Theorem cpmidgsum 23195

Description: Representation of the identity matrix multiplied with the characteristic polynomial of a matrix as group sum. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmidgsum.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmidgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmidgsum.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmidgsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmidgsum.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cpmidgsum.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cpmidgsum.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
cpmidgsum.1	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
cpmidgsum.u	⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃)
cpmidgsum.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
cpmidgsum.k	⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
cpmidgsum.h	⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 )

Assertion

Ref	Expression
cpmidgsum	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐻 = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑛)) · 1 )))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐻   𝑛,𝐾   𝑛,𝑋   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑅,𝑛   𝑛,𝑌   ↑ ,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑛)   · (𝑛)   𝑈(𝑛)   1 (𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem cpmidgsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpmidgsum.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
2		cpmidgsum.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
3		cpmidgsum.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4		cpmidgsum.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
5		cpmidgsum.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7	2, 3, 4, 5, 6	chpmatply1 23159	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) ∈ (Base‘𝑃))
8	1, 7	eqeltrid 2864	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
9		cpmidgsum.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
10		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
11		cpmidgsum.m	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
12		cpmidgsum.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
13		cpmidgsum.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
14		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑁 matToPolyMat 𝑅) = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
15		cpmidgsum.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃)
16		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17		cpmidgsum.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
18		cpmidgsum.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 )
19	5, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 3, 4, 15, 16, 6, 15, 17, 18	pmatcollpwscmat 23118	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐾 ∈ (Base‘𝑃)) → 𝐻 = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑛)) · 1 )))))
20	8, 19	syld3an3 1436	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐻 = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑛)) · 1 )))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Fincfn 8980  ℕ₀cn0 12613  Basecbs 17396   ·_𝑠 cvsca 17441   Σ_g cgsu 17620  ._gcmg 19286  mulGrpcmgp 20369  1_rcur 20416  CRingccrg 20469  algSccascl 22169  var₁cv1 22503  Poly₁cpl1 22504  coe₁cco1 22505   Mat cmat 22731   matToPolyMat cmat2pmat 23031   CharPlyMat cchpmat 23153

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-addf 11286  ax-mulf 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1541  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8184  df-tpos 8250  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8724  df-map 8856  df-pm 8857  df-ixp 8933  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-fsupp 9361  df-sup 9441  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-xnn0 12687  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-rp 13128  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-exp 14212  df-hash 14482  df-word 14666  df-lsw 14715  df-concat 14723  df-s1 14750  df-substr 14797  df-pfx 14829  df-splice 14907  df-reverse 14916  df-s2 15007  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-hom 17461  df-cco 17462  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-prds 17627  df-pws 17629  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-mhm 18987  df-submnd 18988  df-efmnd 19074  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-mulg 19287  df-subg 19342  df-ghm 19437  df-gim 19482  df-cntz 19540  df-oppg 19569  df-symg 19593  df-pmtr 19665  df-psgn 19714  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-rng 20384  df-ur 20417  df-srg 20422  df-ring 20470  df-cring 20471  df-oppr 20576  df-dvdsr 20596  df-unit 20597  df-invr 20627  df-dvr 20640  df-rhm 20711  df-subrng 20807  df-subrg 20831  df-drng 20991  df-lmod 21146  df-lss 21216  df-sra 21457  df-rgmod 21458  df-cnfld 21688  df-zring 21762  df-zrh 21818  df-dsmm 22047  df-frlm 22062  df-assa 22170  df-ascl 22172  df-psr 22226  df-mvr 22227  df-mpl 22228  df-opsr 22230  df-psr1 22507  df-vr1 22508  df-ply1 22509  df-coe1 22510  df-mamu 22715  df-mat 22732  df-mdet 22909  df-mat2pmat 23034  df-decpmat 23090  df-chpmat 23154

This theorem is used by:  cpmidgsumm2pm  23196  cpmidg2sum  23207