Theorem m2cpm 22747

Description: The result of a matrix transformation is a constant polynomial matrix. (Contributed by AV, 18-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2cpm.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
m2cpm.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
m2cpm.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2cpm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
m2cpm	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem m2cpm

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m2cpm.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
2		m2cpm.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		m2cpm.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
5		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (algSc‘(Poly1‘𝑅)) = (algSc‘(Poly1‘𝑅))
6	1, 2, 3, 4, 5	mat2pmatvalel 22731	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗) = ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗)))
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗) = ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗)))
8	7	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (coe1‘(𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗)) = (coe1‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗))))
9	8	fveq1d 6908	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((coe1‘(𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗))‘𝑛) = ((coe1‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗)))‘𝑛))
10		simpl2 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
11		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12		simprl 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
13		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
14		simpl3 1194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝐵)
15	2, 11, 3, 12, 13, 14	matecld 22432	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
16	10, 15	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
18		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
19	4, 5, 11, 18	coe1scl 22290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → (coe1‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g‘𝑅))))
20	17, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (coe1‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g‘𝑅))))
21		eqeq1 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 = 0 ↔ 𝑛 = 0))
22	21	ifbid 4549	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → if(𝑘 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g‘𝑅)) = if(𝑛 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g‘𝑅)))
23	22	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → if(𝑘 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g‘𝑅)) = if(𝑛 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g‘𝑅)))
24		nnnn0 12533	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
25	24	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
26		ovex 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖𝑀𝑗) ∈ V
27		fvex 6919	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
28	26, 27	ifex 4576	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑛 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g‘𝑅)) ∈ V
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if(𝑛 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g‘𝑅)) ∈ V)
30	20, 23, 25, 29	fvmptd 7023	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((coe1‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗)))‘𝑛) = if(𝑛 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g‘𝑅)))
31		nnne0 12300	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
32	31	neneqd 2945	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ¬ 𝑛 = 0)
33	32	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ 𝑛 = 0)
34	33	iffalsed 4536	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if(𝑛 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
35	9, 30, 34	3eqtrd 2781	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((coe1‘(𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
36	35	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
37	36	ralrimivva 3202	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
38		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)) = (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))
39	1, 2, 3, 4, 38	mat2pmatbas 22732	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))))
40		m2cpm.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
41		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))) = (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))
42	40, 4, 38, 41	cpmatel 22717	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))) → ((𝑇‘𝑀) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
43	39, 42	syld3an3 1411	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑇‘𝑀) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
44	37, 43	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  Vcvv 3480  ifcif 4525   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  0cc0 11155  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  Basecbs 17247  0_gc0g 17484  Ringcrg 20230  algSccascl 21872  Poly₁cpl1 22178  coe₁cco1 22179   Mat cmat 22411   ConstPolyMat ccpmat 22709   matToPolyMat cmat2pmat 22710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-psr1 22181  df-vr1 22182  df-ply1 22183  df-coe1 22184  df-mat 22412  df-cpmat 22712  df-mat2pmat 22713

This theorem is referenced by:  m2cpmf  22748  m2cpminvid  22759  chfacfisfcpmat  22861