Theorem cpmidgsum 22352

Description: Representation of the identity matrix multiplied with the characteristic polynomial of a matrix as group sum. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmidgsum.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmidgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmidgsum.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmidgsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmidgsum.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cpmidgsum.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cpmidgsum.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
cpmidgsum.1	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
cpmidgsum.u	⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃)
cpmidgsum.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
cpmidgsum.k	⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
cpmidgsum.h	⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 )

Assertion

Ref	Expression
cpmidgsum	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐻 = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑛)) · 1 )))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐻   𝑛,𝐾   𝑛,𝑋   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑅,𝑛   𝑛,𝑌   ↑ ,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑛)   · (𝑛)   𝑈(𝑛)   1 (𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem cpmidgsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpmidgsum.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
2		cpmidgsum.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
3		cpmidgsum.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4		cpmidgsum.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
5		cpmidgsum.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7	2, 3, 4, 5, 6	chpmatply1 22316	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) ∈ (Base‘𝑃))
8	1, 7	eqeltrid 2838	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
9		cpmidgsum.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
10		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
11		cpmidgsum.m	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
12		cpmidgsum.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
13		cpmidgsum.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
14		eqid 2733	. . 3 ⊢ (𝑁 matToPolyMat 𝑅) = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
15		cpmidgsum.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃)
16		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17		cpmidgsum.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
18		cpmidgsum.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 )
19	5, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 3, 4, 15, 16, 6, 15, 17, 18	pmatcollpwscmat 22275	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐾 ∈ (Base‘𝑃)) → 𝐻 = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑛)) · 1 )))))
20	8, 19	syld3an3 1410	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐻 = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑛)) · 1 )))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  Fincfn 8935  ℕ₀cn0 12468  Basecbs 17140   ·_𝑠 cvsca 17197   Σ_g cgsu 17382  ._gcmg 18944  mulGrpcmgp 19979  1_rcur 19996  CRingccrg 20048  algSccascl 21391  var₁cv1 21682  Poly₁cpl1 21683  coe₁cco1 21684   Mat cmat 21889   matToPolyMat cmat2pmat 22188   CharPlyMat cchpmat 22310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-ofr 7666  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-word 14461  df-lsw 14509  df-concat 14517  df-s1 14542  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-splice 14696  df-reverse 14705  df-s2 14795  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-efmnd 18746  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-gim 19127  df-cntz 19175  df-oppg 19203  df-symg 19228  df-pmtr 19303  df-psgn 19352  df-cmn 19643  df-abl 19644  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-srg 20001  df-ring 20049  df-cring 20050  df-oppr 20139  df-dvdsr 20160  df-unit 20161  df-invr 20191  df-dvr 20204  df-rnghom 20240  df-drng 20306  df-subrg 20349  df-lmod 20461  df-lss 20531  df-sra 20773  df-rgmod 20774  df-cnfld 20930  df-zring 21003  df-zrh 21037  df-dsmm 21271  df-frlm 21286  df-assa 21392  df-ascl 21394  df-psr 21444  df-mvr 21445  df-mpl 21446  df-opsr 21448  df-psr1 21686  df-vr1 21687  df-ply1 21688  df-coe1 21689  df-mamu 21868  df-mat 21890  df-mdet 22069  df-mat2pmat 22191  df-decpmat 22247  df-chpmat 22311

This theorem is referenced by:  cpmidgsumm2pm  22353  cpmidg2sum  22364