon.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dochnoncon.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dochnoncon.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochnel2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochnel2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
dochnel2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑇 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
dochnel2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘𝑇))

Proof of Theorem dochnel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochnel2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑇 ∖ { 0 }))
2	1	eldifbd 3961	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ { 0 })
3	1	eldifad 3960	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑇)
4		elin 3964	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑇 ∩ ( ⊥ ‘𝑇)) ↔ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘𝑇)))
5		dochnel2.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		dochnel2.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
7		dochnoncon.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		dochnoncon.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		dochnoncon.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
10		dochnoncon.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
11		dochnoncon.o	. . . . . . . 8 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
12	7, 8, 9, 10, 11	dochnoncon 40251	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → (𝑇 ∩ ( ⊥ ‘𝑇)) = { 0 })
13	5, 6, 12	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ ( ⊥ ‘𝑇)) = { 0 })
14	13	eleq2d 2820	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ∩ ( ⊥ ‘𝑇)) ↔ 𝑋 ∈ { 0 }))
15	4, 14	bitr3id 285	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘𝑇)) ↔ 𝑋 ∈ { 0 }))
16	15	biimpd 228	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘𝑇)) → 𝑋 ∈ { 0 }))
17	3, 16	mpand 694	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ( ⊥ ‘𝑇) → 𝑋 ∈ { 0 }))
18	2, 17	mtod 197	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3945   ∩ cin 3947  {csn 4628  ‘cfv 6541  0_gc0g 17382  LSubSpclss 20535  HLchlt 38209  LHypclh 38844  DVecHcdvh 39938  ocHcoch 40207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-riotaBAD 37812

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-undef 8255  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-0g 17384  df-proset 18245  df-poset 18263  df-plt 18280  df-lub 18296  df-glb 18297  df-join 18298  df-meet 18299  df-p0 18375  df-p1 18376  df-lat 18382  df-clat 18449  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-subg 18998  df-cntz 19176  df-lsm 19499  df-cmn 19645  df-abl 19646  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-oppr 20143  df-dvdsr 20164  df-unit 20165  df-invr 20195  df-dvr 20208  df-drng 20310  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-lsp 20576  df-lvec 20707  df-lsatoms 37835  df-oposet 38035  df-ol 38037  df-oml 38038  df-covers 38125  df-ats 38126  df-atl 38157  df-cvlat 38181  df-hlat 38210  df-llines 38358  df-lplanes 38359  df-lvols 38360  df-lines 38361  df-psubsp 38363  df-pmap 38364  df-padd 38656  df-lhyp 38848  df-laut 38849  df-ldil 38964  df-ltrn 38965  df-trl 39019  df-tendo 39615  df-edring 39617  df-disoa 39889  df-dvech 39939  df-dib 39999  df-dic 40033  df-dih 40089  df-doch 40208

This theorem is referenced by:  dochnel  40253