Theorem evl1maprhm 22607

Description: The function 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their evaluation at a given point 𝑋 is a ring homomorphism. (Contributed by metakunt, 19-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1maprhm.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1maprhm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1maprhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1maprhm.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1maprhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1maprhm.y	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
evl1maprhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
evl1maprhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑅,𝑝   𝑋,𝑝   𝜑,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑝)   𝑃(𝑝)   𝑈(𝑝)   𝐹(𝑝)   𝑂(𝑝)

Proof of Theorem evl1maprhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1maprhm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋)))
3		evl1maprhm.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
4		evl1maprhm.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		ssidd 3954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
6		evl1maprhm.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7	6	elexd 3473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
8	6	crngringd 20388	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10	9	subrgid 20738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
11	8, 10	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
12	11	elexd 3473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
13		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅))
14	13, 9	ressid2 17329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝑅 ∈ V ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = 𝑅)
15	5, 7, 12, 14	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = 𝑅)
16		eqcom 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = 𝑅 ↔ 𝑅 = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))
17	16	imbi2i 339	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = 𝑅) ↔ (𝜑 → 𝑅 = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅))))
18	15, 17	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))
19	18	fveq2d 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))))
20	4, 19	eqtrid 2807	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))))
21	20	fveq2d 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))))
22	3, 21	eqtrid 2807	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))))
23		evl1maprhm.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
24	23, 9	evl1fval1 22559	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅)))
26	25	fveq1d 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑝) = ((𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))‘𝑝))
27	26	fveq1d 6881	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = (((𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))‘𝑝)‘𝑋))
28	22, 27	mpteq12dv 5192	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋)) = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))) ↦ (((𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))‘𝑝)‘𝑋)))
29		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅)) = (𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))
30		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))) = (Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))
31		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))) = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))))
32		evl1maprhm.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
33		evl1maprhm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
34	32, 33	eleqtrdi 2870	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
35		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))) ↦ (((𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))‘𝑝)‘𝑋)) = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))) ↦ (((𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))‘𝑝)‘𝑋))
36	29, 30, 9, 31, 6, 11, 34, 35	evls1maprhm 22604	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))) ↦ (((𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))‘𝑝)‘𝑋)) ∈ ((Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))) RingHom 𝑅))
37	28, 36	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋)) ∈ ((Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))) RingHom 𝑅))
38	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Poly1‘𝑅))
39	15	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))
40	39	fveq2d 6883	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))))
41	38, 40	eqtr2d 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))) = 𝑃)
42	41	oveq1d 7429	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))) RingHom 𝑅) = (𝑃 RingHom 𝑅))
43	37, 42	eleqtrd 2862	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋)) ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))
44	2, 43	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304   ↾_s cress 17325  Ringcrg 20375  CRingccrg 20376   RingHom crh 20613  SubRingcsubrg 20734  Poly₁cpl1 22405   evalSub₁ ces1 22541  eval₁ce1 22542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-seq 14069  df-hash 14398  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-hom 17369  df-cco 17370  df-0g 17529  df-gsum 17530  df-prds 17535  df-pws 17537  df-mre 17673  df-mrc 17674  df-acs 17676  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-mhm 18894  df-submnd 18895  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-sbg 19065  df-mulg 19194  df-subg 19249  df-ghm 19344  df-cntz 19447  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-srg 20329  df-ring 20377  df-cring 20378  df-rhm 20616  df-subrng 20711  df-subrg 20735  df-lmod 21049  df-lss 21119  df-lsp 21159  df-assa 22071  df-asp 22072  df-ascl 22073  df-psr 22127  df-mvr 22128  df-mpl 22129  df-opsr 22131  df-evls 22293  df-evl 22294  df-psr1 22408  df-vr1 22409  df-ply1 22410  df-coe1 22411  df-evls1 22543  df-evl1 22544

This theorem is used by:  aks5lem1  43055  aks5lem2  43056