Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochoc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochoc1 38567
Description: The unit subspace (all vectors) is closed. (Contributed by NM, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochoc1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochoc1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochoc1.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochoc1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochoc1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
dochoc1 (𝜑 → ( ‘( 𝑉)) = 𝑉)

Proof of Theorem dochoc1
StepHypRef Expression
1 dochoc1.k . 2 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dochoc1.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 dochoc1.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 dochoc1.o . . . . 5 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
5 dochoc1.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
6 eqid 2824 . . . . 5 (0g𝑈) = (0g𝑈)
72, 3, 4, 5, 6doch1 38565 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( 𝑉) = {(0g𝑈)})
87fveq2d 6662 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( ‘( 𝑉)) = ( ‘{(0g𝑈)}))
92, 3, 4, 5, 6doch0 38564 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( ‘{(0g𝑈)}) = 𝑉)
108, 9eqtrd 2859 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( ‘( 𝑉)) = 𝑉)
111, 10syl 17 1 (𝜑 → ( ‘( 𝑉)) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  {csn 4549  cfv 6343  Basecbs 16479  0gc0g 16709  HLchlt 36556  LHypclh 37190  DVecHcdvh 38284  ocHcoch 38553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-riotaBAD 36159
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-tpos 7882  df-undef 7929  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-4 11695  df-5 11696  df-6 11697  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237  df-fz 12891  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-0g 16711  df-proset 17534  df-poset 17552  df-plt 17564  df-lub 17580  df-glb 17581  df-join 17582  df-meet 17583  df-p0 17645  df-p1 17646  df-lat 17652  df-clat 17714  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-subg 18272  df-cntz 18443  df-lsm 18757  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-drng 19497  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-lvec 19868  df-oposet 36382  df-ol 36384  df-oml 36385  df-covers 36472  df-ats 36473  df-atl 36504  df-cvlat 36528  df-hlat 36557  df-llines 36704  df-lplanes 36705  df-lvols 36706  df-lines 36707  df-psubsp 36709  df-pmap 36710  df-padd 37002  df-lhyp 37194  df-laut 37195  df-ldil 37310  df-ltrn 37311  df-trl 37365  df-tendo 37961  df-edring 37963  df-disoa 38235  df-dvech 38285  df-dib 38345  df-dic 38379  df-dih 38435  df-doch 38554
This theorem is referenced by:  dochlkr  38591  dochkrshp  38592  dochkrshp4  38595  lcfl9a  38711  lclkrlem1  38712  lclkrlem2e  38717  lclkrlem2h  38720  lclkrlem2s  38731  lclkrlem2w  38735  lclkr  38739  lclkrs  38745  mapd0  38871
  Copyright terms: Public domain W3C validator