Theorem m2cpm 21505

Description: The result of a matrix transformation is a constant polynomial matrix. (Contributed by AV, 18-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2cpm.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
m2cpm.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
m2cpm.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2cpm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
m2cpm	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem m2cpm

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m2cpm.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
2		m2cpm.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		m2cpm.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
5		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (algSc‘(Poly1‘𝑅)) = (algSc‘(Poly1‘𝑅))
6	1, 2, 3, 4, 5	mat2pmatvalel 21489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗) = ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗)))
7	6	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗) = ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗)))
8	7	fveq2d 6691	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (coe1‘(𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗)) = (coe1‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗))))
9	8	fveq1d 6689	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((coe1‘(𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗))‘𝑛) = ((coe1‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗)))‘𝑛))
10		simpl2 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
11		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12		simprl 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
13		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
14		simpl3 1194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝐵)
15	2, 11, 3, 12, 13, 14	matecld 21190	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
16	10, 15	jca 515	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
17	16	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
18		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
19	4, 5, 11, 18	coe1scl 21075	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → (coe1‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g‘𝑅))))
20	17, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (coe1‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g‘𝑅))))
21		eqeq1 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 = 0 ↔ 𝑛 = 0))
22	21	ifbid 4447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → if(𝑘 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g‘𝑅)) = if(𝑛 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g‘𝑅)))
23	22	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → if(𝑘 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g‘𝑅)) = if(𝑛 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g‘𝑅)))
24		nnnn0 11996	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
25	24	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
26		ovex 7216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖𝑀𝑗) ∈ V
27		fvex 6700	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
28	26, 27	ifex 4474	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑛 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g‘𝑅)) ∈ V
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if(𝑛 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g‘𝑅)) ∈ V)
30	20, 23, 25, 29	fvmptd 6795	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((coe1‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗)))‘𝑛) = if(𝑛 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g‘𝑅)))
31		nnne0 11763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
32	31	neneqd 2940	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ¬ 𝑛 = 0)
33	32	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ 𝑛 = 0)
34	33	iffalsed 4435	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if(𝑛 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
35	9, 30, 34	3eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((coe1‘(𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
36	35	ralrimiva 3097	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
37	36	ralrimivva 3104	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
38		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)) = (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))
39	1, 2, 3, 4, 38	mat2pmatbas 21490	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))))
40		m2cpm.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
41		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))) = (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))
42	40, 4, 38, 41	cpmatel 21475	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))) → ((𝑇‘𝑀) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
43	39, 42	syld3an3 1410	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑇‘𝑀) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
44	37, 43	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3054  Vcvv 3400  ifcif 4424   ↦ cmpt 5120  ‘cfv 6350  (class class class)co 7183  Fincfn 8568  0cc0 10628  ℕcn 11729  ℕ₀cn0 11989  Basecbs 16599  0_gc0g 16829  Ringcrg 19429  algSccascl 20681  Poly₁cpl1 20965  coe₁cco1 20966   Mat cmat 21171   ConstPolyMat ccpmat 21467   matToPolyMat cmat2pmat 21468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-ot 4535  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-of 7438  df-ofr 7439  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-supp 7870  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-er 8333  df-map 8452  df-pm 8453  df-ixp 8521  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-fsupp 8920  df-sup 8992  df-oi 9060  df-card 9454  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-4 11794  df-5 11795  df-6 11796  df-7 11797  df-8 11798  df-9 11799  df-n0 11990  df-z 12076  df-dec 12193  df-uz 12338  df-fz 12995  df-fzo 13138  df-seq 13474  df-hash 13796  df-struct 16601  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-sets 16606  df-ress 16607  df-plusg 16694  df-mulr 16695  df-sca 16697  df-vsca 16698  df-ip 16699  df-tset 16700  df-ple 16701  df-ds 16703  df-hom 16705  df-cco 16706  df-0g 16831  df-gsum 16832  df-prds 16837  df-pws 16839  df-mre 16973  df-mrc 16974  df-acs 16976  df-mgm 17981  df-sgrp 18030  df-mnd 18041  df-mhm 18085  df-submnd 18086  df-grp 18235  df-minusg 18236  df-sbg 18237  df-mulg 18356  df-subg 18407  df-ghm 18487  df-cntz 18578  df-cmn 19039  df-abl 19040  df-mgp 19372  df-ur 19384  df-ring 19431  df-subrg 19665  df-lmod 19768  df-lss 19836  df-sra 20076  df-rgmod 20077  df-dsmm 20561  df-frlm 20576  df-ascl 20684  df-psr 20735  df-mvr 20736  df-mpl 20737  df-opsr 20739  df-psr1 20968  df-vr1 20969  df-ply1 20970  df-coe1 20971  df-mat 21172  df-cpmat 21470  df-mat2pmat 21471

This theorem is referenced by:  m2cpmf  21506  m2cpminvid  21517  chfacfisfcpmat  21619