Theorem evl1maprhm 22383

Description: The function 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their evaluation at a given point 𝑋 is a ring homomorphism. (Contributed by metakunt, 19-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1maprhm.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1maprhm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1maprhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1maprhm.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1maprhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1maprhm.y	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
evl1maprhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
evl1maprhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑅,𝑝   𝑋,𝑝   𝜑,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑝)   𝑃(𝑝)   𝑈(𝑝)   𝐹(𝑝)   𝑂(𝑝)

Proof of Theorem evl1maprhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1maprhm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋)))
3		evl1maprhm.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
4		evl1maprhm.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		ssidd 4007	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
6		evl1maprhm.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7	6	elexd 3504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
8	6	crngringd 20243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10	9	subrgid 20573	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
12	11	elexd 3504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
13		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅))
14	13, 9	ressid2 17278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝑅 ∈ V ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = 𝑅)
15	5, 7, 12, 14	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = 𝑅)
16		eqcom 2744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = 𝑅 ↔ 𝑅 = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))
17	16	imbi2i 336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = 𝑅) ↔ (𝜑 → 𝑅 = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅))))
18	15, 17	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))
19	18	fveq2d 6910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))))
20	4, 19	eqtrid 2789	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))))
21	20	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))))
22	3, 21	eqtrid 2789	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))))
23		evl1maprhm.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
24	23, 9	evl1fval1 22335	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅)))
26	25	fveq1d 6908	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑝) = ((𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))‘𝑝))
27	26	fveq1d 6908	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = (((𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))‘𝑝)‘𝑋))
28	22, 27	mpteq12dv 5233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋)) = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))) ↦ (((𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))‘𝑝)‘𝑋)))
29		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅)) = (𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))
30		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))) = (Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))
31		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))) = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))))
32		evl1maprhm.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
33		evl1maprhm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
34	32, 33	eleqtrdi 2851	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
35		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))) ↦ (((𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))‘𝑝)‘𝑋)) = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))) ↦ (((𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))‘𝑝)‘𝑋))
36	29, 30, 9, 31, 6, 11, 34, 35	evls1maprhm 22380	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))) ↦ (((𝑅 evalSub1 (Base‘𝑅))‘𝑝)‘𝑋)) ∈ ((Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))) RingHom 𝑅))
37	28, 36	eqeltrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋)) ∈ ((Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))) RingHom 𝑅))
38	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Poly1‘𝑅))
39	15	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))
40	39	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))))
41	38, 40	eqtr2d 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))) = 𝑃)
42	41	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Poly1‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))) RingHom 𝑅) = (𝑃 RingHom 𝑅))
43	37, 42	eleqtrd 2843	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋)) ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))
44	2, 43	eqeltrd 2841	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231   RingHom crh 20469  SubRingcsubrg 20569  Poly₁cpl1 22178   evalSub₁ ces1 22317  eval₁ce1 22318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-srg 20184  df-ring 20232  df-cring 20233  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-assa 21873  df-asp 21874  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-evls 22098  df-evl 22099  df-psr1 22181  df-vr1 22182  df-ply1 22183  df-coe1 22184  df-evls1 22319  df-evl1 22320

This theorem is referenced by:  aks5lem1  42187  aks5lem2  42188