Theorem evl1maprhm 22264

Description: The function 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their evaluation at a given point 𝑋 is a ring homomorphism. (Contributed by metakunt, 19-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1maprhm.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1maprhm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1maprhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1maprhm.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1maprhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1maprhm.y	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
evl1maprhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
evl1maprhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑅,𝑝   𝑋,𝑝   𝜑,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑝)   𝑃(𝑝)   𝑈(𝑝)   𝐹(𝑝)   𝑂(𝑝)

Proof of Theorem evl1maprhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1maprhm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋)))
3		evl1maprhm.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
4		evl1maprhm.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		ssidd 3959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
6		evl1maprhm.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7	6	elexd 3460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
8	6	crngringd 20131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10	9	subrgid 20458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
12	11	elexd 3460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
13		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅))
14	13, 9	ressid2 17145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝑅 ∈ V ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = 𝑅)
15	5, 7, 12, 14	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = 𝑅)
16		eqcom 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = 𝑅 ↔ 𝑅 = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))
17	16	imbi2i 336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = 𝑅) ↔ (𝜑 → 𝑅 = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅))))
18	15, 17	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))
19	18	fveq2d 6826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))))
20	4, 19	eqtrid 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))))
21	20	fveq2d 6826	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))))
22	3, 21	eqtrid 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))))
23		evl1maprhm.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
24	23, 9	evl1fval1 22216	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅)))
26	25	fveq1d 6824	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑝) = ((𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))‘𝑝))
27	26	fveq1d 6824	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = (((𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))‘𝑝)‘𝑋))
28	22, 27	mpteq12dv 5179	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋)) = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))) ↦ (((𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))‘𝑝)‘𝑋)))
29		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅)) = (𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))
30		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))) = (Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))
31		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))) = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))))
32		evl1maprhm.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
33		evl1maprhm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
34	32, 33	eleqtrdi 2838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
35		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))) ↦ (((𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))‘𝑝)‘𝑋)) = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))) ↦ (((𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))‘𝑝)‘𝑋))
36	29, 30, 9, 31, 6, 11, 34, 35	evls1maprhm 22261	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))) ↦ (((𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))‘𝑝)‘𝑋)) ∈ ((Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))) RingHom 𝑅))
37	28, 36	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋)) ∈ ((Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))) RingHom 𝑅))
38	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Poly1‘𝑅))
39	15	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))
40	39	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))))
41	38, 40	eqtr2d 2765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))) = 𝑃)
42	41	oveq1d 7364	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))) RingHom 𝑅) = (𝑃 RingHom 𝑅))
43	37, 42	eleqtrd 2830	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋)) ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))
44	2, 43	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903   ↦ cmpt 5173  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  Ringcrg 20118  CRingccrg 20119   RingHom crh 20354  SubRingcsubrg 20454  Poly₁cpl1 22059   evalSub₁ ces1 22198  eval₁ce1 22199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-ofr 7614  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-mulg 18947  df-subg 19002  df-ghm 19092  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-srg 20072  df-ring 20120  df-cring 20121  df-rhm 20357  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-lsp 20875  df-assa 21760  df-asp 21761  df-ascl 21762  df-psr 21816  df-mvr 21817  df-mpl 21818  df-opsr 21820  df-evls 21979  df-evl 21980  df-psr1 22062  df-vr1 22063  df-ply1 22064  df-coe1 22065  df-evls1 22200  df-evl1 22201

This theorem is referenced by:  aks5lem1  42159  aks5lem2  42160