MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2cpm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m2cpm 21505
Description: The result of a matrix transformation is a constant polynomial matrix. (Contributed by AV, 18-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
m2cpm.s 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
m2cpm.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
m2cpm.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2cpm.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
m2cpm ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem m2cpm
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 m2cpm.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
2 m2cpm.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 m2cpm.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 eqid 2739 . . . . . . . . 9 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
5 eqid 2739 . . . . . . . . 9 (algSc‘(Poly1𝑅)) = (algSc‘(Poly1𝑅))
61, 2, 3, 4, 5mat2pmatvalel 21489 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑇𝑀)𝑗) = ((algSc‘(Poly1𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗)))
76adantr 484 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖(𝑇𝑀)𝑗) = ((algSc‘(Poly1𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗)))
87fveq2d 6691 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (coe1‘(𝑖(𝑇𝑀)𝑗)) = (coe1‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗))))
98fveq1d 6689 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((coe1‘(𝑖(𝑇𝑀)𝑗))‘𝑛) = ((coe1‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗)))‘𝑛))
10 simpl2 1193 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
11 eqid 2739 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12 simprl 771 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
13 simprr 773 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
14 simpl3 1194 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑀𝐵)
152, 11, 3, 12, 13, 14matecld 21190 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
1610, 15jca 515 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
1716adantr 484 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
18 eqid 2739 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
194, 5, 11, 18coe1scl 21075 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → (coe1‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g𝑅))))
2017, 19syl 17 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (coe1‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g𝑅))))
21 eqeq1 2743 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 = 0 ↔ 𝑛 = 0))
2221ifbid 4447 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → if(𝑘 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g𝑅)) = if(𝑛 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g𝑅)))
2322adantl 485 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → if(𝑘 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g𝑅)) = if(𝑛 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g𝑅)))
24 nnnn0 11996 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
2524adantl 485 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
26 ovex 7216 . . . . . . . 8 (𝑖𝑀𝑗) ∈ V
27 fvex 6700 . . . . . . . 8 (0g𝑅) ∈ V
2826, 27ifex 4474 . . . . . . 7 if(𝑛 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g𝑅)) ∈ V
2928a1i 11 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if(𝑛 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g𝑅)) ∈ V)
3020, 23, 25, 29fvmptd 6795 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((coe1‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗)))‘𝑛) = if(𝑛 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g𝑅)))
31 nnne0 11763 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
3231neneqd 2940 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ¬ 𝑛 = 0)
3332adantl 485 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ 𝑛 = 0)
3433iffalsed 4435 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if(𝑛 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g𝑅)) = (0g𝑅))
359, 30, 343eqtrd 2778 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((coe1‘(𝑖(𝑇𝑀)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅))
3635ralrimiva 3097 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(𝑇𝑀)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅))
3736ralrimivva 3104 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(𝑇𝑀)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅))
38 eqid 2739 . . . 4 (𝑁 Mat (Poly1𝑅)) = (𝑁 Mat (Poly1𝑅))
391, 2, 3, 4, 38mat2pmatbas 21490 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))))
40 m2cpm.s . . . 4 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
41 eqid 2739 . . . 4 (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))) = (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))
4240, 4, 38, 41cpmatel 21475 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑇𝑀) ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))) → ((𝑇𝑀) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(𝑇𝑀)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅)))
4339, 42syld3an3 1410 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑇𝑀) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(𝑇𝑀)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅)))
4437, 43mpbird 260 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3054  Vcvv 3400  ifcif 4424  cmpt 5120  cfv 6350  (class class class)co 7183  Fincfn 8568  0cc0 10628  cn 11729  0cn0 11989  Basecbs 16599  0gc0g 16829  Ringcrg 19429  algSccascl 20681  Poly1cpl1 20965  coe1cco1 20966   Mat cmat 21171   ConstPolyMat ccpmat 21467   matToPolyMat cmat2pmat 21468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-ot 4535  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-of 7438  df-ofr 7439  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-supp 7870  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-er 8333  df-map 8452  df-pm 8453  df-ixp 8521  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-fsupp 8920  df-sup 8992  df-oi 9060  df-card 9454  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-4 11794  df-5 11795  df-6 11796  df-7 11797  df-8 11798  df-9 11799  df-n0 11990  df-z 12076  df-dec 12193  df-uz 12338  df-fz 12995  df-fzo 13138  df-seq 13474  df-hash 13796  df-struct 16601  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-sets 16606  df-ress 16607  df-plusg 16694  df-mulr 16695  df-sca 16697  df-vsca 16698  df-ip 16699  df-tset 16700  df-ple 16701  df-ds 16703  df-hom 16705  df-cco 16706  df-0g 16831  df-gsum 16832  df-prds 16837  df-pws 16839  df-mre 16973  df-mrc 16974  df-acs 16976  df-mgm 17981  df-sgrp 18030  df-mnd 18041  df-mhm 18085  df-submnd 18086  df-grp 18235  df-minusg 18236  df-sbg 18237  df-mulg 18356  df-subg 18407  df-ghm 18487  df-cntz 18578  df-cmn 19039  df-abl 19040  df-mgp 19372  df-ur 19384  df-ring 19431  df-subrg 19665  df-lmod 19768  df-lss 19836  df-sra 20076  df-rgmod 20077  df-dsmm 20561  df-frlm 20576  df-ascl 20684  df-psr 20735  df-mvr 20736  df-mpl 20737  df-opsr 20739  df-psr1 20968  df-vr1 20969  df-ply1 20970  df-coe1 20971  df-mat 21172  df-cpmat 21470  df-mat2pmat 21471
This theorem is referenced by:  m2cpmf  21506  m2cpminvid  21517  chfacfisfcpmat  21619
  Copyright terms: Public domain W3C validator