Theorem m2cpm 22673

Description: The result of a matrix transformation is a constant polynomial matrix. (Contributed by AV, 18-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2cpm.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
m2cpm.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
m2cpm.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2cpm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
m2cpm	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem m2cpm

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m2cpm.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
2		m2cpm.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		m2cpm.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
5		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (algSc‘(Poly1‘𝑅)) = (algSc‘(Poly1‘𝑅))
6	1, 2, 3, 4, 5	mat2pmatvalel 22657	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗) = ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗)))
7	6	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗) = ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗)))
8	7	fveq2d 6898	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (coe1‘(𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗)) = (coe1‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗))))
9	8	fveq1d 6896	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((coe1‘(𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗))‘𝑛) = ((coe1‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗)))‘𝑛))
10		simpl2 1189	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
11		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12		simprl 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
13		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
14		simpl3 1190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝐵)
15	2, 11, 3, 12, 13, 14	matecld 22358	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
16	10, 15	jca 510	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
17	16	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
18		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
19	4, 5, 11, 18	coe1scl 22215	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → (coe1‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g‘𝑅))))
20	17, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (coe1‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g‘𝑅))))
21		eqeq1 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 = 0 ↔ 𝑛 = 0))
22	21	ifbid 4552	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → if(𝑘 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g‘𝑅)) = if(𝑛 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g‘𝑅)))
23	22	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → if(𝑘 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g‘𝑅)) = if(𝑛 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g‘𝑅)))
24		nnnn0 12509	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
25	24	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
26		ovex 7450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖𝑀𝑗) ∈ V
27		fvex 6907	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
28	26, 27	ifex 4579	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑛 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g‘𝑅)) ∈ V
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if(𝑛 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g‘𝑅)) ∈ V)
30	20, 23, 25, 29	fvmptd 7009	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((coe1‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗)))‘𝑛) = if(𝑛 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g‘𝑅)))
31		nnne0 12276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
32	31	neneqd 2935	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ¬ 𝑛 = 0)
33	32	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ 𝑛 = 0)
34	33	iffalsed 4540	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if(𝑛 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
35	9, 30, 34	3eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((coe1‘(𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
36	35	ralrimiva 3136	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
37	36	ralrimivva 3191	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
38		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)) = (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))
39	1, 2, 3, 4, 38	mat2pmatbas 22658	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))))
40		m2cpm.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
41		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))) = (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))
42	40, 4, 38, 41	cpmatel 22643	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))) → ((𝑇‘𝑀) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
43	39, 42	syld3an3 1406	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑇‘𝑀) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
44	37, 43	mpbird 256	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051  Vcvv 3463  ifcif 4529   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417  Fincfn 8962  0cc0 11138  ℕcn 12242  ℕ₀cn0 12502  Basecbs 17179  0_gc0g 17420  Ringcrg 20177  algSccascl 21790  Poly₁cpl1 22104  coe₁cco1 22105   Mat cmat 22337   ConstPolyMat ccpmat 22635   matToPolyMat cmat2pmat 22636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7683  df-ofr 7684  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-ghm 19172  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-dsmm 21670  df-frlm 21685  df-ascl 21793  df-psr 21846  df-mvr 21847  df-mpl 21848  df-opsr 21850  df-psr1 22107  df-vr1 22108  df-ply1 22109  df-coe1 22110  df-mat 22338  df-cpmat 22638  df-mat2pmat 22639

This theorem is referenced by:  m2cpmf  22674  m2cpminvid  22685  chfacfisfcpmat  22787