MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2cpm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m2cpm 21267
Description: The result of a matrix transformation is a constant polynomial matrix. (Contributed by AV, 18-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
m2cpm.s 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
m2cpm.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
m2cpm.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2cpm.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
m2cpm ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem m2cpm
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 m2cpm.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
2 m2cpm.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 m2cpm.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
5 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (algSc‘(Poly1𝑅)) = (algSc‘(Poly1𝑅))
61, 2, 3, 4, 5mat2pmatvalel 21251 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑇𝑀)𝑗) = ((algSc‘(Poly1𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗)))
76adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖(𝑇𝑀)𝑗) = ((algSc‘(Poly1𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗)))
87fveq2d 6670 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (coe1‘(𝑖(𝑇𝑀)𝑗)) = (coe1‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗))))
98fveq1d 6668 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((coe1‘(𝑖(𝑇𝑀)𝑗))‘𝑛) = ((coe1‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗)))‘𝑛))
10 simpl2 1186 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
11 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12 simprl 767 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
13 simprr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
14 simpl3 1187 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑀𝐵)
152, 11, 3, 12, 13, 14matecld 20953 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
1610, 15jca 512 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
1716adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
18 eqid 2825 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
194, 5, 11, 18coe1scl 20374 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → (coe1‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g𝑅))))
2017, 19syl 17 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (coe1‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g𝑅))))
21 eqeq1 2829 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 = 0 ↔ 𝑛 = 0))
2221ifbid 4491 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → if(𝑘 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g𝑅)) = if(𝑛 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g𝑅)))
2322adantl 482 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → if(𝑘 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g𝑅)) = if(𝑛 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g𝑅)))
24 nnnn0 11896 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
2524adantl 482 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
26 ovex 7184 . . . . . . . 8 (𝑖𝑀𝑗) ∈ V
27 fvex 6679 . . . . . . . 8 (0g𝑅) ∈ V
2826, 27ifex 4517 . . . . . . 7 if(𝑛 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g𝑅)) ∈ V
2928a1i 11 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if(𝑛 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g𝑅)) ∈ V)
3020, 23, 25, 29fvmptd 6770 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((coe1‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘(𝑖𝑀𝑗)))‘𝑛) = if(𝑛 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g𝑅)))
31 nnne0 11663 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
3231neneqd 3025 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ¬ 𝑛 = 0)
3332adantl 482 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ 𝑛 = 0)
3433iffalsed 4480 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if(𝑛 = 0, (𝑖𝑀𝑗), (0g𝑅)) = (0g𝑅))
359, 30, 343eqtrd 2864 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((coe1‘(𝑖(𝑇𝑀)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅))
3635ralrimiva 3186 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(𝑇𝑀)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅))
3736ralrimivva 3195 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(𝑇𝑀)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅))
38 eqid 2825 . . . 4 (𝑁 Mat (Poly1𝑅)) = (𝑁 Mat (Poly1𝑅))
391, 2, 3, 4, 38mat2pmatbas 21252 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))))
40 m2cpm.s . . . 4 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
41 eqid 2825 . . . 4 (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))) = (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))
4240, 4, 38, 41cpmatel 21237 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑇𝑀) ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))) → ((𝑇𝑀) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(𝑇𝑀)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅)))
4339, 42syld3an3 1403 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑇𝑀) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(𝑇𝑀)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅)))
4437, 43mpbird 258 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3142  Vcvv 3499  ifcif 4469  cmpt 5142  cfv 6351  (class class class)co 7151  Fincfn 8501  0cc0 10529  cn 11630  0cn0 11889  Basecbs 16475  0gc0g 16705  Ringcrg 19219  algSccascl 20005  Poly1cpl1 20264  coe1cco1 20265   Mat cmat 20934   ConstPolyMat ccpmat 21229   matToPolyMat cmat2pmat 21230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-ot 4572  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-ofr 7403  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-hash 13684  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17946  df-submnd 17947  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-sbg 18040  df-mulg 18157  df-subg 18208  df-ghm 18288  df-cntz 18379  df-cmn 18830  df-abl 18831  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-ring 19221  df-subrg 19455  df-lmod 19558  df-lss 19626  df-sra 19866  df-rgmod 19867  df-ascl 20008  df-psr 20057  df-mvr 20058  df-mpl 20059  df-opsr 20061  df-psr1 20267  df-vr1 20268  df-ply1 20269  df-coe1 20270  df-dsmm 20794  df-frlm 20809  df-mat 20935  df-cpmat 21232  df-mat2pmat 21233
This theorem is referenced by:  m2cpmf  21268  m2cpminvid  21279  chfacfisfcpmat  21381
  Copyright terms: Public domain W3C validator