Theorem dochoc0 41309

Description: The zero subspace is closed. (Contributed by NM, 16-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochoc0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochoc0.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochoc0.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochoc0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dochoc0.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dochoc0	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{ 0 })) = { 0 })

Proof of Theorem dochoc0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochoc0.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dochoc0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dochoc0.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochoc0.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
6		dochoc0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
7	2, 3, 4, 5, 6	doch0 41307	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘{ 0 }) = (Base‘𝑈))
8	7	fveq2d 6919	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{ 0 })) = ( ⊥ ‘(Base‘𝑈)))
9	2, 3, 4, 5, 6	doch1 41308	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘(Base‘𝑈)) = { 0 })
10	8, 9	eqtrd 2780	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{ 0 })) = { 0 })
11	1, 10	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{ 0 })) = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {csn 4648  ‘cfv 6568  Basecbs 17252  0_gc0g 17493  HLchlt 39298  LHypclh 39933  DVecHcdvh 41027  ocHcoch 41296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7764  ax-cnex 11234  ax-resscn 11235  ax-1cn 11236  ax-icn 11237  ax-addcl 11238  ax-addrcl 11239  ax-mulcl 11240  ax-mulrcl 11241  ax-mulcom 11242  ax-addass 11243  ax-mulass 11244  ax-distr 11245  ax-i2m1 11246  ax-1ne0 11247  ax-1rid 11248  ax-rnegex 11249  ax-rrecex 11250  ax-cnre 11251  ax-pre-lttri 11252  ax-pre-lttrn 11253  ax-pre-ltadd 11254  ax-pre-mulgt0 11255  ax-riotaBAD 38901

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5650  df-we 5652  df-xp 5701  df-rel 5702  df-cnv 5703  df-co 5704  df-dm 5705  df-rn 5706  df-res 5707  df-ima 5708  df-pred 6327  df-ord 6393  df-on 6394  df-lim 6395  df-suc 6396  df-iota 6520  df-fun 6570  df-fn 6571  df-f 6572  df-f1 6573  df-fo 6574  df-f1o 6575  df-fv 6576  df-riota 7399  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7898  df-1st 8024  df-2nd 8025  df-tpos 8261  df-undef 8308  df-frecs 8316  df-wrecs 8347  df-recs 8421  df-rdg 8460  df-1o 8516  df-er 8757  df-map 8880  df-en 8998  df-dom 8999  df-sdom 9000  df-fin 9001  df-pnf 11320  df-mnf 11321  df-xr 11322  df-ltxr 11323  df-le 11324  df-sub 11516  df-neg 11517  df-nn 12288  df-2 12350  df-3 12351  df-4 12352  df-5 12353  df-6 12354  df-n0 12548  df-z 12634  df-uz 12898  df-fz 13562  df-struct 17188  df-sets 17205  df-slot 17223  df-ndx 17235  df-base 17253  df-ress 17282  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-0g 17495  df-proset 18359  df-poset 18377  df-plt 18394  df-lub 18410  df-glb 18411  df-join 18412  df-meet 18413  df-p0 18489  df-p1 18490  df-lat 18496  df-clat 18563  df-mgm 18672  df-sgrp 18751  df-mnd 18767  df-submnd 18813  df-grp 18970  df-minusg 18971  df-sbg 18972  df-subg 19157  df-cntz 19351  df-lsm 19672  df-cmn 19818  df-abl 19819  df-mgp 20156  df-rng 20174  df-ur 20203  df-ring 20256  df-oppr 20354  df-dvdsr 20377  df-unit 20378  df-invr 20408  df-dvr 20421  df-drng 20747  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-lvec 21119  df-oposet 39124  df-ol 39126  df-oml 39127  df-covers 39214  df-ats 39215  df-atl 39246  df-cvlat 39270  df-hlat 39299  df-llines 39447  df-lplanes 39448  df-lvols 39449  df-lines 39450  df-psubsp 39452  df-pmap 39453  df-padd 39745  df-lhyp 39937  df-laut 39938  df-ldil 40053  df-ltrn 40054  df-trl 40108  df-tendo 40704  df-edring 40706  df-disoa 40978  df-dvech 41028  df-dib 41088  df-dic 41122  df-dih 41178  df-doch 41297

This theorem is referenced by:  dochsat  41332