Theorem cpmidgsum 22841

Description: Representation of the identity matrix multiplied with the characteristic polynomial of a matrix as group sum. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmidgsum.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmidgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmidgsum.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmidgsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmidgsum.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cpmidgsum.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cpmidgsum.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
cpmidgsum.1	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
cpmidgsum.u	⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃)
cpmidgsum.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
cpmidgsum.k	⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
cpmidgsum.h	⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 )

Assertion

Ref	Expression
cpmidgsum	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐻 = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑛)) · 1 )))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐻   𝑛,𝐾   𝑛,𝑋   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑅,𝑛   𝑛,𝑌   ↑ ,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑛)   · (𝑛)   𝑈(𝑛)   1 (𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem cpmidgsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpmidgsum.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
2		cpmidgsum.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
3		cpmidgsum.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4		cpmidgsum.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
5		cpmidgsum.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7	2, 3, 4, 5, 6	chpmatply1 22805	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) ∈ (Base‘𝑃))
8	1, 7	eqeltrid 2837	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
9		cpmidgsum.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
10		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
11		cpmidgsum.m	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
12		cpmidgsum.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
13		cpmidgsum.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
14		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝑁 matToPolyMat 𝑅) = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
15		cpmidgsum.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃)
16		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17		cpmidgsum.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
18		cpmidgsum.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 )
19	5, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 3, 4, 15, 16, 6, 15, 17, 18	pmatcollpwscmat 22764	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐾 ∈ (Base‘𝑃)) → 𝐻 = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑛)) · 1 )))))
20	8, 19	syld3an3 1410	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐻 = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑛)) · 1 )))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5207  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8968  ℕ₀cn0 12510  Basecbs 17230   ·_𝑠 cvsca 17281   Σ_g cgsu 17461  ._gcmg 19059  mulGrpcmgp 20110  1_rcur 20151  CRingccrg 20204  algSccascl 21839  var₁cv1 22144  Poly₁cpl1 22145  coe₁cco1 22146   Mat cmat 22378   matToPolyMat cmat2pmat 22677   CharPlyMat cchpmat 22799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217  ax-mulf 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1511  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-tp 4613  df-op 4615  df-ot 4617  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-iin 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-ofr 7681  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8169  df-tpos 8234  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-2o 8490  df-er 8728  df-map 8851  df-pm 8852  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9385  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11904  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-4 12314  df-5 12315  df-6 12316  df-7 12317  df-8 12318  df-9 12319  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12862  df-rp 13018  df-fz 13531  df-fzo 13678  df-seq 14026  df-exp 14086  df-hash 14353  df-word 14536  df-lsw 14584  df-concat 14592  df-s1 14617  df-substr 14662  df-pfx 14692  df-splice 14771  df-reverse 14780  df-s2 14870  df-struct 17167  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17257  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-hom 17301  df-cco 17302  df-0g 17462  df-gsum 17463  df-prds 17468  df-pws 17470  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18627  df-sgrp 18706  df-mnd 18722  df-mhm 18770  df-submnd 18771  df-efmnd 18856  df-grp 18928  df-minusg 18929  df-sbg 18930  df-mulg 19060  df-subg 19115  df-ghm 19205  df-gim 19251  df-cntz 19309  df-oppg 19338  df-symg 19360  df-pmtr 19433  df-psgn 19482  df-cmn 19773  df-abl 19774  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-srg 20157  df-ring 20205  df-cring 20206  df-oppr 20307  df-dvdsr 20330  df-unit 20331  df-invr 20361  df-dvr 20374  df-rhm 20445  df-subrng 20519  df-subrg 20543  df-drng 20704  df-lmod 20833  df-lss 20903  df-sra 21145  df-rgmod 21146  df-cnfld 21332  df-zring 21425  df-zrh 21481  df-dsmm 21719  df-frlm 21734  df-assa 21840  df-ascl 21842  df-psr 21896  df-mvr 21897  df-mpl 21898  df-opsr 21900  df-psr1 22148  df-vr1 22149  df-ply1 22150  df-coe1 22151  df-mamu 22362  df-mat 22379  df-mdet 22558  df-mat2pmat 22680  df-decpmat 22736  df-chpmat 22800

This theorem is referenced by:  cpmidgsumm2pm  22842  cpmidg2sum  22853