Theorem evl1maprhm 22273

Description: The function 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their evaluation at a given point 𝑋 is a ring homomorphism. (Contributed by metakunt, 19-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1maprhm.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1maprhm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1maprhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1maprhm.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1maprhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1maprhm.y	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
evl1maprhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
evl1maprhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑅,𝑝   𝑋,𝑝   𝜑,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑝)   𝑃(𝑝)   𝑈(𝑝)   𝐹(𝑝)   𝑂(𝑝)

Proof of Theorem evl1maprhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1maprhm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋)))
3		evl1maprhm.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
4		evl1maprhm.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		ssidd 3973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
6		evl1maprhm.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7	6	elexd 3474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
8	6	crngringd 20162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10	9	subrgid 20489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
12	11	elexd 3474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
13		eqid 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅))
14	13, 9	ressid2 17211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝑅 ∈ V ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = 𝑅)
15	5, 7, 12, 14	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = 𝑅)
16		eqcom 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = 𝑅 ↔ 𝑅 = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))
17	16	imbi2i 336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = 𝑅) ↔ (𝜑 → 𝑅 = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅))))
18	15, 17	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))
19	18	fveq2d 6865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))))
20	4, 19	eqtrid 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))))
21	20	fveq2d 6865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))))
22	3, 21	eqtrid 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))))
23		evl1maprhm.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
24	23, 9	evl1fval1 22225	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅)))
26	25	fveq1d 6863	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑝) = ((𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))‘𝑝))
27	26	fveq1d 6863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = (((𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))‘𝑝)‘𝑋))
28	22, 27	mpteq12dv 5197	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋)) = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))) ↦ (((𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))‘𝑝)‘𝑋)))
29		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅)) = (𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))
30		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))) = (Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))
31		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))) = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))))
32		evl1maprhm.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
33		evl1maprhm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
34	32, 33	eleqtrdi 2839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
35		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))) ↦ (((𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))‘𝑝)‘𝑋)) = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))) ↦ (((𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))‘𝑝)‘𝑋))
36	29, 30, 9, 31, 6, 11, 34, 35	evls1maprhm 22270	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))) ↦ (((𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))‘𝑝)‘𝑋)) ∈ ((Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))) RingHom 𝑅))
37	28, 36	eqeltrd 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋)) ∈ ((Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))) RingHom 𝑅))
38	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Poly1‘𝑅))
39	15	eqcomd 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))
40	39	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))))
41	38, 40	eqtr2d 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))) = 𝑃)
42	41	oveq1d 7405	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))) RingHom 𝑅) = (𝑃 RingHom 𝑅))
43	37, 42	eleqtrd 2831	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋)) ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))
44	2, 43	eqeltrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186   ↾_s cress 17207  Ringcrg 20149  CRingccrg 20150   RingHom crh 20385  SubRingcsubrg 20485  Poly₁cpl1 22068   evalSub₁ ces1 22207  eval₁ce1 22208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-srg 20103  df-ring 20151  df-cring 20152  df-rhm 20388  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-assa 21769  df-asp 21770  df-ascl 21771  df-psr 21825  df-mvr 21826  df-mpl 21827  df-opsr 21829  df-evls 21988  df-evl 21989  df-psr1 22071  df-vr1 22072  df-ply1 22073  df-coe1 22074  df-evls1 22209  df-evl1 22210

This theorem is referenced by:  aks5lem1  42181  aks5lem2  42182