Theorem evl1maprhm 22323

Description: The function 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their evaluation at a given point 𝑋 is a ring homomorphism. (Contributed by metakunt, 19-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1maprhm.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1maprhm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1maprhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1maprhm.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1maprhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1maprhm.y	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
evl1maprhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
evl1maprhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑅,𝑝   𝑋,𝑝   𝜑,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑝)   𝑃(𝑝)   𝑈(𝑝)   𝐹(𝑝)   𝑂(𝑝)

Proof of Theorem evl1maprhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1maprhm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋)))
3		evl1maprhm.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
4		evl1maprhm.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		ssidd 3957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
6		evl1maprhm.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7	6	elexd 3464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
8	6	crngringd 20181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10	9	subrgid 20506	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
12	11	elexd 3464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
13		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅))
14	13, 9	ressid2 17161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝑅 ∈ V ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = 𝑅)
15	5, 7, 12, 14	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = 𝑅)
16		eqcom 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = 𝑅 ↔ 𝑅 = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))
17	16	imbi2i 336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = 𝑅) ↔ (𝜑 → 𝑅 = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅))))
18	15, 17	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))
19	18	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))))
20	4, 19	eqtrid 2783	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))))
21	20	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))))
22	3, 21	eqtrid 2783	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))))
23		evl1maprhm.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
24	23, 9	evl1fval1 22275	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅)))
26	25	fveq1d 6836	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑝) = ((𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))‘𝑝))
27	26	fveq1d 6836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = (((𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))‘𝑝)‘𝑋))
28	22, 27	mpteq12dv 5185	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋)) = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))) ↦ (((𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))‘𝑝)‘𝑋)))
29		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅)) = (𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))
30		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))) = (Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))
31		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))) = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))))
32		evl1maprhm.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
33		evl1maprhm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
34	32, 33	eleqtrdi 2846	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
35		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))) ↦ (((𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))‘𝑝)‘𝑋)) = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))) ↦ (((𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))‘𝑝)‘𝑋))
36	29, 30, 9, 31, 6, 11, 34, 35	evls1maprhm 22320	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))) ↦ (((𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))‘𝑝)‘𝑋)) ∈ ((Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))) RingHom 𝑅))
37	28, 36	eqeltrd 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋)) ∈ ((Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))) RingHom 𝑅))
38	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Poly1‘𝑅))
39	15	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))
40	39	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))))
41	38, 40	eqtr2d 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))) = 𝑃)
42	41	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))) RingHom 𝑅) = (𝑃 RingHom 𝑅))
43	37, 42	eleqtrd 2838	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋)) ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))
44	2, 43	eqeltrd 2836	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157  Ringcrg 20168  CRingccrg 20169   RingHom crh 20405  SubRingcsubrg 20502  Poly₁cpl1 22117   evalSub₁ ces1 22257  eval₁ce1 22258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-prds 17367  df-pws 17369  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-ghm 19142  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-srg 20122  df-ring 20170  df-cring 20171  df-rhm 20408  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-assa 21808  df-asp 21809  df-ascl 21810  df-psr 21865  df-mvr 21866  df-mpl 21867  df-opsr 21869  df-evls 22029  df-evl 22030  df-psr1 22120  df-vr1 22121  df-ply1 22122  df-coe1 22123  df-evls1 22259  df-evl1 22260

This theorem is referenced by:  aks5lem1  42440  aks5lem2  42441